（精选）第五章 晶体的振动.ppt

第五章晶格振动 1一维晶格的振动 2三维晶格的振动 3声子 4晶格振动谱的测定方法 5晶格振动热容理论 6晶格振动的吸收光谱 1一维简单格子 1一维晶格的振动 在平衡位置附近以泰勒级数展开 得到 相互作用力为 忽略上式的非线性小量 并考虑到在平衡位置时的势能取极小值 故右端第一项为零 第n个原子与第n 1个原子的相互作用力为 类似弹簧谐振子的受力情况 故称 为弹性恢复力系数 忽略掉相互作用力中非线性项的近似为简谐近似 只考虑最近邻原子的相互作用时 第n个原子的受力情况为 其运动学方程为 应用周期性边界条件 玻恩 卡门条件 忽略原子链两端原子与链中原子的不同 使上式为通式 其解为 将上式代入运动学方程 得到 即 或者 在任一时刻 原子的位移有一定的周期分布 即原子的位移构成了波 这个波称之为格波 第n 个原子的受力情况为 则 则 例如 波矢q 2a原子的振动同样可以当作波矢q 5 2a的原子的振动 q q 2 a 红线 q 5 2a 4a 5两相邻原子振动的位相差是2 2 绿线 q 2a 4a两相邻原子振动的位相差是 2 格波与一般连续介质波的比较 相同 振动方程形式类似 区别 1 连续介质波中x表示空间任意一点 而格波只取呈周期性排列的格点的位置 2 一个格波解表示所有原子同时做频率为 的振动 不同原子间有位相差 相邻原子间位相差为aq 3 二者的重要区别在于波矢的涵义 原子以q与q 振动一样 同一振动状态对应多个波矢 或多个波矢为同一振动状态 2一维复式格子 若只考虑最近邻近似 第 个晶胞中质量为M1的原子所受力为 其运动方程为 同理可写出第s个晶胞中质量为M2的原子的运动方程为 u v可以是复数 第 个晶胞中质量为的原子的 与k相同 但振幅不同 由于u v是复数 故u v可以有一个相因子之差 表示它们之间的相位关系 我们将代入运动方程得 这是以u v为未知数的方程组 要有非零解须系数行列式为零 便可得到 展开此行列式可得 即上式中取 号时 有较高频率称为光学支色散关系 取 号时 有较低频率称为声学支色散关系 光学支和声学支格波 为了讨论比较典型 我们处理长波极限下的情况 当ka 1 即波长比点阵常数大得多的光学支与声学支 当k 设对声学支对光学支 由 2ks M2 2 A 2kscosqa B 0得 A B 2kscosqa 2ks M2 2 因为 2 2ks M1 cos qa 0得 A B 0 声学波 说明 相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负号 即对于声学波 相邻原子都是沿着同一方向振动 当波长很长时 声学波实际上代表原胞质心的振动 声学波示意图 由 2kscosqa A 2ks M1 2 B 0得 A B 2ks M1 2 2kscos qa 因 2 2ks M2 cos qa 0得 A B 0 光学波 说明 对于光学波 相邻两种不同原子的振动方向是相反的 当q很小时 即波长很长的光学波 长光学波 cos qa 1 又 22 2ks 由 2kscosqa A 2ks M1 2 B 0得 A B M1 M2M2A M1B 0 说明 原胞的质心保持不动 由此也可以定性的看出 光学波代表原胞中两个原子的相对振动 2三维晶格的振动 设实际三维晶体沿基矢a1 a2 a3方向的初基元胞数分别为N1 N2 N3 即晶体由N N1 N2 N3初基元胞组成 每个初基元胞内含s个原子 1 原子振动方向一维情况下 波矢q和原子振动方向相同 所以只有纵波 三维情况下 有纵波也有横波 原则上讲 每支格波都描述了晶格中原子振动的一类运动形式 初基元胞有多少个自由度 晶格原子振动就有多少种可能的运动形式 就需要多少支格波来描述 定性地说 初基元胞质心的运动主要由声学格波代表 初基元胞内两原子的相对运动主要由光学格波代表一维S原子链 存在S支格波 其中一支声学波 S 1支光学波 三维晶体 