第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理.ppt

3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 前面讨论了静电场 恒定电场和稳恒磁场 得到了这些场的位函数满足的微分方程和边界条件 并且在均匀线性媒质中 对一些简单的场源分布情况求出了场的解 但在工程中通常会遇到更复杂的情况 此时求解场的问题就须要解场的二阶偏微分方程 并满足一定的边界条件 即通常所说的边值问题 本节讨论静态场边值问题解法 求解边值问题的方法通常有解析和数值法 解析法包括镜像法 变量分离法 格林函数法 复变函数法等 数值法包括有限差分法 矩量法 有限元法等 本章主要讨论几种经典的解析法 1 3 4 1边值问题的类型 边值问题包括位方程 拉普拉斯方程或泊松方程 和边界条件 根据在场域V的边界S上的边界条件 边值问题类型有 第一类边值问题 给定整个边界上的位函数值 如果f1 S 0称为齐次边界条件 狄里赫利问题 第三类边值问题 给定一部分边界上每一点的电位 同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数 纽曼问题 混合边值问题 第二类边值问题 给定边界上每一点位函数的法向导数 2 3 4 2解的唯一性定理 对于任何数学物理方程需要研究解的存在 稳定及惟一性问题 解的存在性是指在给定的定解条件下 方程是否有解 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时 所求得的解是否会发生很大的变化 解的唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一 电磁场是客观存在的 因此位函数的微分方程的解的存在确信无疑 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明 下面证明电位微分方程解也是惟一的 3 静电场唯一性定理的表述对于三类边值问题中的任何一类 在满足泊松方程 或拉普拉斯方程 和边界条件下 无论用什么方法所得的解都是正确的 且是唯一的 静电场唯一性定理的证明设有两个解 1和 2 分别满足方程 则在V内 令 在格林第一恒等式中 令则 4 对于第一类和第二类边值问题 在边界S上分别有 对于第三类边值问题 可以得到同样的结论 1 指出了静态场边值问题具有唯一解的条件 2 为静态场边值问题求解方法提供了理论依据 为结果正确性提供了判据 唯一性定理的意义 5 3 5镜像法 3 5 1接地导体平面的镜像 例1 求置于无限大接地平面导体上方 距导体面为h处的点电荷q的电位 6 导体平面上空的电场是由点电荷和导体表面的感应电荷共同产生 但感应电荷分布非均匀 且未知 直接求解困难 设在导体下方与点电荷对称的位置处有一点电荷 像电荷 用该像电荷代替导体上的感应电荷 即引入后 就像把导体平面抽走一样 用两点电荷的场叠加计算 7 即像电荷q 与原点电荷q电量相等 电性相反 用q 代替了导体上的感应电荷 在z 0区域内 P点的电位为 8 导体表面总的感应电荷 在z 0区域内 电场为 9 电场线与等位面的分布特性与前述的电偶极子的上半部分完全相同 由此可见 电场线处处垂直于导体平面 而零电位面与导体表面吻合 说明 应用镜像法时仅针对导体平面的上半空间成立 因为在上半空间中 源及边界条件未变 例2 求置于无限大接地平面导体上方 距导体面为h处的长直线电荷的电位 10 显然可将感应电荷的作用用位于 h处的镜像线电荷 l l替代 显然 满足边界条件 所以 原问题不变 所得的解是正确的 考察原问题是否得到满足 由于像电荷位于z 0区域 原方程不变 且有 原问题 均匀带电直线的电位分布 11 例3 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示 两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板 