向量方法在高考立体几何题中的应用.doc

向量方法在高考立体几何题中的应用广东省梅州市五华县琴江中学 （514400） 廖伟山在立体几何中引入向量后，解题思路更加广阔，规律越趋明显，利用它可为我们处理立体几何问题提供了新的视角，它是三维空间中图形的位置关系与度量问题的有效工具。我们要体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像力。向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标法是研究向量问题的有力工具，利用空间向量的坐标表示，可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要数学思想，并在一定程度上降低空间思维难度。虽然有时计算量较大，但还是能帮学生较好地从代数方面入手方便解决立体几何题，下面结合2008年各省高考题谈向量方法的运用。一， 两条异面直线所成角的向量求法例1 安徽卷（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点。（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点到平面的距离。解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,（）证明：设平面OCD的法向量为，则，即 取, 解得（）设与所成的角为, , 与所成角的大小为点评：利用向量知识直接套用公式求解，是求解异面直线所成的角常用的方法，要熟练掌握。练习1：天津卷（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形已知（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小。二， 线面所成角的向量求法例2 湖北卷18（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面.（）求证：；（）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明。证明（）略解（）：由（）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是设平面A1BC的一个法向量为，则由，得可取，于是与的夹角为锐角，则与互为余角. ，所以于是由cb，得即又所以练习2：例1第（）问点评：线面所成的角是通过直线的方向向量和平面的法向量的夹角求得。三， 二面角的向量求法ABCDEA1B1C1D1例3 （全国二19）（本小题满分12分）如图，正四棱柱中，点在上且。（）证明：平面；（）求二面角的大小。ABCDEA1B1C1D1yxz 解：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设， （）因为，故，又，所以平面 （）设向量，是平面的法向量，则故，令，则， 等于二面角的平面角， 所以二面角的大小为 点评：二面角的大小通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。练习3：陕西卷19（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，。A1AC1B1BDC（）证明：平面平面；（）求二面角的大小。四， 点到面的距离的向量求法ACBP例4（北京卷16）如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离。证明（）略解：（）如图，以为原点建立空间直角坐标系ACBPzxyHE则设， ，取中点，连结，是二面角的平面角，二面角的大小为（），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离如（）建立空间直角坐标系，点的坐标为 点到平面的距离为练习4：福建卷（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（）求证：PO平面ABCD；（）求异面直线PD与CD所成角的大小；（）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存