高一数学同步辅导教材(第17讲).doc

高一数学同步辅导教材（第17讲） 一、本讲进度 3.5 等比数列的前n项和 3.6 研究性课题：分期付款中的有关计算二、本讲主要内容1、等比数列前n项和的公式及其应用；2、分期付款中的有关计算问题。三、学习指导1、要掌握等比数列的前n项和的公式及其推导方法。由等比数列定义知道，anq=an+1，即等比数列中每一项乘以公比q以后就是它后面相邻的一项，因此，当q1时，Sn=a1+a2+a3+an 与qSn=a1q+a2q+anq中有n1项是相同的，彼此相减就可以消去这些相同的项，这是推导等比数列的前n 项的和的基本思路。这种方法也称错位相减法，它是数列求和的基本方法之一。等比数列的前n项和的公式为： 要全面理解这个公式，它是由公比q=1和q1两种情形构成的，在应用时注意公式的公比条件。如果是等差数列，是等比数列，那么数列的前n项和等于等差数列的前n项和加上或减去等比数列的前n项和；数列的前n 项和，可以用推导等比数列前n项和的公式方法一样的错位相减法化成等比数列的前n项和。课本第142页第6题、第7题都是这类称为混合数列的求和问题。第7题的结论： (其中nN+,a,b是不等于零的常数，且ab)也称为裴蜀定理。2、分期付款中的有关计算这是课本安排的一个研究性课题，是等比数列的前n项和的公式在购物付款方式上的一个实际应用。难度并不太高，比较贴近生活，要认真阅读课本内容，弄清分期付款的下列意义：(1)在分期付款中，每月的利息均是按复利计算的；(2)分期付款中规定每期所付的款额相同；(3)分期付款时，商品售价和每期所付款款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断地增值；(4)各期所付款额连同最后一次付款时所生的利息和=商品售价及从购买到最后一次付款的利息之和。四、典型例题分析例1 在等比数列中，a1+an=66,a2an1=128，且前n项和Sn=126,求n及公比q。解题思路分析根据等比数列的性质，a2an1=a1an，所以a1,an是方程x266x+128=0的两个根。解得a1=2,an=64或a1=64,an=2。从而可得n=6,公比q为2或。例2 在数列中，求数列的前n项和Sn.解题思路分析要分成偶数项和奇数项之和分别求解。显然求前偶数项和比较简单。当n=2k(kN+)时，a1,a3,a5,，a2k1，成等差数列，公有效差为4，首项为1；而a2,a4，a2k，成等比数列，公比为q，首项为a2=9,. 将k=代入得当n=2k1时，由S2k1=S2ka2k，得.例3 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？解题思路分析设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列，则a1=1000（1+50%）x=1000x；a2=(1000x)(1+50%)x=1000()2(1+)x;依次类推得a5=1000()51+()2+()3+()4x.由题意知：1000()51+()2+()3+()4x=2000解得x424万元例4 求数列1，（1+b）a,(1+b+b2)a2,，(1+b+b2+bn1)an1,的前n项和Sn.解题思路分析首先要弄清这个数列的通项：当b1时，；当b=1时，an=nan1.而= 括号中是两个指数函数的差，可见这个数列是由两个等比数列相应项的差组成的，可以先分别求和然后再求差。求和时区分a=1 与a1两种情形.例5 设数列 的首项a1=1,前n项的和Sn满足关系式3tSn(2t+3)Sn1=3t(t为常数,且t0, n=2,3,4,)。(1)求证：数列 是等比数列；(2)设 的公比为f(t)，作数列，使得b1=1,bn=f() (n=2,3,4,)，求的通项公式。