点电荷q位于 d1 d2 处 显然 q1对平面2以及q2对平面1均不能满足边界条件 对于平面1 有镜像电荷q1 q 位于 d1 d2 对于平面2 有镜像电荷q2 q 位于 d1 d2 只有在 d1 d2 处再设置一镜像电荷q3 q 所有边界条件才能得到满足 电位函数 q d1 d2 1 2 R R1 R2 R3 12 对于非垂直相交的两导体平面构成的边界也可应用镜像法 例如 夹角为的导电劈需引入5个镜像电荷 1 若夹角为 则所有镜像电荷数目为2n 1个 注意 2 n不为整数时 镜像电荷将有无数个 镜像法就不再适用了 当角域夹角为钝角时 镜像法亦不适用 13 3 5 2 导体球面镜像法 例1 如下图所示 一个半径为a的接地导体球 一点电荷q位于距球心d处 d a 求球外任一点的电位 分析 球外电场是电荷q与导体球面感应电荷产生的 但感应电荷未知 球面上的感应电荷可用镜像电荷q 来等效 q 应位于导体球内 显然不影响原方程 且在点电荷q与球心的连线上 距球心为d 则有 14 接地导体球面上任一点电位 在上式中q 和d 是待求量 总的感应电荷 取球面上的A B两点 得可确定q d 的两个方程 15 讨论 1 导体球不接地 导体球面为等位面但电位不为0 球面上存在正 负感应电荷 但感应电荷总量为0 处理方法 电位叠加原理 1 先假设导体球面接地 则球面上存在电量为q 的感应电荷 镜像电荷可采用前面的方法确定 2 为了满足电荷守恒原理 断开接地线 将电量为 q 的电荷加到导体球面上 使这些电荷均匀分布在球面上 使导体球为等势体 且表面总电荷为零 3 对于均匀分布在球面上的 q 电荷 可用另一个镜像电荷q q 代替 但必须位于球心 16 结论 点电荷q对非接地导体球面的镜像电荷有两个 位置 球外空间某点电位为 球面上电位为 17 图1 点电荷与接地导体的电场 图2 点电荷与不接地导体的电场 2 若导体球不接地 且带电荷Q 求球外的电场 像电荷q 位置和大小同上 像电荷q 的位置也在球心 但q Q qa d 18 3 若一点电荷q位于一个半径为a的接地导体球面内 距球心d处 d a 求球内任一点的电位 以上问题是例1的反演类似地 可以求得镜像电荷 球壳内电位 球壳外电位 19 在圆柱与线电荷之间 在圆柱内离轴线的距离b处 平行放置一根镜像线电荷 代替圆柱导体上的感应电荷 1 长直线电荷与接地的长直圆柱导体平行 求圆柱外电位分布 以r0为参考点 则电位 3 5 3 圆柱面镜像法 电轴法 复习 已知一条无限长线电荷产生的电场为 20 若令镜像线电荷产生的电位也取相同的作为参考点 则及在圆柱面上P点共同产生的电位为 上式对任意的均适用 因此对求导 可得 由于上式对任意的均成立 故 21 圆柱面外的电位函数 由时 故 导体圆柱面上的感应电荷面密度为 导体圆柱面上单位长度的感应电荷为 导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等 22 特点 由于两圆柱带电导体的电场互相影响 使导体表面的电荷分布不均匀 相对的一侧电荷密度大 而相背的一侧电荷密度较小 分析方法 将导体表面上的电荷用线密度分别为 且相距为2b的两根无限长带电细线来等效替代 如图2所示 问题 如图1所示 两平行导体圆柱的半径均为a 两导体轴线间距为2h 单位长度分别带电荷和 2 两平行长直圆柱导体 双传输线 求电位分布 23 1 线密度为的一对无限长平行线电荷 如图示 求其电位分布及等位面方程 线电荷的电位 线电荷的电位 任一点p x y 的总电位 分析 显然此双线带电系统的场与坐标z无关 是一个二维场问题 24 等位面方程表示一簇圆 圆心在 x0 y0 半径是R 等位线方程 满足 实际上等位面是许多圆柱面 若让其中两个等位面分别与两导体圆柱面重合 即满足两导体柱面为等位面的边界条件 根据惟一性定理 待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生 2 电轴法 25 其中 h是圆柱体几何轴线位置 a是圆柱体的半径 