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回望期权 1 1 回望期权的简要介绍 1 1回望期权的概念 2 1分数布朗运动下的回望期权定价 1 2回望期权的分类 2 回望期权的定价 2 2三叉树模型下的回望期权定价 3 回望期权的实证研究 2 1 回望期权的简要介绍 1 1回望期权的概念 近年来 国际金融市场中除了人们熟知的标准期权外 还涌现了大量由标准期权变化 组合 派生出的新品种 变异期权 变异期权通常在场外市场交易 其中回望期权就是变异期权的一种 该期权持有者在期权到期日可以观察期权有效期内标的资产价格的变化过程 选择交易过程中最高 低 的标的资产价格作为期末敲定价出售 购买 资产 因此回望期权的收益依附于期权有效期内标的资产达到的最高或最低价格 即回望期权的敲定价格取决于交易期间内原生资产的价格 因此属于路径依赖性期权 3 1 回望期权的简要介绍 1 2回望期权的分类 跟标准期权一样 回望期权也分为看涨和看跌期权 若再根据执行价是固定的还是浮动的 回望期权就可分为四类 固定执行价格的回望看涨期权 固定执行价格的回望看跌期权 浮动执行价格的回望看涨期权 浮动执行价格的回望看跌期权 固定执行价的回望看涨 跌 期权是指执行价固定 而以期权持有期内标的资产所达到的最高 低 价格为到期日价格 而浮动执行价的回望看涨 跌 期权是指以期权持有期内标的资产所达到的最低 高 价格为执行价 其收益函数为 4 固定执行价回望看涨期权 固定执行价回望看跌期权 浮动执行价回望看涨期权 浮动执行价回望看涨期权 5 从回望期权的概念 我们可以知道回望期权的持有者总是能在持有期内资产所经历的价格的最低点买入或最高点卖出 使得投资者始终处于最有利的位置 期权决不会处于虚值状态 outoftheMoney 所以其价格也就相比标准期权较为昂贵 固定执行价的回望期权只能用现金结算 而浮动执行价的回望期权可用现金或标的资产本身进行结算 6 2 回望期权的定价 2 1 分数布朗运动下的回望期权定价 Black Scholes期权定价公式假设资产价格服从几何布朗运动 那么价格变化是相互独立的随机变量 并且资产收益率服从正态分布 但是近年来大量的研究表明 资产收益率的分布具有尖峰厚尾的特征 且股价变化也不是随机游走 而是呈现不同程度的长期相关性 1994年Peter提出用分数布朗运动来刻画资产价格的变化 正如资产价格服从几何布朗运动对应其收益率服从正态分布一样 若资产价格服从几何分数布朗运动则其收益率服从分形分布 分数布朗运动比较布朗运动而言具有以下几点优势 1 分形分布能够刻画尖峰 厚尾 偏斜的特征 而这正是正态分布所缺乏的 2 分数布朗运动可以刻画长记忆性 而布朗运动意味着未来股价的变化仅与当前价格有关 而与历史价格无关 这明显违背了投资者的直觉 与事实不符 3 分形分布具有一个被称为诺亚效应的性质 它意味着系统有突然和激烈的逆转 这与资本市场上的价格变化比较相符 如股市的崩溃等 而正态分布意味着股价是连续的 7 2 1 1分数布朗运动 设0 H 1 Hurst参数为H的分数布朗运动 为一连续Gussian过程 协方差为并且当H 1 2时 即是标准布朗运动 很明显 由于布朗运动是分数布朗运动的特例 而分数布朗运动能刻画更一般的情形 所以从理论上说 用分数布朗运动来对股价变化进行描述 至少和布朗运动一样好 8 2 1 2定价模型的推导 在模型构建的过程中 除资产价格服从几何分数布朗运动外 继续沿用Black一SeholeS期权定价模型的传统假设 1 资产价格服从几何分数布朗运动 2 允许卖空 3 无交易成本或税收 资产完全可分 4 期权持有期内标的资产无红利发放 5 没有无风险套利机会 也即两个无风险资产或资产组合必须有相同的回报 即无风险利率r 6 证券交易可连续进行 7 无风险利率r恒定 且对所有到期日都相同 9 令s t 表示资产价格 根据假定1 由于路径依赖型期权的收益与资产价格的历史路径相关 故引入路径因子 其中是随机路径函数 设路径依赖性期权价格为 根据分数次公式 得 10 构造如下投资组合 买入一份期权 卖空份证券 则该组合的价值为 经过微小的时间间隔dt后 该组合的价值变化为 把 1 3 带入 5 得 11 由 6 可知 该组合价值变化的不确定性来自于项 通过取 可以消除此项此时投资组合的价值变化完全确定 分数B一S市场不存在无风险套利 无风险资产只能获得无风险报酬r 所以有 