（江苏版）高考数学走出题海之黄金50题系列（第02期）专题03 压轴题拔高精选50题（含解析）.doc

专题三 压轴题拔高精选第一组1. 设，均为大于1的实数，且为和的等比中项，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：因为为和的等比中项，所以，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为；2. 在平面直角坐标系中，圆：，圆：若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，满足，则半径r的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意可知满足的点应在以为圆心，半径为25的圆上及其内部（且在圆的外部），记该圆为，若圆上存在满足条件的点，则圆与圆有公共点，所以，即，解得；3. 如图，在平行四边形abcd中，e为dc的中点， ae与bd交于点m，,，且，则 【答案】【解析】试题分析：,4. 在平面直角坐标系xoy中，已知圆c：，点a是轴上的一个动点，ap，aq分别切圆c于p，q两点，则线段pq长的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：由题意得：,又，所以，因此线段pq长的取值范围为5. 已知直线与曲线恰有四个不同的交点，则实数k的取值范围为 【答案】2yxo6. 已知实数满足，且，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：，当且仅当时取等号，所以的最小值为7. 已知函数（1）当时，求的单调减区间；（2）若方程恰好有一个正根和一个负根，求实数的最大值【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）本题含有绝对值，不可直接求导，需先根据定义去绝对值，再求导：当时，由，解得，所以的单调减区间为，当时，由，解得或，所以的单调减区间为，（2）分析函数图像可知：当时，有极大值，当时，满足条件的实数需满足：且，然后做两件事：一是证明恒成立，二是根据函数求实数最大值，即试题解析：（1）当时， 1分当时，由，解得，所以的单调减区间为， 3分当时，由，解得或，所以的单调减区间为， 5分综上：的单调减区间为， 6分（2） 当时，则，令，得或，x0+00+极大值极小值所以有极大值，极小值，7分当时， 同（1）的讨论可得，在上增，在上减，在上增，在上减，在上增，8分且函数有两个极大值点，9分，10分且当时， 所以若方程恰好有正根，则（否则至少有二个正根） 11分又方程恰好有一个负根，则 12分令，则， 所以在时单调减，即，13分等号当且仅当时取到所以，等号当且仅当时取到且此时，14分即， 15分所以要使方程恰好有一个正根和一个负根，的最大值为16分8. 已知数列的前n项和为，设数列满足（1）若数列为等差数列，且，求数列的通项公式；（2）若，且数列，都是以2为公比的等比数列，求满足不等式的所有正整数n的集合【答案】（1）或（2）1，2，3，4，5，6【解析】试题分析：（1）因为数列为等差数列，所以求数列的通项公式只需确定首项及公差即可：由，得对一切都成立，按整理得：对一切都成立所以，解得或所以的通项公式为或（2）解不等式，先化简不等式，由题意得需先求和，这要分奇偶性：，从而可得，因此所求不等式等价为即，结合数列单调性可解得满足条件的正整数n的集合为1，2，3，4，5，6试题解析：（1）设等差数列的公差为，所以， 1分由，得，及由，又由，得对一切都成立， 3分即对一切都成立令，解之得或经检验，符合题意，所以的通项公式为或 5分（2）由题意得，6分 7分 8分 9分记，即， 10分记，则 ，当，2，3时，当时， 12分因为时，所以；且；所以在时也是单调递增， 14分时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，所以满足条件的正整数n的集合为1，2，3，4，5，616分9. 