元胞的总自由度数为3S 则晶体中原子振动可能存在的运动形式就有3S种 用3S支格波来描述 其中在三维空间定性地描述元胞质心运动的格波应有3支 也就是说应有3只声学格波 其余3 S 1 支则为光学格波 例如硅晶体属于金刚石结构 每个初基元胞含两个原子 即S 2 它有3支声学格波和3支光学格波 一维单原子链 仅存在一支格波 且为声学格波 一维双原子链 存在两支格波 声学波 和光学波 三维晶格 3S支格波 一个q对应3S个 值 即对应3S个格波 允许的q取值数仍为初基元胞数N 则共有3NS组 i q 数组 晶体中有3NS个格波 格波数 晶格的总自由度数 3NS 晶格振动理论中的普适结论 晶体中任何一原子的实际运动是这3NS个格波所确定的谐振动的线性叠加 一维 a q a在第一布里渊区内 q点的分布均匀 每个q点的 体积 为2 a b N 在第一布里渊区内q可取N个值 m为整数三维 q仍在第一布里渊区内取值 共有N个值 初基元胞数 每一组整数 L1 L2 L3 对应一个波矢量q 将这些波矢在倒空间逐点表示出来 它们仍是均匀分布的 每个点所占的 体积 等于 边长 为 b1 N1 b2 N2 b3 N3 的平行六面体的 体积 它等于 式中 是倒格子初元胞的 体积 也就是第一布里渊区的 体积 而 2 3 所以每个波矢q在倒空间所占的 体积 为 其中V N 为晶体体积 在倒空间 波矢q的密度为 格波的态密度函数g 又称为模式密度数 其定义为在 附近单位频率间隔内的格波总数 因此对于一支格波 d q q dqn 考虑到三维晶体中共有3S支格波 则格波格态密度函数为 一维格波解 3声子 令 所以 说明 晶格振动的能量是量子化的 晶格振动的能量量子 q称为声子 有 可知 利用线性变换方法 将原子在3N个自由度上的坐标变化 变换为3N个简正坐标的变化 表示相互独立的3N个简谐振动 其中的每一个 都称为简正振动 简正模 其3N个特征角频率 i称为简正角频率 由于晶格的周期性 其简正振动具有波的形式 称为格波 谐振子的能量 ni是描述第i个简正模的量子数 根据上式 得到几点 1 具有某一角频率 i并处于量子数为ni的激发态的简正模 相当于ni个能量为 i的声子 2 不同简正模 具有不同的角频率 能量和动量 对应于不同量子态的声子 处于该量子态的声子数 则决定于该量子态所对应的能级 3 如果简正模由某一能级降至低一个能级 量子数减小1 相当于系统中减少或消失了一个声子 相反 如果简正模由某一能级升至高一个能级 量子数增加1 相当于系统中增加或产生了一个声子 可见 固体中的格波波场可以看成理想声子气体系统 理想声子气体系统遵从玻色统计 格波与格波之间的互作用可用声子之间的碰撞来处理 格波与电子波之间的互作用 实际上就可用声子与光子的碰撞来处理 但声子是一种准粒子 而不是基本粒子 既然格波的能量量子定义为声子 当格波处于较高的激发态时晶体中就布局着较多的声子 即格波振幅较大时 晶体中的声子数较多 因此格波的振幅与声子的数目就有一定的关系 声子是格波能量的量子 格波并不是描写粒子的真实位移的振动 而是一个简正振动模式 是描写晶体中某一个原子与所有其他原子的坐标的运动 在确定的温度T下 频率均为 的N个格波的平均能量 这里的N并不是晶体的格波总数 各个格波可能具有不同的声子数 在一定温度的热平衡态 一个格波的平均声子数有多少呢 不考虑声子间的相互作用 故可把声子视为近独立子系 这时玻色 爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的 的声子在同 的格波间均可存在 某一 的格波具有声子数n的状态 满足一定的几率分布 可理解为声子在格波间可跳跃 其中 N 频率为 的格波总数Nn 频率为 能量为En 即声子数为n 的格波数 由玻尔兹曼统计 其中 分母为配分函数gn 能量为En的相格数 即能量En的简并度 设 gn 1 因为 与上式比较可得 利用等比级数求和公式 