从而经整理可得到分数布朗运动条件下的偏微分方程 这就是分数布朗运动条件下路径依赖期权的统一定价模型 12 回望期权是一种强路径依赖期权 所以必须考虑路径依赖因子对期权价格的影响 其路径因子是 其中J分别表示期权有效期内标的资产的价格所达到的最大值和最小值 T为期权的到期时刻 由于路径依赖变量J对t不可微 所以要找一个函数对其进行逼近 下面就浮动执行价回望看跌期权的情况进行讨论 令 变形 得到 13 把 9 式带入 8 式 得 分析讨论 有 于是 分数布朗运动条件下浮动执行价回望看跌期权所满足的偏微分方程为 该方程与普通期权的分数B一S模型在形式上一样 其路径依赖特征没有出现在微分方程中 而是反映在边界条件上 14 根据回望期权的定义 易知其到期日的收益分别为浮动执行价回望看涨期权 浮动执行价回望看跌期权 边界条件 该边界条件的金融意义是当标的资产的价格达到最大 小 值时 回望期权的价格对最大 小 值的变化不再敏感 至此 已构建出完整的分数布朗运动条件下回望期权的定价模型 包括期权价格所满足的偏微分方程及相应的边界条件 15 综上得到浮动执行价回望看跌和看涨期权定价模型分别如下 16 2020 3 19 17 浮动执行价的欧式回望看跌期权的定价公式为 18 浮动执行价的欧式回望看跌期权的定价公式为 19 2 2 三叉树模型下的回望期权定价 在建立回望期权的三叉树定价模型之前 先做出如下基本假设 1 所有投资者信息资源共享 2 交易市场无摩擦 即交易时不支付交易费用和税收 3 市场是完备的 即市场不存在套利机会 4 标的资产平均回报率 和波动率 在资产有效期内为定值 且在无套利完备市场中 无风险利率r等于标的资产平均回报率 5 在连续状态下 标的资产价格S t 在期权有效期 0 T 内遵循几何布朗运动 其中 w t 为标准布朗运动 6 假定标的资产预期收益 个有序运动后的值与运动次序无关 即标的资产预期收益先向上运动 后向下运动与先向下运动 后向上运动的结果是相同的 20 2 2 1连续变化的标的资产价格的离散化 把时间段 0 T 分成n等份 其中 T是期权的到期时间 那么每个时间段长度为 在时间段内 根据假设 5 可知 标的资产的价格变化服从集合集合布朗运动 利用伊藤积分 得最后得到 21 2 2 2定价模型的推导 假设在时间段内 标的资产价格变化有3种状态 这里u和d分别代表标的资产上涨和下跌的幅度 且u 1 d 0 由假设 6 可知 ud 1记标的资产预期价格变化的概率为则应该有由期望的定义 在时刻有 22 从而可以建立关于的方程组解得 23 三叉树模型的建立使用向前归纳法 构建好标的资产到期收益后 采用倒推的方法给期权进行定价 由期权到期日开始往前推 时刻 期权价值的贴现期望值即为时刻的期权价值 用公式表示为其中为时刻期权的价格 分别为时刻标的资产价格上涨 不变和下跌状态下期权的价格由于回望期权的定价依赖于有效期内标的资产的最高价格和最低价格 若设为标的资产曾达到的最低价格 为标的资产曾达到过的最高价格 则回望看涨期权在T时刻的敲定价 收益为回望看跌期权在T时刻的敲定价 收益为 24 所以在时刻时刻的期权价值为其中 为标的资产由0时刻的价格到T时刻的价格uS的所有路径中曾达到的最高价格 为标的资产由0时刻的价格到T时刻的价格S的所有路径中曾达到的最高价格 为标的资产由0时刻的价格到T时刻的价格dS的所有路径中曾达到的最高价格利用数学归纳法 最终得到回望看涨期权的价格是其中 所以上式可以转变为即为回望看涨期权的离散三叉树定价公式 25 类似地 回望看跌期权的离散三叉树定价公式为其中 由于回望期权是一种路径依赖性期权 所以在固定时间段所有路径中的最大值决定了期末时刻的最终收益 26 3 回望期权的实证研究 数据来自芝加哥商业交易所 CME 的官方交易网站2012年数据 品种 CME LB COMEX 2277期铜期权浮动协议价欧式回望买权隐含波动率Delta值 衡量标的资产价格变动时 期权价格的变化幅度Gamma 衡量标的资产价格变动时 期权Delta值的变化幅度Vega 衡量标的资产价格波动率变动时 期权价格的变化幅度 27 表CME LB COMEX 2277 28 接下来是计算的实证结果对比 从以上结果可以看出 B S公式 现实成交价和三叉树方法差距不大 结果基本拟合 29 总结 世界上没有免费的午餐 回望期权并不意味着只赚不赔 回望期权这种洞悉过去未来的能力无疑十分昂贵 因此如果最低价不够低 或是最高价不够高 盈利