设，函数 （1）若为奇函数，求的值； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）当时，求函数零点的个数【答案】（1）0；（2）或；（3）详见解析；【解析】试题分析：（1）奇函数条件的转化可以使用奇函数的定义，用方程恒成立求参数的值；也可以使用特殊值求出参数的值再检验；（2）不等式恒成立问题一般可以转化成函数的最值问题，本题不等式中含有绝对值，一般去绝对值，分类讨论求最值；本题也可以运用参数分离而后再求最值；（3）复合函数的零点问题可以通过换元分解为两个函数研究，先研究外函数的零点，再研究内函数相应的方程的根的情况，研究的过程中应注意数形结合；试题解析：（1）若为奇函数，则，令得，即，所以，此时为奇函数（2）因为对任意的，恒成立，所以当时，对任意的，恒成立，所以；当时，易得在上是单调增函数，在上是单调减函数，在上是单调增函数，当时，解得，所以；当时，解得，所以a不存在；当时，解得，所以；综上得，或（3）设，令，则，第一步，令，所以，当时，判别式，解得，；当时，由得，即，解得；第二步，易得，且，若，其中， 当时，记，因为对称轴， ，且，所以方程有2个不同的实根；当时，记，因为对称轴， ，且，所以方程有1个实根，从而方程有3个不同的实根； 若，其中，由知，方程有3个不同的实根； 若， 当时，记，因为对称轴， ，且，所以方程有1个实根；当时，记，因为对称轴， ，且，记，则，故为上增函数，且， 所以有唯一解，不妨记为，且，若，即，方程有0个实根；若，即，方程有1个实根；若，即，方程有2个实根，所以，当时，方程有1个实根；当时，方程有2个实根；当时，方程有3个实根综上，当时，函数的零点个数为7；当时，函数的零点个数为8；当时，函数的零点个数为9 10. 设是公差为的等差数列，是公比为()的等比数列记（1）求证：数列为等比数列；（2）已知数列的前4项分别为4，10，19，34 求数列和的通项公式； 是否存在元素均为正整数的集合，(，)，使得数列 ，为等差数列？证明你的结论【答案】（1）详见解析；（2），；（3）不存在，详见解析；【解析】试题分析：（1）证明等比数列一般依据等比数列的定义；（2）运用（1）中的结论先求出公比和公差，再求首项；或者列出公差、公比以及首项的方程组，再求解方程组；不管存在与否，只需研究的情形，假设存在这样的四项，由其中前三项构造项数的不等关系，研究得出所取得的后三项在原数列中必须连续，从而导出矛盾；试题解析：（1）证明：依题意， ， 从而，又，所以是首项为，公比为的等比数列 （2） 法1：由（1）得，等比数列的前3项为，则，解得，从而，且解得， 所以，法2：依题意，得 消去，得消去，得消去，得，从而可解得，所以， 假设存在满足题意的集合，不妨设，且， ，成等差数列，则，因为，所以， 若，则，结合得，化简得， 因为，不难知，这与矛盾，所以只能，同理，所以，为数列的连续三项，从而，即，故，只能，这与矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合第二组1. 在平面直角坐标系中，已知c：，a为c与x轴负半轴的交点，过a作c的弦ab，记线段ab的中点为m . 若oa = om，则直线ab的斜率为 【答案】2【解析】试题分析：设，因为,则线段的中点，又oa = om，所以，且，则，解得，即，所以；2. 已知均为锐角，且，则的最大值是 【答案】【解析】试题分析：由已知可知，且，则，所以，当且仅当时等号成立；3. 已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为 【答案】10000【解析】试题分析：，此时两解的和为1；，此时两解的和为3；，此时两解的和为,199；所以所有解的和为；4. 点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是 【答案】【解析】试题分析：设,则而因此5. 如图，椭圆(ab)的离心率， 左焦点为f，a，b，c为其三个顶点，直线cf与ab交于d，则tanbdc的值为 【答案】【解析】试题分析：因为，所以；因为，所以6. 在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则取得最大值时，内角的值为 【答案】【解析】试题分析：由题意得：，由余弦定理得：所以即，所以当时，取得最大值7. 已知函数，且（1）当时，求函数的减区间；（2）求证：方程有两个不相等的实数根；（3）若方程的两个实数根是，试比较，与的大小，并说明理由【答案】（1）（2）详见解析（3）【解析】试题分析：（1）当时，由得减区间；（2）因为，所以，因为所以，方程有两个不相等的实数根；（3）因为，所以试题解析：（1）减区间；4分（2）法1：，6分，8分所以，方程有两个不相等的实数根；10分法2：， 6分， 8分是开口向上的二次函数，所以，方程有两个不相等的实数根；10分（3）因为，12分， 14分又在和增，在减，所以 16分8. 