2012届高考数学函数的单调性与最值知识归纳复习教案.doc

2012届高考数学函数的单调性与最值知识归纳复习教案 3.函数的单调性与最值一、知识梳理：1、函数的单调性（1） 函数的单调区间必须在定义域内。分别在两个区间上单调用“和”连接而不能用并.如：求函数 的单调区间。（2）定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)（f(x1) f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；（3）函数单调性的证明、判断和求单调区间：定义法,导数法。定义法：对任意的 ， ，判断 的符号，两法因式分解和配方法，以 说明之（4）初等函数的单调性：一次函数，反比例函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等函数的单调区间。具体说明。（5）设 是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则 在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则 在M上是增函数。如求函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。（6）简单性质：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数 增函数 是增函数；减函数 减函数 是减函数；增函数 减函数 是增函数；减函数 增函数 是减函数。2、函数的最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。其意义2点：1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M；2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。（2）求最值方法：函数单调性法（包括导数法）、基本不等式法；二、典例讨论：1、基本初等复合函数的单调区间例1.求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性. 解：（1）图象法:递增区间： 和 ，递减区间： 和 （2）初等复合函数法:递增区间： ，递减区间： （3）递增区间： ，递减区间： 例2、已知 讨论函数 的单调性。解： 的定义域为 ，且 ， 为奇函数。所以只需讨论 在 上的单调性，任取 且 ，则 因为 ，因为 为增函数，所以 即 ，所以 在 上递减，因为 为奇函数，所以 在 上也递减点评：对数函数的单调性讨论的处理。讨论练习1：判断函数 ( 0)在区间(1，1)上的单调性。解：设 , 则 , , , , , 0, 当 时, , 函数 在(1, 1)上为减函数， 当 时, , 函数 在(1, 1)上为增函数.方法二、导数法： 当 时, , 函数 在(1, 1)上为减函数， 当 时, , 函数 在(1, 1)上为增函数.点评：解单调性大题时只有两种合法方法：定义法和导数法。例3、函数 的图象如图所示：则 的单调减区间是（ ）解：令 ，则 在 和 上为递增，所以在 和 由复合函数的单调性规则知， 为递减，故选C 例4、（1）已知 是R上的减函数，那么 的取值范围是（ ）解： 在 递减， ， 时 。故选C（2）函数 在 上的最大值与最小值的和为 ，则 .解：无论 和 ， 与 同增减，所以最大值与最小值的和一定是 4、单调性的应用例5、已知函数 是定义在R上的偶函数，且在 上是增函数，令 ，则（ ）解： ， 所以， ，故选A5、综合问题例6、 定义在R上的函数y=f（x），f（0）0，当x0时，f（x）1，且对任意的a、bR，有f（a+b）=f（a） f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f（x）0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x） f（2xx2）1，求x的取值范围.解：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）0，f（0）=1.（2）证明：当x0时，x0，f（0）=f（x） f（x）=1.f（x）= 0.又x0时f（x）10，xR时，恒有f（x）0.（3）证明：设x1x2，则x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1） f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又f（x1）0，f（x2x1） f（x1）f（x1）.f（x2）f（x1）.f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x） f（2xx2）1，f（0）=1得f（3xx2）f（0）.又f（x）是R上的增函数，3xx20.0x3.评述：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f（x2x1）+x1”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.三、课堂小结：四、课后作业：1.讨论函数f（x）=x+ （a0）的单调性.?解 方法一 显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+）上的单调性，设x1x20,则?f(x1)-f(x2) =（x1+ ）-（x2+ ）=(x1-x2) （1- ）.当0x2x1 时， 1,?则f（x1）-f（x2）0，即f(x1)f(x2),故f（x）在（0， 上是减函数.?当x1x2 时，0 1，则f（x1）-f（x2）0,即f(x1)f(x2),?故f（x）在 ，+）上是增函数.f（x）是奇函数，?f（x）分别在（-，- 、 ，+）上为增函数；?f（x）分别在- ，0）、（0， 上为减函数.?方法二 由f （x）=1- =0可得x= 当x 时或x- 时，f (x)0，f（x）分别在（ ，+）、（-，- 上是增函数.?同理0x 或- x0时，f（x）0?即f（x）分别在（0， 、- ，0）上是减函数.2.求函数y= （4x-x2）的单调区间.?解 由4x-x20，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y= t.?t=4x-x2=-（x-2）2+4，t=4x-x2的单调减区间是2，4），增区间是（0，2.?又y= t在（0，+）上是减函数，函数y= （4x-x2）的单调减区间是（0，2，单调增区间是2，4).3.定义在R上的函数y=f（x），对任意的x、yR，有f（x+y