2020届四川省成都市中学高考一诊试卷数学（理科）（PDF版含答案）

1 页 数学 理科 数学 理科 题号 一 二 三 总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知集合 A x N x 1 B x x 5 则 A B A x 1 x 5 B x x 1 C 2 3 4 D 1 2 3 4 5 2 已知复数 z满足 iz 1 i 则 z 的共轭复数 A 1 i B 1 i C D 1 i 3 若等边 ABC的边长为 4 则 A 8 B 8 C D 8 4 在 2x 1 x y 6的展开式中 x 3y3的系数为 A 50 B 20 C 15 D 20 5 若等比数列 an 满足 a1 1 a5 4a3 a1 a2 a3 7 则该数列的公比为 A 2 B 2 C 2 D 6 若实数 a b满足 a b 则 A ea eb B sina sinb C D 7 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AA1 4 AB 2 点 E F 分别为棱 BB1 CC1上两点 且 BE BB1 CF CC1 则 A D1E AF 且直线 D1E AF 异面 B D1E AF 且直线 D1E AF 相交 C D1E AF 且直线 D1E AF 异面 D D1E AF 且直线 D1E AF 相交 8 设函数 若 f x 在点 3 f 3 的切线与 x 轴平行 且在区间 m 1 m 1 上单 调递减 则实数 m 的取值范围是 A m 2 B m 4 C 1 m 2 D 0 m 3 9 国际羽毛球比赛规则从 2006年 5月开始 正式决定实行 21分的比赛规则和每球得分制 并且每次得 分者发球 所有单项的每局获胜分至少是 21 分 最高不超过 30分 即先到 21 分的获胜一方赢得该局 比赛 如果双方比分为 20 20时 获胜的一方需超过对方 2分才算取胜 直至双方比分打成 29 29 时 那么先到第 30 分的一方获胜 在一局比赛中 甲发球赢球的概率为 甲接发球赢球的概率为 则在比分为 20 20 且甲发球的情况下 甲以 23 21 赢下比赛的概率为 A B C D 2 页 10 函数 f x 的图象大致为 A B C D 11 设圆 C x2 y2 2x 3 0 若等边 PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条弦 则线段 PC长度的最大值为 A B 2 C 4 D 12 设函数 f x cos 2x sinx 下述四个结论 f x 是偶函数 f x 的最小正周期为 f x 的最小值为 0 f x 在 0 2 上有 3 个零点 其中所有正确结论的编号是 A B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 若等差数列 an 满足 a1 1 a2 a3 5 则 an 14 今年由于猪肉涨价太多 更多市民选择购买鸡肉 鸭肉 鱼肉等其它肉类 某天在市场中随机抽出 100 名市民调查 其中不买猪肉的人有 30位 买了肉的人有 90位 买猪肉且买其它肉的人共 30 位 则这 一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为 15 已知双曲线 C x2 1 的左 右焦点分别为 F1 F2 过 F1的直线 l分别与两条渐进线交于 A B两点 若 0 则 16 若函数 f x 恰有 2 个零点 则实数 a的取值范围是 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 某汽车美容公司为吸引顾客 推出优惠活动 对首次消费的顾客 按 200 元 次收费 并注册成为会员 对会员逐次消费给予相应优惠 标准如表 消费次第 第 1次 第 2次 第 3次 第 4次 5 次 收费比例 1 0 95 0 90 0 85 0 80 该公司从注册的会员中 随机抽取了 100 位进行统计 得到统计数据如表 消费次第 第 1次 第 2次 第 3次 第 4次 第 5次 频数 60 20 10 5 5 假设汽车美容一次 公司成本为 150 元 根据所给数据 解答下列问题 1 估计该公司一位会员至少消费两次的概率 2 某会员仅消费两次 求这两次消费中 公司获得的平均利润 3 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率 