已知数列，其前项和为（1）若是公差为的等差数列，且也是公差为的等差数列，求数列的通项公式；（2）若数列对任意，且，都有，求证：数列是等差数列【答案】（1）（2）详见解析【解析】试题分析：（1）先特殊后验证：由是公差为的等差数列，得平方化简得：，此时，满足题意（2）从任意性出发：分别取，及，目的消去和项，得递推关系式：即，即，又，所以试题解析：（1）设，则，当时， ， ， 联立消去，得， ，得：，则，将代入解出（舍去）， 2分从而解得，所以. 4分此时，对于任意正整数满足题意. 6分（2）因为对任意，都有， 在中取， 8分同理， 10分由知，,即，即， 12分中令，从而，即， 14分所以，数列成等差数列. 16分9. 已知函数，其中为常数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求证：有且仅有两个零点；（3）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值.【答案】（1）xy0；（2）详见解析；（3）4；【解析】试题分析：（1）求出f (1)，即切线的斜率，可由点斜式得直线方程；（2）用导数研究函数的单调性，再由零点存在性定理说明零点的个数；（3）不等式恒成立问题一般可以先参数分离，再求函数的最值，这样可以避免讨论求最值，本题在求最值时需要二次求导和估值来确定函数的最值；试题解析：（1）当k0时，f(x)1lnx因为f (x)，从而f (1)1又f (1)1，所以曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程y1x1，即xy0 （2）当k5时，f(x)lnx4因为f (x)，从而当x(0，10)，f (x)0，f(x)单调递减；当x(10，)时，f (x)0，f(x)单调递增所以当x10时，f(x)有极小值 因f(10)ln1030，f(1)60，所以f(x)在(1，10)之间有一个零点因为f(e4)440，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点从而f(x)有两个不同的零点 （3）方法一：由题意知，1+lnx0对x(2，)恒成立，即k对x(2，)恒成立令h(x)，则h(x)设v(x)x2lnx4，则v(x)当x(2，)时，v(x)0，所以v(x)在(2，)为增函数因为v(8)82ln8442ln80，v(9)52ln90，所以存在x0(8，9)，v(x0)0，即x02lnx040 当x(2，x0)时，h(x)0，h(x)单调递减，当x(x0，)时，h(x)0，h(x)单调递增所以当xx0时，h(x)的最小值h(x0)因为lnx0，所以h(x0)(4，4.5) 故所求的整数k的最大值为4 综合，知所求的整数k的最大值为4 10. 给定一个数列，在这个数列里，任取项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列的一个阶子数列.已知数列的通项公式为，等差数列，是数列的一个3阶子数列.（1）求的值；（2）等差数列是的一个阶子数列，且，求证：；（3）等比数列是的一个阶子数列，求证：.【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）详见解析；【解析】试题分析：（1）直接列式求解；（2）先由得到公差的范围，再用公差表示出，从而由得到的不等关系；（3）类比（2）设，先由得到公比的范围，每一项都用公比表示出，再由公比的范围放缩后进行求和，构造函数证明和与目标式的关系；试题解析：（1）因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2a3a3a6又因为a2，a3， a6，代入得，解得a0 （2）设等差数列b1，b2，bm的公差为d因为b1，所以b2，从而db2b1 所以bmb1(m1)d又因为bm0，所以0即m1k1所以mk2又因为m，kn*，所以mk1 （3）设c1 (tn*)，等比数列c1，c2，cm的公比为q因为c2，所以q 从而cnc1qn1（1nm，nn*） 所以c1c2cm1 设函数f(x)x，（m3，mn*）当x(0，)时，函数f(x)x为单调增函数因为当tn*，所以12 所以f()2即 c1c2cm2第三组1. 已知函数为奇函数，则不等式的解集为 【答案】【解析】试题分析：由函数为奇函数，得而因此，当时，解得；当时，解得；所以不等式的解集为2. 在三角形abc中，已知ab=3，a=,的面积为，则的值= .【答案】【解析】试题分析：，又ab=3，所以，由余弦定理得，所以3. 设点p,m,n分别在函数的图象上，且,则点p横坐标的取值范围为 .