2020届益阳市高三上学期期末数学（理）试题（解析版）

2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】解指数不等式求得集合，由此求得【详解】由，解得，即，所以.故选：B.【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查指数不等式的解法，属于基础题.2已知复数，则复数的虚部为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用复数四则运算求得复数，从而得到复数的虚部。【详解】因为，所以，所以其虚部为.故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部的概念，考查对概念的理解与应用。3已知函数，则在处的切线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】对函数求导得，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程求得答案。【详解】因为，所以，又因为，所以切点为，所以曲线在处的切线方程为.故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义、曲线在某点处的切线方程，考查数形结合思想和运算求解能力。4设x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）A2B6C10D14【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，利用直线在轴截距的几何意义，即可求得答案。【详解】不等式组表示的可行域为如图所示的的内部（包括边界），易得，当过点C时，取得最大值，所以.故选：C.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用，求解时注意将问题转化为直线在轴上截距的最值问题。5已知函数，则函数的最小正周期是（ ）ABCD【答案】B【解析】将函数化为的形式，即可求函数的最小正周期.【详解】解：，所以的最小正周期为，故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变形，考查三角函数的周期，是基础题.6若输入x的值为7.则输出结果为（ ）ABCD【答案】B【解析】直接根据程序框图，一步一步往下执行，直到终止循环，即可得到答案。【详解】第一次循环：，是，；第二次循环：，是，；第三次循环：，是，；第四次循环：，否，.故选：B.【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，求解时注意何时终止循环，属于基础题。7如图，在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）中，P，E，F分别是，AC的中点.则四棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】先证明平面，从而得到P到平面的距离为，再利用四棱锥的体积公式，即可得到答案。【详解】因为，所以平面，所以P到平面的距离为，又因为，所以.故选：C.【点睛】本题考查四棱锥体积的求解，求解时注意先证明线面垂直，找到高，再代入体积公式求得答案，考查空间想象能力和运算求解能力。8在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（ ）A2BC3D【答案】A【解析】由余弦定理算出的值，然后利用三角形的面积公式求面积即可.【详解】解：由余弦定理得，整理得，解得，所以的面积为，故选：A.【点睛】本题考查余弦定理以及三角形的面积公式，是基础题.9展开式中含x的项的系数为（ ）A-112B112C-513D513【答案】C【解析】项出时，项出；项出时，项出；从而求得含的项的系数。【详解】当项出时，5个括号均出；当项出时，5个括号有2个出，3个出；所以展开式中含的项为：.所以含的项的系数为.故选：C.【点睛】本题考查二项式定理的应用，求解展开式中指定项的系，考查逻辑推理能力和运算求解能力。10已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】利用三角形与相似得，结合双曲线的定义求得的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。【详解】设，由，与相似，所以，即，又因为，所以，所以，即，所以双曲线C的渐近线方程为.故选：C.【点睛】本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。11已知三棱锥中，平面ABC，若三棱锥外接球的表面积为，则直线PC与平面ABC所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】设为的外心，O为三棱锥外接球的球心，利用三棱锥外接球的表面积为，求得外接圆的半径为，找出直线PC与平面ABC所成角为，从而求得其正弦值。【详解】如图所示，设为的外心，O为三棱锥外接球的球心，由平面，平面ABC，知，取PA的中点D，由三棱锥外接球的表面积为，得，知四边形为矩形，又，所以，外接圆的半径为，在中，由，得，由平面ABC，所以是直线PC与平面ABC所成的角，.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、线面角的正弦值，考查空间想象能力和运算求解能力，求解的关键是先找到外接球的球心，再根据外接球的体积求出球的半径和底面外接圆的半径。12已知定义在R上的奇函数恒有，当时，则当函数在上有三个零点时，k的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意得函数的周期为2，在上单调递增，且为奇函数，从而得到函数的图象，从而根据直线与函数图象的交点情况，得到的取值范围。【详解】因为，所以的周期为2，又因为为奇函数，令，得，又，所以，当时，由单调递减得函数在上单调递增，所以，得，作出函数图象如图所示，由图象可知当经过点时，当过点时，当经过点时，所以当函数在上有三个零点时，或.故选：D.【点睛】本题考查函数的零点、函数的周期、奇偶性、单调性等知识的综合，考查转化与化归思想、数形结合思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是通过解析式的性质，作出函数的图象。二、填空题13已知在平行四边形中，则_. 【答案】【解析】根据平面向量的基本定理,将转换为用表示,进而得到再求解即可.【详解】因为所以，由，得，所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用平面向量的基底向量用法,属于基础题型.14已知是第四象限角，且满足，则_【答案】【解析】将转化为，解方程求出.【详解】解：由已知得，解得或，因为是第四象限角，故，故答案为：.【点睛】本题考查三角恒等变形，考查正，余弦齐次式的变形与求值，是基础题.15一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是_.【答案】【解析】先定义事件，从而得到事件“甲恰好摸到两次绿球的情况为事件，利用事件的独立性进行概率计算，即可得到答案。【详解】设“甲摸到绿球”的事件为，则，“甲摸到红球”的事件为，则，设“乙摸到绿球”的事件为，则，“乙摸到红球”的事件为，则，在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的情况是，所以.故答案为：【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是准确定义相关事件。16已知抛物线的准线为l，过点作斜率为正值的直线l交C于A，B两点，AB的中点为M.过点A，B，M分别作x轴的平行线，与l分别交于D，E，Q，则当取最小值时，_.【答案】【解析】不妨设直线AB方程为，借助的坐标和韦达定理，将表示成关于的函数，从而得到取最小值时，对应的值，再利用弦长公式求得的值。