设该公司为一位会员服务的平均利润为 X元 求 X 3 页 的分布列和数学期望 E X 18 ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 设 求 sinB 若 ABC 的周长为 8 求 ABC 的面积的取值范围 19 如图 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形 且 ADC 60 证明 平面 CDD1 平面 ABCD 求二面角 D1 AD C的余弦值 20 设椭圆 过点 A 2 1 的直线 AP AQ分别交 C于不同的两点 P Q 直线 PQ恒过点 B 4 0 证明 直线 AP AQ的斜率之和为定值 直线 AP AQ分别与 x轴相交于 M N 两点 在 x轴上是否存在定点 G 使得 GM GN 为定值 4 页 若存在 求出点 G 的坐标 若不存在 请说明理由 21 设函数 证明 f x 0 当时 不等式恒成立 求 m 的取值范围 22 在直角坐标系 xOy 中 直线 l t为参数 与曲线 C m 为参数 相交于 不同的两点 A B 当 时 求直线 l与曲线 C 的普通方程 若 MA MB 2 MA MB 其中 M 0 求直线 l的倾斜角 23 已知函数 f x x 1 ax 1 当 a 1 时 求不等式 f x 4的解集 当 x 1 时 不等式 f x 3x b 成立 证明 a b 0 5 页 答案和解析答案和解析 1 答案 C 2 答案 A 3 答案 A 4 答案 B 5 答案 B 6 答案 C 7 答案 A 8 答案 C 9 答案 B 10 答案 D 11 答案 C 12 答案 B 13 答案 n 14 答案 0 4 15 答案 1 16 答案 1 2 e 17 答案 解 1 100位会员中 至少消费两次的会员有 40人 估计一位会员至少消费两次的概率为 2 该会员第一次消费时 公司获得利润为 200 150 50 元 第 2次消费时 公司获得利润为 200 0 95 150 40 元 公司这两次服务的平均利润为 元 3 由 2 知 一位会员消费次数可能为 1 次 2次 3 次 4次 5次 当会员仅消费 1次时 利润为 50 元 当会员仅消费 2 次时 平均利润为 45 元 当会员仅消费 3次时 平均利润为 40 元 当会员仅消费 4 次时 平均利润为 35 元 当会员仅消费 5次时 平均利润为 30 元 故 X 的所有可能取值为 50 45 40 35 30 X的分布列为 X 50 45 40 35 30 P 0 6 0 2 0 1 0 05 0 05 X 数学期望为 E X 50 0 6 45 0 2 40 0 1 35 0 05 30 0 05 46 25 元 解析 1 100位会员中 至少消费两次的会员有 40 人 即可得出估计一位会员至少消费两次的概率 2 该会员第一次消费时 公司获得利润为 200 150 50 元 第 2次消费时 公司获得利润为 200 0 95 150 40 元 即可得出公司这两次服务的平均利润 3 由 2 知 一位会员消费次数可能为 1 次 2次 3 次 4次 5次 当会员仅消费 1次时 利润为 50 元 当会员仅消费 2 次时 平均利润为 45 元 当会员仅消费 3次时 平均利润为 40 元 当会员仅消费 4 次时 平均利润为 35元 当会员仅消费 5 次时 平均利润为 30元 故 X的所有可能取值为 50 45 40 35 30 即可得出 X的分布列 本题考查了频率与概率的关系 随机变量的分布列及其数学期望 考查了推理能力与计算能力 属于中档 题 18 答案 解 1 且 sin A C sinB 6 页 又 2 由题意知 a b c 8 故 b 8 a c 或 舍 即 当 a c时等号成立 综上 ABC的面积的取值范围为 解析 1 直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果 2 利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果 本题考查的知识要点 三角函数关系式的变换 正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用 主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能力 属于基础题 19 答案 1 证明 令 CD的中点为 O 连接 