人教A版 选修22 1.5.3 定积分的概念 学案.docx

1.5.3 定积分的概念学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限梳理 一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式(i)xf(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxlimnf(i)，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得(x1)dx的值是多少？答案 (x1)dx.思考2 (x1)dx的值与直线x1，x2，y0，f(x)x1围成的梯形面积有何关系？答案 相等梳理 从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积这就是定积分f(x)dx的几何意义注意：f(x)0(图象在x轴的下方)时，f(x)dx0，f(x)dx等于曲边梯形的面积知识点三 定积分的性质思考 你能根据定积分的几何意义解释f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)吗？答案 直线xc把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积s是两个小曲边梯形的面积s1，s2之和，即ss1s2.梳理 (1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0d若f(x)在a，b上连续且f(x)dx0，则f(x)在a，b上恒正考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分性质答案 d解析 a项，因为f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以a项正确；b项，因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故y轴两侧的图象都在x轴上方或下方且面积相等，故b项正确；由定积分的几何意义知，c项显然正确；d项，f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)0的曲线围成的面积比f(x)0的曲线围成的面积大4与定积分相等的是( )a.b.csin xdxd.考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分性质答案 c解析 当x0，时，sin x0；当x时，sin xbc bacbcabc dcab考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 a解析 根据定积分的几何意义，易知x3dxx2dxbc，故选a.8若|56x|dx2 016，则正数a的最大值为( )a6 b56c36 d2 016考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 a解析 由|56x|dx56|x|dx2 016，得|x|dx36，|x|dxa2，a236，即0a6.故正数a的最大值为6.二、填空题9若f(x)dx1，3f(x)dx2，则f(x)dx_.考点 定积分性质的应用题点 定积分性质的应用答案 解析 f(x)dxf(x)dx1， f(x)dx2.又3f(x)dx3 f(x)dx2，f(x)dx. f(x)dx f(x)dx f(x)dx2.10如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为_考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 dx11定积分(2)dx_.考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 2解析 原式2dxdx.因为2dx2，dx，所以(2)dx2.12已知f(x)是一次函数，其图象过点(3,4)且f(x)dx1，则f(x)的解析式为_考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 f(x)x解析 设f(x)axb(a0)，f(x)图象过(3,4)点，3ab4.又f(x)dx(axb)dxaxdxbdxab1.解方程组得f(x)x.三、解答题13已知f(x)求f(x)在区间0,5上的定积分考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 如图画出函数f(x)的图象 由定积分的几何意义得xdx222，(4x)dx(12)1，dx211.所以f(x)dxxdx(4x)dxdx21.四、探究与拓展14若定积分dx，则m等于( )a1 b0c1 d2考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 a解析 根据定积分的几何意义知，定积分dx的值就是函数y的图象与x轴及直线x2，xm所围成的图形的面积y是一个以(1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于，而dx，所以m1.15.如图所示，抛物线yx2将圆x2y28分成两部分，现在向圆上均匀投点，