b是替代圆柱体的带电细线的所在位置称为圆柱导体的电轴 因而这种方法又称为电轴法 令 由此可得 任一点p x y 的电位 26 例1 两平行长直圆柱导体的半径都为a 导体轴线之间的距离是2h 如图 求导体单位长度电容 h a 用电轴法求解 设两个导体圆柱单位长带电分别为 等效电轴 两线电荷 相距原点均为b 有几何关系为 两个导体面的电位分别为 两导体圆柱间的电压为 两导体圆柱间的单位长度电容为 27 3 5 4 介质平面的镜像 设两种介电常数分别为 1 2的介质充填于z 0及z 0的半空间 在介质2中点 h 0 0 处有一点电荷q 如图所示 求空间各点的电位分布 原问题 除点电荷在的位置 满足 分析 电荷q产生的电场将使两介质极化 从而在分界面上产生不均匀的极化电荷 极化电荷对两个区域中的电位都有贡献 空间电位由极化电荷和电荷q共同产生 解决方法 镜像法 即用镜像电荷等效极化电荷作用 1 点电荷对电介质分界面的镜像 28 为求上半空间的场可将整个空间填充满 1的均匀介质 边界上的极化电荷可用原点电荷q的镜像电荷q 等效代替 q 的大小未知 区域1的电位由q和位于区域2中的镜像电荷q 共同产生 则 29 但 必须使所求得的场符合原先的边界条件 即 为求下半空间的场可整个空间填充以 2的均匀介质 边界上极化电荷可用原点电荷处的镜像电荷q 等效代替 q 的大小未知 区域2的电位由q和位于镜像电荷q 共同产生 注意 若为真空与介质分界面 则将对应介质介电常数代换为即可 30 特点 在直线电流I产生的磁场作用下 磁介质被磁化 在分界面上有磁化电流分布 空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生 问题 如图1所示 磁导率分别为和的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面 在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于分界平面 且与分界平面相距为h 分析方法 在计算磁介质1中的磁场时 用置于介质2中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流 并把整个空间看作充满磁导率为的均匀介质 如图2所示 2 线电流与无限大磁介质平面的镜像 31 因为电流沿轴方向流动 所以矢量磁位只有y分量 则磁介质1和磁介质2中任一点的矢量磁位分别为 在计算磁介质2中的磁场时 用置于介质1中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流 并把整个空间看作充满磁导率为的均匀介质 如图3所示 32 相应的磁场可由求得 可得到 故 利用矢量磁位满足的边界条件 33 1 为满足原方程 镜像 电荷或电流 应选择在所讨论的区域以外2 镜像 电荷或电流 的选择应保持原边界条件不变3 镜像 电荷或电流 只对所讨论的区域有效4 局限性 仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷 总结 34 求解思路 将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个函数 只含一个变量 的乘积 把偏微分方程分解成n个常微分方程 求出各常微分方程的通解后 把它们线性叠加起来 使其满足给定的边界条件 3 6分离变量法 理论依据 分离变量法的理论依据是唯一性定理 因为分离后的解既满足微分方程 又满足边界条件 故其是真解 分离变量法是求解边值问题最经典的方法 它属于解析法 可给出解的精确表达式 但由于采用正交坐标系 要求边界应与某一正交坐标系的坐标面重合 分离变量法的应用范围有限 35 1 直角坐标系中的分离变量法 设可以表示为两个函数的乘积代人上式得 令 式中称为分离常数 待定量 它们可以是实数或虚数 但不可全为实数或虚数 他们并不是独立的 它们必须满足 在直角坐标系中 若位函数与z无关 则拉普拉斯方程为 36 由此 