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矩阵理论2007年考试参考答案一、判断题（40分）（对者打，错者打）1、设的奇异值分别为，如果，则. ( )2、设为正规矩阵，则矩阵的谱半径. ( )3、设可逆，若对算子范数有，则可逆. ( )4、设为一非零实矩阵，则为A的一个广义逆矩阵 ( )5、设A为矩阵，P为m阶酉矩阵, 则PA与A有相同的奇异值. ( )6、设，且A的所有列和都相等，则. ( )7、如果，则是向量范数. ( )8、至少有2个实特征值. ( )9、设则矩阵范数与向量的1-范数相容. ( )10、设是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数有, 其中为单位矩阵. ( )二、计算与证明（60分）1. (10分)设矩阵可逆, 矩阵范数是上的向量范数诱导出的算子范数, 令, 证明: . 证明: 根据算子范数的定义, 有, ,结论成立.2.(10分) 已知矩阵,(1) 求矩阵的最大秩分解;(2) 求;(3) 用广义逆矩阵方法判断方程组是否有解?(4) 求方程组的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解)解: (1),(2), ,(3) , 方程组有解;(5) 最小范数解:.3. (10分) 设矩阵为单纯矩阵, 证明: 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵, 使得为Hermite矩阵.证明: (充分性) , , .(必要性) 为单纯矩阵, 所以,令, 则为Hermite矩阵.4. (10分) 设矩阵为行严格对角占优矩阵, 用Gerschgorin圆盘定理证明: (1) 矩阵为可逆矩阵;(2) 如果矩阵的所有主对角元均为负数, 证明的所有特征值都有负实部.证明：(1)A行严格对角占优A的特征值都有负实部5. (10分) (1) 设矩阵, 且, 其中为单位矩阵, 证明酉相似于对角矩阵, 并求此对角矩阵. 证明: 由于矩阵和的非零特征值相同, 所以矩阵的特征值为1(个)和 0(个), 同时由于矩阵为Hermite矩阵, 所以矩阵酉相似于对角矩阵(2) 设矩阵, 证明: .证明: 令. 设的特征值为, 则, 即.设, 所以有, 即1是矩阵的特征值, 故, .6. (10分) (1) 设矩阵, 则是矩阵范数.(2) 设为非零列向量,
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