【答案】【解析】试题分析：由得为中点，设，则，所以，其中，由得，因为所以点p横坐标的取值范围为4. 设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为 【答案】129【解析】试题分析：由题意得：，由得，所以5. 在平面四边形中，已知，点分别在边上，且，若向量与的夹角为，则的值为 【答案】7【解析】试题分析：因为，所以，从而6. 在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离之和为，则的最大值为 【答案】18【解析】试题分析：由题意得：，所以，其图像为一个正方形，四个顶点分别为, 而表示到原点距离的平方，所以的最大值为7. 已知数列满足，数列满足（1）若为等比数列，求的前n项的和；（2）若，求数列的通项公式；（3）若，求证：【答案】（1）当时，当时，（2）（3）详见解析【解析】试题分析：（1）先确定通项公式，从而得通项公式，再根据通项公式特点，进行分类讨论：当时，则；当时，为公比不为1的等比数列，其和为（2）由得，因此，即隔项成等比数列（3）由得，从而利用裂项相消法得 =再由基本不等式即可得证，本题也可利用数学归纳法证明试题解析：（1） (2分）当时，则 (3分）当时， (5分）（2）(7分）当时，当时，(11分）（3），得 = =3.(16分)8. 已知函数，（1）求证： ;（2）设,求证：存在唯一的使得g(x)图象在点a()处的切线与y=f(x)图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得成立. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析【解析】试题分析：（1）构造函数转化为证明其最小值等于零，利用导数求函数最小值即可（2）先列出所满足的等量关系，这从公切线出发即可：再证函数有且仅有一解，这可利用导数研究其单调性，并结合零点存在定理证明（3）先将命题等价转化为：当时不等式即在上有解. 令，即证，利用二次求导可证试题解析：（1）令，得,当时当时，由最小值定义得即（4分）（2）在处切线方程为 设直线与图像相切于点，则 (6分) 由得 下证在上存在且唯一.令，在上.又图像连续，存在唯一 使式成立，从而由可确立.故得证（10分）由（1）知即证当时不等式即在上有解.令，即证（12分）由得.当时，当时，.令，其中则，.综上得证(16分)9. 已知函数（为常数），其图象是曲线（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】 （1）；（2）；（3）当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使.【解析】试题分析：（1）这是一个求函数单调递减区间的问题，比较简单，可以通过导数的符号去判断；（2）这是一个两方程有公共解且公共解唯一的问题，消去参数后就转化为含有参数的关于未知数的三次方程有唯一解的问题，可利用三次函数的图象判断；（3）可设，然后把点的坐标和都用表示，再考察关于的等式恒成立，从而去确定常数是否存在.试题解析：(1)当时， . 2分令f (x)0，解得，f(x)的单调减区间为 4分 (2) ，由题意知消去，得有唯一解6分令，则，以在区间，上是增函数，在上是减函数，8分又，故实数的取值范围是 10分(3) 设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标 12分由题意知，若存在常数，使得，则，即常数，使得，所以常数，使得解得常数，使得， 15分故当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使16分10. 已知数列满足，是数列 的前项和(1)若数列为等差数列（）求数列的通项；（）若数列满足，数列满足，试比较数列 前项和与前项和的大小；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（）；（）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）（）由可得，在递推关系式中，由可求，进而求出，于是可利用是等差数列求出的值，最后可求出的通项公式，（）易知，所以要比较和的大小，只需确定的符号和和1的大小关系问题，前者易知为正，后者作差后判断符号即可；（2）本题可由递推关系式通过变形得出，于是可以看出任意，恒成立，须且只需，从而可以求出的取值范围试题解析：(1)（）因为，所以，即，又，所以， 2分又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以； 4分（）因为，所以，其前项和，又因为， 5分所以其前项和，所以， 7分当或时，；当或时，；当时，9分（2）由知，两式作差，得， 10分所以,再作差得，11分所以，当时，；当时，；当时，；当时，；14分因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，故实数的取值范围为16分第四组1. 