【详解】不妨设直线AB方程为，代入抛物线，整理得，则，由，得，所以，因为，所以，当时，取得最小值.此时，.故答案为：【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式，函数最值，考查转化与化归思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是要有函数意识，将最值问题转化为函数问题进行研究。三、解答题17已知数列的前n项和为，.（1）求及数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）利用临差法将递推关系转化成，同时验证，从而证明数列为等比数列，再利用通项公式求得；（2）利用对数运算法则得，再用等比数列求和及裂项相消法求和，可求得。【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以，整理得， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以（2）， .【点睛】本题考查等比数列的定义证明、等比数列前项和、裂项相消法求和，考查转化与化归思想、方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意数列下标的限制。18某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1900万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）.（1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立.根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率：若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用）【答案】（1）19.8万件（2）0.6 乙方案.【解析】（1）利用小矩形的中点乘以小矩形的面积之和，从而求得平均数；（2）由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，再从频率分布直方图中，估计年销售利润不低于270万的概率；分别计算两种方案6年的净利润的期望值，再比较大小，从而得到结论。【详解】（1）年销量的平均数（万件）. （2）该产品的销售利润为15元/件，由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，所以年销售利润不低于270万的概率.设甲方案的年销售量为X万件，由（1）可知甲方案的年销售量的期望，所以甲方案6年的净利润的期望值为（万元）. 设乙方案的年销售量为Y万件，则乙方案的年销售量的分布列为Y121620P0.050.350.6所以乙方案的年销售量期望（万件），所以乙方案6年的净利润的期望值为（万元），因为乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值,所以企业应该选择乙方案.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望、频率分布直方图、频率估计概率、及利用期望进行决策等知识，考查数据处理能力和逻辑推理能力，求解的关键是读懂频率分布直方图是将两种方案的销售量整合在一张图里，所以在判断乙方案时，要注意年销售量为Y只能取12，16，20.19如图1所示，在直角梯形DCEF中，将四边形ABEF沿AB边折成图2.（1）求证：平面DEF；（2）若，求平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连接BD,交AC于点O,取DE的中点为G,连接FG，OG，证明，再利用线面平行判定定理，即可证得平面DEF；（2）以C为坐标原点，CB，CD，CE所在直线分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面DEF的法向量，平面EAC的法向量，求出两个法向量夹角的余弦值，从而求得平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值。【详解】（1）连接BD,交AC于点O,取DE的中点为G,连接FG，OG,则，又因为，所以，且，所以四边形AOGF是平行四边形，所以，又平面DEF，平面DEF，所以平面DEF.（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以平面ABCD， 所以CB，CD，CE两两垂直，以C为坐标原点，CB，CD，CE所在直线分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，由，得，设平面DEF的法向量为，因为，所以由，得，令，得，所以， 设平面EAC的法向量，因为，所以由，得，令，得， 设平面DEF与平面EAC所成的锐二面角为，所以，所以平面DEF与平面EAC所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行判定定理的应用、向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和运算求解能力，证明线面平行时，要注意判定定理条件的完整性，不能把线在面外这一条件漏掉；建系之前，对于两两互相垂直的三条直线要给予证明。20已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线上与C交于A，B两点，是否存在l，使得点在以AB为直径的圆外.若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】（1）根据椭圆的离心率为，过点，可得到关于的方程，解方程可得的值，从而得到椭圆的方程；（2）由点在以AB为直径的圆外，得，设，将向量的数量积用直线的斜率进行表示，解不等式和判别式在于0，取交集可得的取值范围。【详解】（1）由题意知，得，所以，将点代入C得，解得，所以椭圆C的标准方程为.（2）设，由题意知，由，得，由，得或，所以， 因为点在以AB为直径的圆外，所以，即，所以，解得，所以k的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆的离心率、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积等知识，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意隐含条件判别式大于0的运用。21已知，.（1）讨论的单调区间；（2）当时，证明：.【答案】（1）在上单调递减；在和上单调递增.（2）见解析【解析】（1）先求函数的定义域，再进行求导得，对分成，三种情况讨论，求得单调区间；（2）要证由，等价于证明，再对分，两种情况讨论；证明当时，不等式成立，可先利用放缩法将参数消去，转化成证明不等式成立，再利用构造函数，利用导数证明其最小值大于0即可。【详解】（1）的定义域为，当时，由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，由，得或；由，得；所以在上单调递减，在和上单调递增；当时，由，得在上单调递增；当时，由，得或；由，得；所以在上单调递减；在和上单调递增. （2）由，得，当时，不等式显然成立； 当时，由，得，所以只需证：， 即证，令，则，令，则，令，则，所以在上为增函数，因为，所以存在，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以，所以，所以原命题得证【点睛】本题考查含参数函数的单调性、放缩法证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，在分类讨论时要做到不重不漏，在运用放缩法时，要注意合理进行消参。22在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