2012中考数学分类讨论问题三合一资料.doc

TEL:87338682 www.L 龙文学校教师1对1教育是一项良心工程！ 初中数学中的分类讨论问题往往是不容易掌握好的一类问题，碰到此类问题常常是不知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成解答此类问题时得分率偏低，分类讨论问题主要有：1、代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，分式、根式方程。2、函数类：函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等；函数定义域变化；函数图象未给出；函数对称性（反比例函数的图象，二次函数）3、几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等；4、综合类：代数与几何分类情况的综合运用.如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。它是一种比较重要的解题方法，也是近年来中考命题的热点内容之一；要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力，分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。第一部分例题解析1、代数部分例1：化简：|x-1|+|x-2|例2、已知、是关于x的方程x2+x+a=0的两个实根。(1)求a的取值范围；(2)试用a表示|+|。例题3：代数式的所有可能的值有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个2、函数部分例题1：一次函数时，对应的y值为，则kb的值是（ ）。A. 14B. C. 或21D. 或14例题2：已知一次函数与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使PAB为等腰三角形。3、几何部分在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定或形状不确定）引起几何问题结果有多种可能，就需要分类讨论情形一：高的问题常考。由于三角形的高可在三角形的内部、外部或与边重合，所以在解决问题时常常将三角形分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.例题1：为了美化环境，计划在小区内用120m的草皮铺设一块一边长为20的等腰三角形绿地，请求出这个三角形的另两条边长.例题2：有一块梯形菜地，上底、下底不能直接测量，但可测量梯形的高为12m，梯形的两条对角线长分别为15m和20m，试求这块地的面积.截图问题例题3：为了节省资金，小明的爷爷将一块两直角边长分别为30cm和40cm的直角三角形废镜片割成一块长与宽的比为32的小长方形镜片，为小明做了一个精美的小镜子，（要求长方形的各个顶点均在直角三角形的边上），请你计算一下长方形镜片的长与宽各为多少厘米？外拼问题例题4：张大爷家的耕地为四边形ABCD，BAD=105，AB=20m，若张大爷沿对角线AC把地分给两个儿子，其中耕地ABC恰好为等边三角形，另一块耕地ADC恰好为等腰三角形，求耕地ADC的面积旋转问题：例题:5：如图所示，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有_个。例题答案一、代数部分例题1：解：当x1时，x-10，x-20，原式=-(x-1)-(x-2)=-2x+3。当1x2时，x-10，x-20，原式=(x+1)-(x-2)=1当x2时，x-10，x-20，原式=(x-1)+(x-2)=2x-3例题2：解；(|+|)2=|2+|2+2|=(+)2-2+2|。(1)由=1-4a0，得a；(2)由韦达定理得：+=-1，=a (|+|)2=1-2a+2|。当a0时，(|+|)2=1-2a-2a=1-4a，|+|=。当0a时，(|+|)2=1-2a+2a=1， |+|=1。例题3：分析：根据绝对值的意义，需对a、b的符号进行讨论。（1）当时，原式等于3；（2）当，原式等于；（3）当时，原式等于；（4）当时，原式等于。因此，代数式所有可能的值为3、-1，故选A。点拨：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要弄清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。所以只有对初中数学概念的本身有一个全面深刻的理解，才能在解决有关问题时有分类讨论的意识，从而提高分析问题和解决问题的能力。二、函数部分例题1：分析：题目中给出了一次函数图象的一部分（线段），当时，可以取1或9，因此应对参数k分两种情况讨论。当时，线段两端点为（-3，1）和（1，9），则；当时，线段两端点为（）和（1，1），则，。故应选D。点拨：解此类问题要能分析清楚参数的不同取值会对问题产生的哪些不同结果，应把它们一一罗列出来，全面、系统地分类。含参数问题的分类讨论是中考常见题型。例题2：分析：本题中PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出B点坐标，A点坐标（9，0）。设P点坐标为，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别为。（不适合条件的解已舍去）点拨：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。三、几何部分例题1：分析：由题中已知一边长20m的等腰三角形，可分为底边长为20m或腰长为20m两种情况，如图1由底边长为20m和面积为120m可求得底边上的高为12m，进而求得两腰长都为2m，由腰长为20m和面积为120m分析时难度较大，需考虑将三角形分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，直角三角形的情况不成立例题2：问题可转化为：梯形ABCD中，ABCD,AE,BF是高，AE=BF=12，BD=12，AC=20.