已知的内角的对边分别为，若且，则的面积的最大值为 【答案】【解析】试题分析：所以由余弦定理得，因此的面积2. 在平面直角坐标系中，已知,若在以点为圆心，为半径的圆上存在不同的两点,使得，则的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：设点到直线ab距离为则由题意得,其中m为ab中点，因此，3. 设函数是定义在上的奇函数，当时，其中，若对任意的，都有，则实数的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：当时，又当时，函数在上单调递增，满足；当时，函数在上单调递减，在及在上单调递增，要满足，须恒成立，即恒成立，因此，从而，综上得实数的取值范围为4. 已知函数满足：当时，当时，若在区间内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：当时，由条件得，函数恰有一个零点方程有唯一解，在直角坐标系内分别作出与的图象，当直线经过点时，当直线和曲线相切时，切点为，此时，由图象可知，当时，函数与的图象恰有唯一的交点yxo135. 设椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：在四边形中，由题意得，即，化解得，又在椭圆中，6. 设函数，则满足的的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：，函数在上单调递增，且，或，解得或7. 设，函数，其中常数a （1）求函数的极值； （2）设一直线与函数的图象切于两点a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 求的值； 求证：【答案】(1) 当时，函数无极值; 当时，函数的极小值为，极大值为； (2) 详见解析【解析】试题分析： (1)先分段求函数导数： 则.当时，导函数无零点，函数无极值; 当时，列表分析可得函数的极小值为，极大值为；(2) 当时，先求切线方程，从而得等量关系，分解因式得等量代换即得，利用，化简得试题解析：（1）依题意， 则由得，当时，所以无极值； 3分当时，列表：x(-，0)000极小值0极大值 所以函数的极小值为，极大值为； 6分（2）当时， 直线ab的方程为， 或，于是即故(常数)； 11分证明：设，则解得或 (舍去，否则)，故 ，即证 16分8. 已知数列的奇数项是首项为的等差数列，偶数项是首项为的等比数列，数列前项和为，且满足.()求数列的通项公式；（）若，求正整数的值；（）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由.【答案】（）（）（）或【解析】试题分析：（）数列通项分奇偶求：方法为待定系数法，注意项数，由可解得公差及公比，从而，因此（）由于数列通项分奇偶，因此从奇偶分别讨论：若则，解得；若，即，解得，舍（）先求和，限定，而为正整数，即只能为，分类讨论得或.试题解析：（i）设的公差为d. 的公比为，则由 故 故 4分（ii）由，若，则 即，即 若，即即为正整数为正整数，即即，此时式为不合题意综上，. 9分（iii）若为中的一项，则为正整数 又 故若为中的某一项只能为 若无解若，显然不符合题意，符合题意当时，即，则即为增函数，故，即为增函数故，故当时方程无解即是方程唯一解若即综上所述，或. 16分9. 已知函数，其中函数的图象在点处的切线平行于轴（1）确定与的关系；（2）若，试讨论函数的单调性； （3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：【答案】（1）（2）当时，在单调减函数，在单调增；当时，在上单调减；在和单调增；当时，在单调增；当时在和单调增；在单调减（3）详见解析【解析】试题分析：（1）利用导数几何意义，确定与的关系：（2）根据导函数零点分布情况依次讨论：由知需分，四种情况讨论（3）先分析所证不等式结构，设，再构造函数进行论证：，试题解析：（1）， ，由题意得， ； （2），当时，当时，函数在单调减；当时，函数在单调增； 当时，即，函数在上单调减；函数在和单调增； 当时，即，函数在单调增； 当时即，函数在单调减区间；函数在和单调增； （3）由题设， 令，则，时， 函数在是减函数，而，时， ，即， 令，则， 时， 在是增函数， 时， ，即 由得 10. 