将拉普拉斯方程的求解问题分解为两个分别仅与x y变量有关的常微分方程组的求解 由上可见 经过变量分离后 二维偏微分方程式被简化为二个一维常微分方程 常微分方程的求解较为简便 而且二个常微分方程又具有同一结构 因此它们解的形式也一定相同 下面以关于x的微分方程为例 说明当分离变数取不同值时的特征解 37 或 3 当时的解 其中a0 b0 a1 b1 a2 b2 a3 b3为待定常数 如何确定分离常数 由边界条件来确定 方法如下 1 若某些坐标面 x 0 上的边界条件可看成周期性的 则该坐标的分离常数 kx 为实数 其解为三角函数 2 若位函数与某一坐标变量无关 则该坐标的分离常数必须为零 其解为常数 3 若在某些坐标面上 边界条件是非周期性的 则该坐标的分离常数为虚数 其解为双曲函数或者衰减函数 有界区域为双曲函数 无界区域为衰减函数 38 对于含变量y的常微分方程 其解具有完全相同的形式 当各坐标变量的解确定后 它们的乘积就是原微分方程的一个特解 如该特解满足所有边界条件 则该解就是边界问题的真解 否则必须将所有可能的特解叠加起来 并使其满足边界条件 再确定待定的组合系数 最后得到边值问题的真解 例1无限长的矩形金属导体槽上有一盖板 盖板与金属槽绝缘 盖板电位为 金属槽接地 横截面如下图所示 试计算此导体槽内的电位分布 解 该问题的的数学模型 39 再考虑到x 0和x a的槽壁上电位为零 故可认为沿x方向作周期性的变化 为非零实数 所以 很明显 金属槽中的电位与z无关 故 满足 二维拉普拉斯方程 40 取不同的n值对应的叠加 通解为 其中 上式左右两边同乘以sin m x a 并在区间 0 a 积分 有 41 得到待求区域的电位为 利用三角函数的正交性 有 42 图2接地金属槽内的等位线 图1接地金属槽 43 例2 矩形导体长槽 上下底面 即y 0与y b平面 是两无限大接地导体平面 侧面 x a处 是电位为U0导体平面 且四条棱线间绝缘 如图示 试求矩形长槽内的电位函数 解 槽中电位与z无关 只是x y的函数 在区域0 x a 0 y b内 边界条件为 x 0 0 x a a y u0 y 0 x 0 0 y b x b 0 设 利用分离变量法求解 由边界条件知g y 具有周期性 故 44 取不同的n值对应的叠加 通解为 其中 45 上式左右两边同乘以 并在区间 0 b 对y积分 有 46 2 圆柱坐标系中的分离变量法 当电位与坐标变量z无关时 上式第三项为零 此时电位满足 47 式中k为分离常数 它可以是实数或虚数 通常变量 的变化范围为 且 r 与 r 为空间同一位置 因此场量随 的变化一定是以2 为周期的周期函数 因此 上式的解一定是三角函数 令 当n 0 式中A B为待定常数 相应地 欧拉方程 其通解 48 将关于坐标变量r 的函数乘积起来 并线性组合 再利用给定的边界条件确定分离常数和组合系数后 得 电位的通解为上式对n的求和 考虑到以上各种情况 电位微分方程的解可取下列一般形式 若所讨论的静电场又与变量 无关 则n 0 那么 电位微分方程 其解为 49 例1 在无限大的均匀电场中放一根无限长 半径为a的接地导体圆柱 电场强度方向垂直于导体圆柱 如图所示 试求放入导体圆柱后的场分布 解 选取圆柱坐标系 令z轴为圆柱轴线 电场强度的方向与x轴一致 即 放入导体前空间任一点的电位 设O点位零电位 导体柱是一个等位体 且接地 在柱内 r a 圆柱外电位分布与z无关 故满足二维拉普拉斯方程 本例的边界条件是 r 柱外电场E2 E0ex r a 导体柱内 外电位连续 即 50 由于 且电位关于x轴对称 于是 同时 所以 圆柱外任一点的电位为 下面由边界条件确定常数Cn Dn 和n的取值 由r a时得 要使上式成立 n只能取1 故 51 这样原问题的解为 则圆柱外电场强度为 圆柱外电场线 等位面以及圆柱表面的电荷分布如右图所示 52 例2 若在电场强度为E0的均匀静电场中放入一个半径为a的电介质圆柱 柱的轴线与电场互相垂直 介质柱的介电常数为 柱外为真空 如图所示 求柱内 外的电场 53 解