抽象函数重要结论.doc

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数 1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。2、复合函数的奇偶性（1）复合函数为偶函数，则而不是；复合函数为奇函数，则而不是。（2）两个特例：为偶函数，则；为奇函数，则（3）为偶（或奇）函数，等价于单层函数关于直线成轴对称（或关于点中心对称）。3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：点 （2）轴对称：对称轴方程为：。关于直线函数关于直线成轴对称。关于直线成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称）若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、 图象关于直线对称推论1： 的图象关于直线对称推论2、 的图象关于直线对称2、 的图象关于点对称推论1、 的图象关于点对称推论2、 的图象关于点对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数与图象关于Y轴对称2、奇函数与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于X轴对称4、互为反函数与函数图象关于直线对称5、函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与 图象关于直线对称6、函数对称性的应用 （1）若,即三、函数周期性的几个重要结论*1、 的周期为*2、 的周期为*3、的周期为4、 的周期为5、 的周期为6、 的周期为7、的周期为8、若*9、有两条对称轴和 周期*10、有两个对称中心和 周期*11、有一条对称轴和一个对称中心的四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型（一）.求函数值1.设是上的奇函数，当时，则等于（ ）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.2已知是定义在实数集上的函数，且，求的值. 3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、的大小.（二）求函数解析式4.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.5设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.（三）判断函数奇偶性6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.（四）确定函数图象与轴交点的个数7.设函数对任意实数满足，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.（五）在数列中的应用8.在数列中，求数列的通项公式，并计算应用训练:1设f(x)是定义在（，）上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则f(x)是（ ）。A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数2设f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)=（ ）。A0.5 B0.5 C1.5 D1.54函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象（ ）。A关于直线x5对称 B关于直线x1对称 C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称6f(x) 是R上的奇函数f(x)= f(x+4) ，x0，2时f(x)=x，求f(2007) 的值 7已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 8设f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时f(x)x，则f(7.5)= 9已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=2x+1，则当时求f(x)的解析式10已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.11已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数12f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调.求a的值. 13已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f