设数列的前项和为，满足 （1）当时，设，若，求实数的值，并判定数列是否为等比数列； 若数列是等差数列，求的值；（2）当时，若数列是等差数列，且，求实数的取值范围【答案】（1），数列是等比数列；3；（2）【解析】试题分析：（1）由，列出关于两个独立条件，解出，利用解出递推关系式，再根据，构造，从而得证数列是等比数列；从数列是等差数列出发，将条件转化为关于恒等式：，消去，得出关系，即可求出的值；（2）本题实质求和，难点为配方：，以下就简单了，一是裂项相消求和，二是恒成立转化为最值求解试题解析：（1），令，可得，即，令，可得，即，,， 当时， -，得， ，即， 又， 数列是等比数列； 数列是等差数列，设， ，； （2）当时，数列是等差数列， ， ，即， ，令， ，当时， 在上是增函数，而， 第五组1. 已知椭圆的中心、右焦点、右顶点依次为直线与轴交于点，则取得最大值时的值为 .【答案】2【解析】试题分析：由题意得：，当且仅当时取最大值，又，所以2. 在四边形abcd中，则四边形abcd的面积是 【答案】【解析】试题分析：设，则|a|=|b|=|c|=1，a+b=c，所以，得cos=,又由，所以，可得四边形abcd为有一个角的菱形，所以，其面积.3. 是定义在上的奇函数，若当时， ，则关于的函数的所有零点之和为 （用表示）【答案】【解析】试题分析：根据对称性，作出r上的函数图象，由，所以，零点就是与交点的横坐标，共有5个交点，根据对称性，函数的图象与的交点在之间的交点关于对称，所以，在之间的两个交点关于对称，所以，设，则，所以，即，由，所以，即，所以，.4. 如图，梯形中，若，则 【答案】【解析】试题分析：，5. 设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由条件得，不妨设，则，即，；同理得当时，而，的取值范围是6. 设函数满足，且当时，若在区间内，存在个不同的实数，使得，则实数的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：，当时，在直角坐标系内作出函数的图象，而表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率图象上的点与原点的连线的斜率为；当过原点的直线与曲线相切时，斜率为（利用导数解决：设切点为则，因此斜率为）结合图形可知，满足题意得实数的取值范围为7. 已知函数，设.（1）若在处取得极值，且，求函数h(x)的单调区间；（2）若时函数h(x)有两个不同的零点x1,x2.求b的取值范围；求证：.【答案】（1）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）（，0）详见解析【解析】试题分析：（1）先确定参数：由可得a=b-3. 由函数极值定义知所以a= -2,b=1 .再根据导函数求单调区间（2）当时，原题转化为函数与直线有两个交点，先研究函数图像，再确定b的取值范围是（，0）.，由题意得,所以，因此须证，构造函数，即可证明试题解析：(1)因为，所以,由可得a=b-3. 又因为在处取得极值，所以， 所以a= -2,b=1 . 所以，其定义域为（0，+）令得， 当（0,1）时，当（1,+），所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减. （2）当时，其定义域为（0，+）.由得，记，则,所以在单调减，在单调增，所以当时取得最小值.又，所以时，而时, 所以b的取值范围是（，0）. 由题意得,所以,所以，不妨设x1x2,要证 , 只需要证.即证，设,则,所以,所以函数在（1，+）上单调增，而，所以即,所以 .8. 若数列满足，存在常数与无关），使.则称数列是“和谐数列”.（1）设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列”；（2）设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列”的充要条件为.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）新定义问