首先，容易知道，AB=EF.由勾股定理可得，DF=9，EC=16，在图1中，DF+EC=DE+FC+2EF=DE+FC+EF+AB=DC+AB=25，此时，梯形面积为25122=150.在图2中，ECDF=EFDC=ABDC=169=7，此时，梯形面积,7122=42. 例题3：分析：本题不仅要考虑矩形的两边分别在直角三角形的直角边和斜边上，还要考虑已知条件长与宽的比为32，由此得到四种情况的图形.例题4：本题的关键是要学生掌握从ADC为等腰三角形这一条件出发，可得AC=AD、AC=CD、AD=CD这三种情况（如图），由:BAD=105可得CAD=45，所以后两种图形都是等腰直角三角形，因此我要求学生画图尽量标准，这样在解题过程中才能避免失误.例题:5：分析：本题的题设和结论不是唯一确定的，显然，符合条件的旋转中心必在边CD上。可以这样分类：（1）绕点C旋转，有一解；（2）绕点D旋转，有一解。这样就得出了本题的正确答案为2。第二部分：试题精练一、选择题1、若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A50B80C65或50D50或802、某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）A9cmB12cm C15cmD12cm或15cm3、O的半径为5，弦ABCD，AB6，CD8，则AB和CD的距离是（ ） A. 7 B. 8 C. 7或1 D. 1二、填空题1、（湖北罗田）在RtABC中，C900，AC3，BC4.若以C点为圆心， r为半径 所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是_ _2、（上海市）在ABC中，AB=AC=5，如果圆O的半径为，且经过点B、C，那么线段AO的长等于 3、已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为 。4、如图，正方形ABCD的边长是2，BECE，MN1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM 时，ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。三、综合题1、如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处，(1)求证：BE=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.2、（威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB11厘米，A，B的半径均为1厘米A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r1+t（t0） （1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式； （2）问点A出发后多少秒两圆相切？ 3、（上海市）已知AB=2，AD=4，DAB=90，ADBC（如图）E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点（1）设BE=x，ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与BME相似，求线段BE的长4、（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由5、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C900，BC16，DC12，AD21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为秒。设BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？第二部分试题精练答案一、选择题1、【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50角是顶角时，则（18050）2=65，所以另两角是65、65；（2）当50角是底角时，则180502=80，所以顶角为80。故顶角可能是50或802、【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm，底边长是6cm时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm，地边长是3cm时能组成三角形【答案】D3、解：因为弦AB、CD均小于直径，故可确定出圆中两条平行弦AB和CD的位置关系有两种可能：一是位于圆心O的同侧，二是位于圆心O的异侧。如图1，过O作EFCD，分别交CD、AB于E、F，则CE4，AF3。 由勾股定理可求出OE3，OF4。当AB、CD在圆心异侧时，距离为OEOF7。 当AB、CD在圆心同侧时，距离为OFOE1。选C。 二、填空题1、【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3r4。【答案】 3r4或r2.42、【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5，可得BC边上的高AD为4，圆O经过点B、C则O必在直线AD上，若O在BC上方，则AO=3，若O在BC下方，则AO=5。【答案】3或53、【例题1】解：由已知易得若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。若是三角形两条直角边的长，则第三边长为，若是一直角边的长，是斜边，则第三边长为。第三边长为。4、解：勾股定理可得AE。当ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：当DM与BE是对应边时，即。当DM与AB是对应边时，即故DM的长是。三、综合题1、【解析】由折叠图形的轴对称性可知，从而可求得BE=BF；第(2)小题要注意分类讨论.