（全国通用）2018版高考数学总复习 考前三个月 中档大题规范练 3 立体几何 理.doc

3.立体几何1.(2017全国)如图，四面体abcd中，abc是正三角形，acd是直角三角形，abdcbd，abbd.(1)证明：平面acd平面abc；(2)过ac的平面交bd于点e，若平面aec把四面体abcd分成体积相等的两部分，求二面角daec的余弦值.(1)证明由题设可得abdcbd.从而adcd，又acd为直角三角形，所以adc90，取ac的中点o，连接do，bo，则doac，doao，又因为abc是正三角形，故boac，所以dob为二面角dacb的平面角，在rtaob中，bo2oa2ab2，又abbd，所以bo2do2bo2ao2ab2bd2，故dob90，所以平面adc平面abc.(2)解由题设及(1)知，oa，ob，od两两垂直，以o为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，则o(0，0，0)，a，d，b，c(1，0，0)，由题意知，四面体abce的体积为四面体abcd的体积的，从而e到平面abc的距离为d到平面abc的距离的，即e为db的中点，得e，故，.设平面aed的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面aec的法向量为n2(x2，y2，z2)，则解得n1，解得n2(0，1，)，设二面角daec为，易知为锐角，则cos .2.(2017河南百校联盟模拟)在如图所示的直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是bc，a1b1的中点.(1)求证：de平面acc1a1；(2)若abbc，abbc，acb160，求直线bc与平面ab1c所成角的正切值.(1)证明取ab中点f，连接df，ef.在abc中，因为d，f分别为bc，ab的中点，所以dfac，又df平面acc1a1，ac平面acc1a1，所以df平面acc1a1.在矩形abb1a1中，因为e，f分别为a1b1，ab的中点，所以efaa1，又ef平面acc1a1，aa1平面acc1a1，所以ef平面acc1a1.因为dfeff，所以平面def平面acc1a1.因为de平面def，故de平面acc1a1.(2)解因为三棱柱abca1b1c1为直三棱柱，所以bcbb1，又abbc，abbb1b，所以bc平面abb1a1.因为abbc，bb1bb1，所以abb1cbb1，ab1cb1，又acb160，所以ab1c为正三角形，所以ab1acab，所以bb1ab.取ab1的中点o，连接bo，co，所以ab1bo，ab1co，所以ab1平面bco，所以平面ab1c平面bco，点b在平面ab1c上的射影在co上，所以bco即为直线bc与平面ab1c所成的角.在rtbco中，boabbc，所以tanbco.3.(2017中原名校豫南九校模拟)如图，在矩形abcd中，ab1，ada，pa平面abcd，且pa1，e，f分别为ad，pa的中点，在bc上有且只有一个点q，使得pqqd.(1)求证：平面bef平面pdq；(2)求二面角ebfq的余弦值.(1)证明方法一(向量法)以a点为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系axyz，则a(0，0，0)，b(1，0，0)，d(0，a，0)，p(0，0，1)，设q(1，x，0)，则(1，x，1)，(1，ax，0)，若pqqd，则1x(ax)0，即x2ax10，a240，a2，x1.q，又e是ad的中点，e，bedq，又be平面pdq，dq平面pdq，be平面pdq，又f是pa的中点，efpd，ef平面pdq，pd平面pdq，ef平面pdq，beefe，be，ef平面bef，平面bef平面pdq.方法二(几何法)题意转化为矩形abcd中aq垂直于qd的点q只有一个，则以ad为直径的圆与线段bc相切，易得bc2，q是线段bc的中点，由beqd，efdp，易得两平面平行.(2)解设平面bfq的一个法向量m，则mm0，由(1)知，xzy0，取z2，得m，同样求得平面bef的一个法向量n，cosm，n，二面角ebfq为锐角，二面角ebfq的余弦值为.4.(2017云南大理统测)在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧面pad底面abcd，且papdad，e，f分别为pc，bd的中点.(1)求证：ef平面pad；(2)在线段ab上是否存在点g，使得二面角cpdg的余弦值为，若存在，请求出点g的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明连接ac，由正方形性质可知，ac与bd相交于点f，所以在pac中，efpa，又pa平面pad，ef平面pad，所以ef平面pad.(2)解取ad的中点o，连接op，of，因为papd，所以poad，又因为侧面pad底面abcd，交线为ad，所以po平面abcd，以o为原点，分别以射线oa，of和op为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系oxyz，不妨设ad2，则p，d，c，假设在ab上存在点g，0a2，则，.因为侧面pad底面abcd，交线为ad，且底面是正方形，所以cd平面pad，则cdpa，由pa2pd2ad2，得pdpa，又pdcdd，pd，cd平面pdc，所以pa平面pdc，即平面pdc的一个法向量为(1，0，1).设平面pdg的法向量为n(x，y，z)，由即亦即可取n(a，2，a).所以|cos，n|，解得a1或a1(舍去).所以线段ab上存在点g，且g为ab的中点，使得二面角cpdg的余弦值为.5.(2017吉林长春检测)已知三棱锥abcd中，abc是等腰直角三角形，且acbc，bc2，ad平面bcd，ad1.(1)求证：平面abc平面acd；(2)若e为ab的中点，求二面角aced的余弦值.(1)证明因为ad平面bcd，bc平面bcd，所以adbc，又因为acbc，acada，ad，ac平面acd，所以bc平面acd，又bc平面abc，所以平面abc平面acd.(2)解由已知可得cd，如图所示建立空间直角坐标系，由已知c(0，0，0)，b(0，2，0)，a(，0，1)，d(，0，0)，e，则，(，0，1)，(，0，0)，设平面ace的法向量n(x1，y1，z1)，则令x11，得n(1，0，)，设平面ced的法向量m(x2，y2，z2)，则令y21，得m(0，1，2)，二面角aced的余弦值cosm，n.6.(2017福建厦门模拟)如图，在梯形abcd中，abcd，addccb1，abc60，四边形acfe为矩形，平面acfe平面abcd，cf1.(1)求证：bc平面acfe；(2)点m在线段ef上运动，设平面mab与平面fcb所成二面角为，试求cos 的取值范围.(1)证明在梯形abcd中，因为abcd，addccb1，abc60，所以ab2，所以ac2ab2bc22abbccos 603，所以ab2ac2bc2，所以bcac.因为平面acfe平面abcd，平面acfe平面abcdac，bc平面abcd，所以bc平面acfe.(2)解建立以直线ca，cb，cf为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系如图所示，令fm(0)，则c(0，0