人教B版选修21 2.3.1　双曲线的标准方程 学案.doc

2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目标：1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程(重点)3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)自 主 预 习探 新 知1双曲线的定义2双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系式c2a2b2思考1：双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？提示双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b的大小关系不确定思考2：如何确定双曲线标准方程的类型？提示焦点f1，f2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上基础自测1思考辨析(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab.()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab.()提示(1)差的绝对值是常数，且02a|f1f2|才是双曲线(2)a与b大小关系不定，a和b相等时叫等轴双曲线(3)2双曲线1的焦距为()a3 b4c3 d4d解a210，b22，c2a2b212，c2，2c4，故选d.3已知双曲线的a5，c7，则该双曲线的标准方程为_. 【导学号：33242148】1或1b2c2a2492524，双曲线方程为1或1.合 作 探 究攻 重 难双曲线定义的应用探究问题1如何理解双曲线定义中的“大于零且小于|f1f2|”？提示：若将“小于|f1f2|”改为“等于|f1f2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以f1，f2为端点的两条射线(包括端点)；若将“小于|f1f2|改为“大于|f1f2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段f1f2的中垂线2若|mf1|mf2|f1f2|，则动点m的轨迹是什么？提示：(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支设f1，f2表示双曲线的左、右焦点，若|mf1|mf2|2a，则点m在右支上；若|mf2|mf1|2a，则点m在左支上(2)双曲线定义的双向运用：若|mf1|mf2|2a(02a|f1f2|)，则动点m的轨迹为双曲线；若动点m在双曲线上，则|mf1|mf2|2a.已知f1，f2是双曲线1的两个焦点，若p是双曲线左支上的点，且|pf1|pf2|32.试求f1pf2的面积. 【导学号：33242149】思路探究根据双曲线的定义及余弦定理求出f1pf2即可解由1得a3，b4，c5.由双曲线定义及p是双曲线左支上的点得|pf1|pf2|6，|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|36，又|pf1|pf2|32，|pf1|2|pf2|2100，由余弦定理得cosf1pf20，f1pf290，s|pf1|pf2|16.母题探究：1.(变换条件)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点p到焦点f1的距离为10，求点p到焦点f2的距离解由1得a3，b4，c5，由双曲线定义得|pf1|pf2|6，即|pf1|pf2|6，|pf2|106，点p到焦点f2的距离为4或16.2(变换条件)若把本例条件“|pf1|pf2|32”换成“|pf1|pf2|25”，其他条件不变，试求f1pf2的面积解由1得a3，b4，c5，由|pf1|pf2|25，可设|pf1|2k，|pf2|5k.由|pf2|pf1|6可得k2，|pf1|4，|pf2|10，由余弦定理得cosf1pf2，sinf1pf2，s|pf1|pf2|sinf1pf24108.规律方法双曲线上的点p与其两个焦点f1，f2连接而成的三角形pf1f2称为焦点三角形.令|pf1|r1，|pf2|r2，f1pf2，因|f1f2|2c，所以有(1)定义：|r1r2|2a.(2)余弦公式：4c2rr2r1r2cos .(3)面积公式：sr1r2sin .一般地，在pf1f2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，经过点a；(2)经过点(3,0)，(6，3)思路探究先设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b的方程组求解解(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为1(b0)，把a点的坐标代入，得b20，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为1(b0)，把a点的坐标代入，得b29，所求双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，解得所求双曲线的标准方程为1.规律方法(1)求双曲线标准方程的两个关注点(2)待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能设方程：根据焦点位置，设其方程为1或1(a0，b0)，焦点位置不定时，亦可设为mx2ny21(mn0)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组得方程：解方程组，将a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式跟踪训练1根据条件求双曲线的标准方程(1)c，经过点a(5,2)，焦点在x轴上；(2)与椭圆1共焦点且过点(3，)解(1)设双曲线标准方程为1(a0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍)b21.双曲线的标准方程为y21.(2)椭圆1的焦点坐标为(2，0)，(2，0)依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则a2b220.又双曲线过点(3，)，1.a2202，b22.所求双曲线的标准方程为1.与双曲线有关的轨迹问题如图228，在abc中，已知|ab|4，且三内角a，b，c满足2sin asin c2sin b，建立适当的坐标系，求顶点c的轨迹方程. 【导学号：33242150】图228解以ab边所在的直线为x轴，ab的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则a(2，0)，b(2，0). 由正弦定理，得sin a，sin b，sin c(r为abc的外接圆半径)2sin asin c2sin b，2ac2b，即ba，从而有|ca|cb|ab|2|ab|.由双曲线的定义知，点c的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)a，c2，b2c2a26，即所求轨迹方程为1(x)规律方法求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程.求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练2如图229所示，已知定圆f1：(x5)2y21，定圆f2：(x5)2y242，动圆m与定圆f1，f2都外切，求动圆圆心m的轨迹方程图229解圆f1：(x5)2y21，圆心f1(5,0)，半径r11；圆f2：(x5)2y242，圆心f2(5,0)，半径r24.设动圆m的半径为r，则有|mf1|r1，|mf2|r4，|mf2|mf1|310|f1f2|.点m的轨迹是以f1，f2为焦点的双曲线的左支，且a，c5，于是b2c2a2.动圆圆心m的轨迹方程为1.当 堂 达 标固 双 基1若点m在双曲线1上，双曲线的焦点为f1，f2，且|mf1|3|mf2|，则|mf2|等于()【导学号：33242151】a2 b4c8 d12b双曲线中a216，a4,2a8，由双曲线定义知|mf1|mf2|8，又|mf1|3|mf2|，所以3|mf2|mf2|8，解得|mf2|4.2“ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的()a必要不充分条件b充分不必要条件c充要条件 d既不充分也不必要条件a当方程表示双曲线时，一定有ab0，反之，当ab0时，若c0，则方程不表示双曲线3若方程3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是() 【导学号：33242152】a(1,2)b(2，) c(，2)d(2,2)c由题意，方程可化为3，解得：m2.4已知动圆m与圆c1：(x3)2y29外切且与圆c2：(x3)2y21内切，则动圆圆心m的轨迹方程是_1(x2)设动圆m的半径为r.因为动圆m与圆c1外切且与圆c2内切， 所以|mc1|r3，|mc2|r1.相减得|mc1|mc2|4.又因为c1(3,0)，c2(3,0)，并且|c1c2|64，所以点m的轨迹是以c1，c2为焦点的双曲线的右支，且有a2，c3.所以b25，所求的轨迹