【答案】（1）证：由题意得，在矩形ABCD中，（2）答：三者关系不唯一，有两种可能情况：（）三者存在的关系是证：连结BE，则由（1）知，在中， ，（）三者存在的关系是证：连结BE，则由（1）知，在中， 2、【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.【答案】解：（1）当0t5.5时，函数表达式为d11-2t； 当t5.5时，函数表达式为d2t -11 （2）两圆相切可分为如下四种情况： 当两圆第一次外切，由题意，可得112t11t，t3； 当两圆第一次内切，由题意，可得112t1t1，t； 当两圆第二次内切，由题意，可得2t111t1，t11； 当两圆第二次外切，由题意，可得2t111t1，t13 所以，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切 3、【解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以为顶点的三角形与相似”，一定要注意分类讨论。【答案】（1）取中点，联结，为的中点，又， ，得；（2）由已知得以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，即解得，即线段的长为；（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得由此可知，另一对对应角相等有两种情况：；当时， ，易得得；当时， 又， ，即，得解得，（舍去）即线段BE的长为2综上所述，所求线段BE的长为8或24、【解析】解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分结合这两个性质来解决在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F为顶点在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类这样才能做到不重不漏解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决【答案】（1）；（2）在中， 设点的坐标为，其中， 顶点，设抛物线解析式为如图，当时，解得（舍去）； 解得抛物线的解析式为如图，当时，解得（舍去）当时，这种情况不存在综上所述，符合条件的抛物线解析式是（3）存在点，使得四边形的周长最小如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点， 又，此时四边形的周长最小值是5、过点P作PMBC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，PMDC12。QB16，。由图可知，CMPD2，CQ，若以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况：以Q为顶点，由图可知，PQBQ。在RtPMQ中，解得。若以B为顶点，则BQBQ。在RtPMB中，即，解得无解，。若以P为顶点，则PBPQ。在RtPMB中，。解得不合题意，舍去）。综合上面原讨论可知：当秒或秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。2012中考数学专题复习之分类讨论问题分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏【典型例析】 例1：已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为 分析与解答 由已知易得（1）若是三角形两条直角边的长,则第三边长为（2）若是三角形两条直角边的长,则第三边长为，（3）若是一角边的长，是是斜边，则第三边长为第三边长为例2：O的半径为5，弦ABCD，AB=6，CD=8，则AB和CD的距离是（ ） （A）7 （B）8 （C）7或1 （D）1分析与解答 因为弦AB、CD均小于于直径，故可确定出圆中两条平行弦AB和CD的位置关系有两种可能：一是位于圆心O的同侧，二是位于圆珠笔心O的异侧，如图2-4-1，过O作EFCD，分别交CD、AB于E、F，则CE=4，AF=3由勾股定理可求出OE=3，OF=4当AB、CD在圆心异侧时，距离为OE+OF=7当AB、CD在圆心同侧时，距离为OF-OE=1选C例3：如图2-4-2，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动当DM= 时，ABE与以D、M、N为项点的三角形相似 分析与解答 勾股定理可得AE=当ABE与以D、M、N为项点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：（1）当DM与BE是对应边时，即（2）当DM与AB是对应边时，即 故DM的长是例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动设运动时间为秒（1） 设BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式（2） 当为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？