(3)求和：b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1解题思路分析(1)求得a1=S1=1 S2=a1+a2=1+a2,代入关系式，得 ,又3tSn(2t+3)Sn1=3t, 3tSn1(2t+3)Sn2=3t, 两式相减得3tan(2t+3)an1=0,(2)由f(t)= 得bn=f由此可得(3)原式=b2(b1b3)+b4(b3b5)+b2n(b2n1b2n+1)=例6、从房产公司购买住宅一套，价值22万元。首次付款2万元之后，其余按年分期付款，且每年付款数相同，如果年利率为3%，利息按复利计算，并要求经15年付清购房款的本利和。问每年应付款多少元（精确到1元）？实际付出款总额比一次付款多付多少元？解题思路分析由于首付2万元，其余20万元按年分期付款，本题可以看成是贷款20万元，按年分期偿还的问题。设每年付款x元，由题意，得x+1.03x+1.032x+1.0314x=2000001.0315解得x16753元（可利用计算器计算）实际付款比一次性付款多付了51295元。五、巩固练习(一)选择题1、等比数列1,a,a2,an各项的和为（ ）(A) (B)(C) (D) 2、若某等比数列中前7项的和为48，前14项的和为60，则前21项的和为（ ）(A)180 (B)108 (C)75 (D)633、等比数列中，若S4=1,S8=3,则a17+a18+a19+a20的值为（ ）(A)20 (B)14 (C)16 (D)184、数列9，99，999，9999，的前n项和等于（ ）(A) (B)10n1(C) (D) 5、数列1，（1+2），（1+2+22），（1+2+22+2n1）, 的前n项的和为（ ）(A)2n (B)2nn (C)n2n (D)2n+1n26、某工厂产值a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值是（ ）(A)1.14a (B)1.15a (C)10(1.151)a (D)11(1.151)a7、某工厂生产总值月平均为p，则年平均增长率是（ ）(A)p12 (B)12p (C)(1+p)12 (D)(1+p)1218、如果数列的前n项和(nN+)，那么这个数列（ ）(A)是等差数列而不是等比数列(B)是等比数列而不是等差数列(C)既是等差数列又是等比数列(D)既不是等差数列又不是等比数列9、若数列前n项和Sn=1+ran(r0,r1，r为常数)，则数列的通项公式是（ ）(A) (B) (C) (D) 10、数列中，若其前n项和Sn=5,则n为（ ）(A)59 (B)60 (C)61 (D)62(二)填空题11、等比数列的前10项和为 。12、在等比数列中，若a5=8,q=,则an=_,Sn=_。13、在等比数列中，若b6b5=567,b2b1=7,则Sn=_。14、已知log2(Sn+1)=n+1,则数列中通项an=_.15、数列a1qn1,a1qn2,，a1q,a1,(a1q0)的公比为 ,前n项和Sn= .16、若等比数列中，a4=1,a7=8,则a6与a10的等比中项为 。(三)解答题17、已知数列的前n项和为Sn=2n1, 求的前n项和。18、利用等比数列前n项和的公式的推导方法，求的值。19、设是由正数组成的等比数列，它的前n项和为Sn，试比较logbSn+logbSn+2与 2logbSn+1的大小。20、某人想贷一笔款，年利率为5%，按复利计息，计划每年偿还1万元，经5年还清，问应贷给他多少元？21、设是正数组成的数列，其前n项和为Sn,并对所有的自然数n,求数列的通项公式。六、参考答案(一)选择题1、D等比数列共有n+1项，首项为1，公比为a，或2、D 等比数列中，S7，S14S7，S21S14成等比数列，公比为,3、CS4，S8S4，S12S8，S16S12，S20S16成等比数列，公比 a17+a18+a19=S20S16=S4q4=16.4、D数列通项公式为an=10n1. Sn=10+102+10nn=.5、D 数列通项为an=2n1,Sn=2+22+2nn=2(2n1)n=2n+1n2.6、D 从今年起五年的产值组成一个等比数列，a1=(1+10%)a,q=1+10%=1.1, 7、D 设上年12月生产总值是1，则今年年底生产总值为(1+p)12，增长率为。