市第三中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题（解析版）

20192020学年度上学期高一月考（三）数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合或，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用补集的定义可得出集合，再利用并集的定义可求出集合.【详解】或，因此，.故选：A.【点睛】本题考查补集和并集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.2.已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】【分析】求得圆心角的弧度数，用求得扇形半径.【详解】依题意为，所以故选B.【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制转化，考查扇形的弧长公式的运用，属于基础题.3.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式，由内到外逐步代入，即可求出函数值.【详解】因为，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查由分段函数求函数值的问题，根据函数解析式，直接代入计算即可，属于常考题型.4.已知，且，则角是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】D【解析】【分析】由以及绝对值的定义可得,再结合已知得,根据三角函数的符号法则可得.【详解】由，可知，结合，得，所以角是第四象限角，故选:D【点睛】本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.5.幂函数的图象过点，那么的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，然后利用对数的运算性质可求出的值.详解】设，则，解得，.因此，.故选：A.【点睛】本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式，同时也考查了对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6.角的终边经过点，则A. B. C. 7D. 【答案】C【解析】【分析】若角终边经过点坐标为，则，即可求解【详解】由角的终边经过点，可得，则故选C【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，,是基础题7.函数的零点所在区间为，则为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理，求得的值.【详解】依题意，由于函数为增函数，根据零点存在性定理可知，函数唯一零点所在区间为，故.故选B.【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，考查函数值的求法，属于基础题.8.函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函数的定义域，然后利用复合函数法可求出函数的单调递增区间.【详解】解不等式，解得或，函数的定义域为.内层函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，外层函数在上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数的单调递增区间为.故选：C.【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.9.已知函数过定点，如果点是函数的顶点，那么的值分别为（ ）A. 2，5B. -2,5C. -2，-5D. 2，-5【答案】B【解析】【分析】根据函数图像平移法则确定点P，再将P点代入，结合对称轴表达式进行求解即可【详解】（且）恒过点，所以（且）恒过点，又为的顶点，满足，解得故答案选：B【点睛】本题考查函数图像的平移法则，二次函数解析式的求法，平移法则遵循“左加右减，上加下减”10.已知函数（其中的图象如图所示，则函数的图象是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由函数的图象判断，的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案【详解】解：由函数的图象可知，则为增函数，过定点，故选：【点睛】本题考查了指数函数和二次函数图象和性质，属于基础题11.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：恒成立等价于恒成立，由单调性的定义可知函数在上单调递减因为数在上为奇函数，所以，即，解得故C正确考点：1函数的奇偶性；2单调性的定义【思路点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性和单调性的定义，难度中等应已知条件变形，由单调性的定义判断函数在上的单调性在利用单调性解不等式时应将0转化为函数值关键在于奇函数的图像关于原点对称，所以0在定义域内时必有12.已知函数，若互不相同，且满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题要先画出分段函数的图象，再根据根据分段函数第一个表达式可得出，根据分段函数第二个表达式可得出，这时可将用表示出来，通过求出关于的二次函数在相应区间上的值域即可得到的取值范围【详解】由题意，可画出函数图象如下：由题意，互不相同，可不妨设，由图象，可知即：，又，依据图象，它们的函数值只能在0到2之间，根据二次函数的对称性，可知：则可以将看成一个关于的二次函数由二次函数的知识，可知：在上的值域为的取值范围即为，故选C【点睛】本题主要考查分段函数的图象，相等函数值的自变量取值，意在考查数形结合思想的应用，本题是一道较难的中档题数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13._.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式结合特殊角的三角函数值计算即可.【详解】由诱导公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.14.函数y=的定义域是 .【答案】【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足，函数定义域为考点：函数定义域【此处有视频，请去附件查看】15.已知关于的二次方程，若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（1，0）和（1，2）内，由根与系数的关系得出不等式，解不等式组求得m的范围解：设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（1，0）和（1，2）内，则，解得m，故m的范围是，故答案为考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系16.已知对一切上恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为，令，由，得，则，在上递减，当时取得最大值为，所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力属中档题.三、解答题（本大题6小题，共70分）17.（1）已知，且为第二象限的角，求、的值；（2）证明：.【答案】（1），；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系可求出的值，再利用商数关系可求出的值；（2）从等式右边出发，利用完全平方公式和平方差公式以及弦化切的思想，可证明出等式右边等于等式左边.【详解】（1）为第二象限的角，；（2）证明：右边左边.【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的应用以及正、余弦分式齐次式的化简，考查计算能力与推理能力，属于基础题.18.解不等式：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）先将所求不等式转化为，然后由指数函数的单调性可解此不等式；（2）利用对数函数的单调性得出，解此不等式组即可.【详解】（1）原不等式可以化为，由于指数函数增函数，解得，因此，原不等式的解集为；（2）原不等式可以化为，由于对数函数是定义域为上的增函数，原不等式等价于或，因此，原不等式的解集为或.【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的求解，涉及指数函数和对数函数单调性的应用，同时也要注意相应函数定义域的限制，考查运算求解能力，属于基础题.19.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，现已画出函数在y轴左侧图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；写出函数的解析式和值域【答案】（1）递增区间是，图像见解析（2）【解析】【分析】由函数为偶函数,图象关于y轴对称,故直接补出完整函数的图象即可,再由图象直接可写出的增区间;直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到.【详解】解：因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图所示:由图可得函数的递增区间是,.设,则,所以,因为是定义在R上的偶函数,所以,所以时,故的解析式为,由图像可得值域为.【点睛】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质;求此类题型函数解析式时可由图象利用待定系数法求解析式,也可利用函数单调性求解解析式,属于基础题.20.已知函数.（）若，求的值；（）若，函数在上的最小值为，求实数的值.【答案】(1) .(2).【解析】分析：（）根据已知条件，将代入函数解析式即可求解. （）根据复合函数单调性在公共定义域上同增异减，判断出函数的单调性，确定最小值对应的，即可求得m的值.详解：解：（1）当时，（2）因为，函数在上是增函数，所以，故，则点睛：本题考查函数值的计算和含参问题在闭区间上的最值问题，复合函数单调性的判断是解题关键.21.某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为，整治后前四个月的污染度如下表：月数污染度污染度为后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：，其中表示月数，、分别表示污染度（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过【答案】（1）选择作为模拟函数，理由见解析；（2）整治后个月的污染度不超过【解析】【分析】（1）分别计算出三个函数在前个月的函数值，列出表格进行分析，看哪组函数值比较接近于实际的污染度，由此可找出函数作为拟合函数；（2）令，求出取值，从而可得出污染度不超过的月数.【详解】（1）计算各函数对应各月份污染度得下表：月数污染度从上表可知，函数模拟比较合理，故选择作为模拟函数；（2）令，得，得，解得，所以，整治后个月的污染度不超过【点睛】本题考查函数拟合思想的应用，以及利用函数模型解决实际问题，在选择函数模型时，一般将函数值与实际值作比较，选择误差最小的函数来进行拟合，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22.已知.（1）若时，函数经过点，且，求的表达式；（2）在（1）的条件下，关于的方程有且只有四个不同的实根，求实数的取值范围；（3）若，当时，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由题意得出，可求出的值，再由，可知二次函数的图象关于直线对称，可求出的值，进而可求得函数的表达式；（2）由得出，将问题转化为当直线与函数的图象有四个交点时，求实数的取值范围，利用数形结合思想即可求解；（3）分、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，即可得出该函数在区间上的最小值.【详解】（1）当时，函数经过点，即，又，函数的图象关于直线对称，得，因此，；（2）关于的方程有且只有四个不同的实根，即函数与函数的图象有四个交点，如下图所示：由