3.3.2利用导数研究函数的极值.doc

3.3.2 函数的极值与导数时间：2018年3月9号 班级：300 地点：5楼录播室 授课教师：刘金才【学习要求】1了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件【教学内容分析】本节课主要学习函数的极值与导数，利用前面刚学习的函数的导数知识解决函数的极大值和极小值问题，进而为下一节学习函数的最大值和最小值做铺垫，所以本节课起到了承上启下的作用。【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤。【教学难点】函数在某点取得极值的必要条件与充分条件。【学法指导】函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.【教学过程】探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察，函数yf(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？yf(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数yf(x)在点xd处的函数值f(d)比它在点xd附近其他点的函数值都小，f(d)0；在xd的附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.极值的概念已知函数yf(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极大f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个 如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极小f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个 极大值与极小值统称为 极大值点与极小值点统称为 问题2函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个问题3若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明答可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在x0两侧f(x)的符号不同例如，函数f(x)x3可导，且在x0处满足f(0)0，但由于当x0时均有f(x)0，所以x0不是函数f(x)x3的极值点例1求函数f(x)x33x29x5的极值解f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变化时，f(x)，f(x)变化状态如下表：由表可知：当x1时，f(x)有极大值f(1)10.当x3时，f(x)有极小值f(3)22.求可导函数f(x)的极值的方法(1)求导数f(x)；(2)求方程 的所有实数根；(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极 值如果f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极 值如果在f(x)0的根xx0的左右两侧符号不变，则f(x0) .跟踪训练1求函数f(x)3ln x的极值解函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x).令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化状态如下表：因此当x1时，f(x)有极小值f(1)3.探究点二函数的极值与导数的应用跟踪训练2设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由解(1)f(x)aln xbx2x，f(x)2bx1.由极值点的必要条件可知：f(1)f(2)0，a2b10且4b10，解方程组得，a，b.(2)由(1)可知f(x)ln xx2x.f(x)x1x1当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0；所以x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点跟踪训练3若函数f(x)2x36xk在R上只有一个零点，求常数k的取值范围解f(x)2x36xk，则f(x)6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1,1)上为减函数，f(x)在(，1)和(1，)上为增函数f(x)的极大值为f(1)4k，f(x)的极小值为f(1)4k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4k0(如图所示)或即k4.k的取值范围是(，4)(4，)【当堂检测】 1“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2下列函数存在极值的是( )Ay Byxex Cyx3x22x3 Dyx33已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )A1a2 B3a6 Ca2 Da64设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围为_5直线ya与函数yx33x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是_【课堂小结】1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在x0两侧f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象