8、B ,检验n=1时也适合, 数列是等比数列,首项为,公比为,它不能是等差数列.9、C , n2时 , 于是， 故选C。10、B 解得n=60(二)填空题11、 等比数列首项为，公比为3，12、 直接用公式计算得，其中a1=128,q=.13、 由得q4=81, q=3。 于是q=3时，q=3时，。用公式计算得。14、 由题设得， a1=S1=3, n2时 an=SnSn1=2n+12n=2n15、, 注意数列中数的顺序，全面考虑等比数列的前n项和的公式。16、16 a7=a4q3 ,q=2. 等比中项 (三)解答题17、解：由Sn=2n1知 a1=S1=1;n2时，an=SnSn1=2n12n2=2n2，这数列为：1，1，2，4，除第1项外，从第二项起是公比为2的等比数列。为1，1，从第二项起是公比为的等比数列。18、解：令， 则两式相减，得 19、解： 又q0 0当0b1时， 这时20、解：应贷给他x万元，由题意得 答：应贷给他43295元。21、解：由已知得(an+2)2=8Sn, (an1+2)2=8Sn1 两式相减，得8an=(an+2)2(an1+2)2 即an2an124(an+an1)=0, (an+an1)(anan14)=0 因是正数组成的数列，anan1=4. 即是等差数列，公差为4， a1=S1, (a1+2)2=8a1, a1=2 数列的通项公式为an=2+4(n1) 即an=4n2七、附录例1的解在等比数列中，a1an=a2an1=128, 又a1+an=66, a1,an是方程x266x+128=0 的两个根。解方程得x1=2,x2=64.a1=2,an=64时，或a1=64,an=2.当a1=2,an=64时，显然q1，由，得264q=126126q, q=2; 由an=a1qn1 得2n1=32, n=6当a1=64,an=2时，同理可求得q=,n=6.综合所述，n的值为6，公比q的值为2或.评注：等比数列的通项公式an=a1qn1及前n项的和公式中涉及等比数列的五个基本量：a1,q,n,an,Sn.已知其中三个可以求出另外两个，方法是解方程组。这是等比数列中的一类基本问题。例2的解由题知，当n=2k(kN+)时，a1,a3,a2k1,成等差数列，公差d=4,首项a1=1;而a2,a4,，a2k,成等比数列，公比q=9，首项为a2=9.因此，数列各项是：1，9，5，81，9，729，4k3,9k,。 当n=2k1时，a2k=9k, 综上可得：评注：对于需对n分奇、偶数讨论的，可设n=2k和n=2k1，在分别求出S2k和S2k1表达式后，再以k=代入，得出Sn的表达式。在本题解法中求出S2k比较方便，然后利用S2k1=S2ka2k求解可以简化运算。例3的解设逐年扣除消费基金后余下的基金组成数列，则，由题意知，a5=2000，即（万元）答：每年约扣除消费基金424万元。评注：增长率问题就是复利问题。在逐项推导的过程中，要注意保持某种规律性，不要由于不恰当的具体计算去破坏这种规律性。例4的解由题设，当b1时，；当b=1时，。下面分两种情形讨论：(1)时，a1,ab1时， ;a1,ab=1时， a=1时，(2) b=1时，an=nan1 a=1时，an=n, a1时，Sn=1+2a+3a2+nan1 aSn=a+2a2+nan相减，得(1a)Sn=1+a+a2+an1nan=评注：要完整理解等比数列前n项和的公式，当q=1时，Sn=na1;当q1时，.本题含有两个字母a,b ,有三个公比，即a,b,ab.所以必须进行多层次的分类讨论，对不同情形得出相应的结果来。例5的解(1)由S1=a1=1,S2=a1+a2=1+a2,得 3t(1+a2)(2t+3)=3t解得 于是，又3tSn(2t+3)Sn1=3t 3tSn1(2t+3)Sn2=3t 两式相减，得3tan(2t+3)an1=0 于是因此，数列是一个首项为1，公比为的等比数列。(2)由f(t)= = 得 是等差数列，首项为1，公差为，于是有 (3) 和都是等差数列，首项分别为1和，公差都是。于是 = =