求导 整理可得 其中 意义 频率为 的格波温度为T时的平均声子数 当 KBT时 0 6 定性地讲 此格波已激发 以此为界 温度为T时 只有 KBT的格波才能被激发 当温度很高时 当温度很高时 平均声子书与温度成正比 与频率成反比 晶格的振动谱 格波的色散关系 确定晶格振动谱的意义 晶体的许多性质和函数 q 有关 测定的依据 利用波和格波的相互作用 最重要的实验方法 中子的非弹性散射 即利用中子的德布洛依波与格波的相互作用 其他实验方法 X射线衍射 光的散射等 4晶格振动谱的测定方法 一束中子流 动量p 能量E p2 2Mn 样品 与原子核之间有较强的相互作用 容易穿过晶体 一束中子流 动量p 能量E p 2 2Mn 入射 射出 格波振动因起中子的非弹性散射 吸收或发射声子的过程 该过程满足能量守恒和动量守恒 1 实验原理 p 2 2Mn p2 2Mn q p p q Kn多出 Kn项的说明 动量平移倒格子矢量 格波的运动状态不变 发射声子的过程 吸收声子的过程 固定入射中子流的动量和能量 测量不同散射中子流的动量和能量 2 实验过程 中子源 反应堆中产生出来的慢中子流 单色器 利用单晶的布拉格反射产生单色 的确定 的中子流 准直器 选择入射 散射中子流的方向 确定 分析器 利用单晶的布拉格反射来决定散射中子流的动量 定容比热的定义为单位质量的物质在定容过程中 温度升高一度时 系统内能的增量 即 5晶格振动热容理论 1热容理论 晶体的运动能量包括晶格振动能量Ul和电子运动能量Ue这两种运动能量对比热的贡献分别以C l 晶格比热 和C e 电子比热 来表示 除极低温下金属中的电子比热相对较大外 通常C l C e 所以本章仅讨论晶格比热C C l C 晶格振动能量为3NS个量子谐振子能量之和 由格波态密度函数g 定义 上式也可写成为 其中 m为截止频率 且有 则定容比热为 将式 代入上式得到 关键和难点 假定晶体中所有原子都以相同频率独立地振动 3NS个原子组成的晶体振动内能U T 2Einsten模型 E KB E 则比热成为 E和温度T的函数 在Cv显著变化的温度范围内 使比热的理论曲线尽可能好地与实验曲线拟合 从而确定爱因斯坦温度 E 对于大多数固体 E在100 300K范围 把晶体视为各向同性的连续弹性媒质 设晶体是N个初基元胞组成的三维单式各子 s 1 仅有3支声学格波 并设它们的波速都相同 因而三支格波的色散关系均是线性的 pq等能面为球面 3德拜模型 格波态密函数 式中截止频率 m又称为德拜频率 记为 D 它由格波总数等于3N来确定 得 引入德拜温度 D D KB D 可得 作变量代换 德拜温度 D往往由实验确定 在不同的温度下使Cv的理论值与实验值相符 从而确定 D 又由式 一 实验定律1 杜隆 珀替定律 对确定的材料 高温下的比热为常数 摩尔热容为3R R为气体普适常数 2 德拜定律 低温下的固体比热与T3成正比 4实验和理论的比较 1 与爱因斯坦模型比较高温时当x 1时 ex 1 x 则 其中 二 高温区 2 与德拜定律比较 类似以上处理 而其中 所以 若所考察的晶体为一摩尔物质 则N N0 Cv 3N0KB 3R即在高温下Debye模型也与杜隆 珀替定律符合 三 低温情况 低温时 1 与爱因斯坦模型比较 T 0时 Cv以指数形式很快趋于零 在变化趋势上与实验符合 2 与德拜模型比较 式中的积分上限可近似取为无穷大 则积分成为 低温下 D T 1 即Cv T3 与德拜实验定律相符合 电磁波谱 晶格振动的位置格波格波的 q与光波的 k关系格波具有N个分立的q值 分布在第一布里渊区 N原胞数格波的 q关系 在某个q值下 3个声学支 3n 3个光学支 晶格振动模共有3nN个 分布在第一布里渊区 构成晶格振动特征色散关系 n原胞中的原子数q 0的光学模 叫做长波光学模 或基模 它们在红外吸收和喇曼散射方法研究晶格振动中 具有重要意义简正坐标 声子 晶格振动的研究方法 红