分析与解答 （1）如图2-4-3，过点P作PMBC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，PM=DC=12QB=16-，（3） 由图可知，CM=PD=2，CQ=，若以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况： 由图可知，PQ=BQ在RtPMQ中，解得 若PQ=BQ在RtPMB中，即，=，解得无解，若PB=PQ在RtPMB中，解得不合题意，舍去）综合上面原讨论可知：当秒或秒时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证【提高训练】 1已知等腰ABC的周长为18，BC=8若ABCABC，则ABC中一定有一定有条边等于（ ） A7 B2或7 C5 D2或7 2已知O的半径为2，点P是O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与O相切的圆的半径一定是（ ）A1或5 B1 C5 D1或则 3A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过小时两车相距50千米，则的值是（ ）A2或25 B2或10 C10或125 D2或125已知点是半径为的外一点，PA是O的切线，切点为A，且PA=2，在O内作了长为的弦AB，连续PB，则PB的长为 5在直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点B（1）苈以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标（2）在轴上是否存在点P，使PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【参考答案】1D 2A 3A 4 5.（1） （2）满足条件的点P存在，它的坐标是2012年中考数学复习训练44分类讨论型问题一、选择题1如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是()A(4,0) B(1,0)C(2 ，0) D(2,0)答案B解析当P点坐标为(4,0)时，点A在OP的中垂线上，OAPA；当P点坐标为(2 ，0)时，OPOA2 ；当P点坐标为(2,0)时，OPAP2，所以P点坐标不可能为(1,0)2若函数y则当函数值y8时，自变量x的值是()A B4C或4 D4或答案D解析当x2时，x228，x(舍去)；当x2时，2x8，x4.综上，x或x4.3如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4)，连接OA，若在直线a上存在点P，使AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是()A(8,4)B(8,4)或(3,4)C(8,4)或(3,4)或(2,4)D(8,4)或(3,4)或(2,4)或答案D解析点A的坐标为(3,4)，OA5.当APAO时，可知P1(2,4)，P2(8,4)，当OPOA时，可知P3(3,4)，当POPA时，设POPAm.有(m3)242m2，m，m3，P4，故选D.4矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为多少cm2？()A4 B12 C4或12 D6或8答案C解析如图，S矩形1(13)4；如图，S矩形3(31)12，故选C.5若正比例函数y2kx与反比例函数y(k0)的图象交于点A(m,1)，则k的值是()A或 B或C. D.答案B解析A(m,1)代入y中，得mk，代入y2kx中，得2k21，k2，所以k.二、填空题6一个等腰三角形的一个外角等于110，则这个三角形的三个角应该为_答案70，70，40或55，55，70解析当等腰三角形的底角的外角等于110时，其底角为70，顶角为18070240；当等腰三角形的顶角的外角等于110时，其顶角为70，底角为55.7如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADAB6，BC14，点M是线段BC上一定点，且MC8.动点P从C点出发沿CDAB的路线运动，运动到点B停止在点P的运动过程中，使PMC为等腰三角形的点P有_个答案4解析当MC为底边时，MC的中垂线交CD于一点P，该点能满足PMPC；当MC为腰时，分别以C、M为圆心，MC长为半径画圆，C与CD交于一点P，M与AB、AD各有一个交点，因此，满足条件的点P有4个8在ABC中 ，ABAC12 cm，BC6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿BAC的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为_答案11或13解析当0t12时，点P在AB上，2(t3)123(12t)，t11；当12t24时，点P在AC上，23(24t)312t，解得t13.9(2010上海)已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE2，EC1，如图所示把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_答案1或5解析题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况如图所示：旋转得到F1点，则F1C1；旋转得到F2点，则F2BDE2，F2CF2BBC5.10如图，点A、B在直线MN上， AB11 cm，A、B的半径均为1 cm，A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r1t(t0)，当点A出发后_秒两圆相切答案3或或11或13解析两圆相切可分为如下四种情况：当两圆第一次外切，由题意，可得112t11t，t3；当两圆第一次内切，由题意，可得112t1t1，t；当两圆第二次内切，由题意，可得2t111t1，t11；当两圆第二次外切，由题意，可得2t111t1，t13.所以，点A出发后3秒或秒或11秒或13秒两圆相切三、解答题11(2010柳州)如图，AB是O的直径，弦BC2 cm，F是弦BC的中点，ABC60.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着ABA方向运动，设运动时间为t(s)(0t3)，连接EF，当t值为多少时，BEF是直角三角形解AB是O的直径，ABC60，C90，AB2BC4.当BFE90时，F是BC中点，BF21.在RtBEF中，B60，BE2BF212，AE422.又AE2t，2t2，t1.当BEF90时，在RtBEF时，BEBF，AE43，2t3，t1.75.同样，当t1.752.25时，BEF90.综上，t1或1.75或2.25