OA OD1 AC D1O DC且 又 底面 ABCD为边长为 2 的菱形 且 ADC 60 AO 又 D1O OA 又 OA DC 平面 ABCD OA DC O 又 D1O 平面 CDD1 平面 CDD1 平面 ABCD 2 过 O作直线 OH AD 于 H 连接 D1H D1O 平面 ABCD D1O AD AD 平面 OHD1 AD HD1 D1HO为二面角 D1 AD C 所成的平面角 又 OD 1 ODA 60 7 页 解析 1 令 CD 的中点为 O 连接 OA OD1 AC 证明 D1O DC D1O OA 然后证明平面 CDD1 平面 ABCD 2 过 O作直线 OH AD 于 H 连接 D1H 说明 D1HO为二面角 D1 AD C所成的平面角 通过求解三 角形 求解即可 本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用 二面角的平面角的求法 考查空间想象能力以及计算能力 是中档题 20 答案 解 证明 设 P x1 y1 Q x2 y2 直线 PQ AP AQ的斜率分别为 k k1 k2 由得 1 4k2 x2 32k2x 64k2 8 0 0 可得 设 M x3 0 N x4 0 由 y 1 k1 x 2 令 y 0 得 x3 2 即 M 2 0 同理 即 N 2 0 设 x轴上存在定点 G x0 0 x0 2 2 x0 2 要使 GM GN 为定值 即 x0 2 1 x0 3 故 x轴上存在定点 G 3 0 使 GM GN 为定值 该定值为 1 解析 设 P x1 y1 Q x2 y2 联立直线 y k x 4 和椭圆方程 运用韦达定理 直线 PQ AP AQ的斜率分别为 k k1 k2 运用直线的斜率公式 化简整理即可得到得证 设 M x3 0 N x4 0 由 y 1 k1 x 2 令 y 0 求得 M 的坐标 同理可得 N的坐标 再 由两点的距离公式 化简整理可得所求乘积 本题考查椭圆的方程和运用 注意联立直线方程和椭圆方程 运用韦达定理 考查直线的斜率公式 以及 存在性问题的解法 考查化简运算能力 属于中档题 21 答案 解 f x cosx 在 x 0 上单调递增 f x 1 所以存在唯一 x0 0 f x0 0 当 x 0 x0 f x 0 f x 递减 当 x x0 f x 0 f x 递增 所以 f x max max 0 f x 0 0 x 8 页 g x sinx m x g x cosx m 当 m 0时 g x 0 则 g x 在 0 上单调递减 所以 g x min g 满足题意 当 m 0 时 g x 在 x上单调递增 g 0 m 0 所以存在唯一 x1 0 g x1 0 当 x 0 x1 g x 0 则 g x 递减 当 x x1 g x 0 则 g x 递增 而 g 0 m 0 g 0 所以存在唯一 x2 g x2 0 当 x 0 x2 g x 0 则 g x 递增 x g x 0 则 g x 递减 要使 g x 恒成立 即 解得 m 所以 m 0 当 m 时 g x 0 当 x 0 g x 递减 又 g x 0 所以 g x 在递增 则 g x g 与题意矛盾 综上 m的取值范围为 解析 利用 f x 的导数可先判断出其单调区间 比较可求出函数的最大值 即可证 对 g x 二次求导判断出 m 0时 可求出 g x min g 当 m 0时 与题意矛盾 综合 可求出 m 的取值范围 本题考查利用导数求函数单调区间 求函数最值问题 还涉及函数恒成立问题 属于中档题 22 答案 解 当 时 直线 l t为参数 化为 消去参数 t 可得直线 l的普通方程为 y x 由曲线 C m为参数 消去参数 m 可得曲线 C的普通方程为 y2 2x 将直线 l t为参数 代入 y2 2x 得 由 MA MB 2 MA MB 得 t1t2 2 t1 t2 即 解得 cos 直线 l的倾斜角为 或 9 页 解析 当 时 直线 l t 为参数 化为 消去参数 t 可得直线 l 的普通方程 直接把曲线 C 的参数方程消去参数 m 可得曲线 C的普通方程 将直线 l t为参数 代入 y2 2x 化为关于 t的一元二次方程 利用根与系数的关 系结合已知等式列式求得 cos 则直线 l的倾斜角可求 本题考查参数方程化普通方程 关键是直线参数方程中参数 t的几何意义的应用 是中档题 23 答案 解 当 a 1 时 f x x 1 x 1 f x 4 或 1 x 1 或 1 x 2或