数学北师大版九年级下册垂径定理教学设计.doc

圆的对称性教学设计 张家口市第二十中学:李玉琴教学任务分析教学目标知识目标通过操作实验，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的计算及证明问题；掌握辅助线的作法过圆心作弦的垂线，作半径。能力目标通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；向学生渗透“数学建模”及“转化与化归”的基本思想方法。情感目标结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点的教育。激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。教学重点：垂径定理及其应用。教学难点：垂径定理的证明及综合能力的培养。教学方法：直观演示法和引导发现法。教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1 创设情景，引入新课活动2 动手操作，探求新知活动3 及时巩固，定理应用活动4 小结，布置作业从实例提出问题，引入新课通过动手操作，得出圆的轴对称性，探索垂径定理的内容，并用叠合法证明。解决前面提出的问题，并用其进行线段或弧相等的证明，加深对垂径定理的理解和应用。回顾梳理，从知识和能力方面总结本节课所学到的内容。教学过程设计问题与情景师生行为设计意图活动1创设情境，引入新课同学们都学过中国石拱桥这篇课文，其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1300多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。问题：演示课件（赵州桥图片）你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 教师演示课件，展示一个赵州桥的全貌。 在学生观察的基础上，教师解释：赵州桥的主桥拱是圆弧形的，桥的跨度为37.4m,拱高为7.2m. 引导学生把该问题转化成数学模型,并画出图形,分析出此问题是已知了什么,求什么。 本次活动中，教师应特别关注：（1） 问题的提出是否引起学生的兴趣。（2） 学生能否把实物转化成数学模型。（3） 学生是否清楚了要研究的数学问题。 从生活实际问题入手，可以使学生认识到数学源于生活，又服务于生活的道理。激发学生的爱国情感。 将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型，建立数学关系的方法。 引导学生把实际问题转化成数学模型，激发 学生的好奇心与求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。 用多媒体演示图片，形象、直观、省时，还可以激发学生的学习兴趣。活动2动手操作，探求新知1、实验：（1） 作出你手中圆形纸片的直径，你有什么发现？（2） 找出此圆的圆心2、探究：（1）请同学们利用自己手中的圆形纸片折出两条互相垂直的直径。你能找出图中相等的线段和弧吗？（2）把（1）中的直径CD平移，使其不过圆心，AB和CD仍满足什么条件？你能找出图中相等的线段和弧吗？这个图形还是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ ODAB MC3、问题：你能从理论上证明你所获得的结论吗？4、问题：（1）你能用文字语言表述一下这个结论吗？（2） 能用符号语言表述此定理吗？5、火眼金睛（1） 如图：O中，CD是直径，AB是弦，AB与CD斜交于点E，那么我们在定理中的结论还成立吗？.ABCODOAECBD（2）（1）已知，如图：O中，弦AB弦CD，（AB、CD都不过圆心）那么我们在定理中的结论还成立吗？ 教师提出问题，引导学生动手操作，发现问题，让学生自己归纳得出：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，直径所在的直线都是它的对称轴。 引导学生利用圆的轴对称性通过两次折叠圆从而找出圆心（ 即两条对称轴的交点）。让学生得出：圆的对称轴就是过圆心的直线。圆心就是两直径的交点。 让学生动手操作，折叠出互相垂直的两条直径，自己得出结论。教师课件演示，得出垂径定理的基本图形，通过三个问题帮助学生弄清题中的条件和结论，并引导学生的证明思路。 学生分组讨论完成定理的证明引导学生找出获得的结论的题设与结论，并用符号语言表述，写出已知、求证，并探求最简单合理的证明方法。在学生口述的基础上，通过课件演示叠合法证明的过程。教师引导学生，推敲语言，对不准确、简练的，请其他同学纠正。总结后，教师板书定理内容。进一步帮助学生分析定理的题设和结论，并可将定理改述成为：一条直线若满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；则可推出：（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。在此基础上再把它转化成符号语言。这样可以加深学生对定理的理解，同时也为进一步学习它的推论作好了准备。引导学生进一步分析定理的题设和结论，得出垂径定理是一个由位置关系推出数量关系的过程。教师利用课件给出这两个反例，学生由观察便可得出结论，突出垂径定理的两个条件：（1）垂直（2）直径。从而加深学生对垂径定理的理解。 本次活动教师应重点关注：（1） 学生的观察学生的动手能力与操作能力的强弱。（2）学生是否能积极参与思考。（3）学生对定理的理解。活动2的设计是为引导学生发现问题，让学生亲自动手操作、观察、发现、探究、归纳，从而得出结论。激发学生的求知欲，且有助于学生更深刻的理解和掌握。 这个问题的设置使学生在动手的基础上由特殊到一般的得出垂径定理的基本图形，有利于学生的理解和掌握。叠合法的应用，丰富了学生的证明方法，开阔了视野，体现了方法的优越性，有利于培养学生的扩散思维。准确凝练的语言，体现了数学的严密性和逻辑性，有利于培养学生的语言表达能力。符号语言的应用，可以使学生更深刻的理解定理，同时也体现了数学语言的简洁明了。举出反例加深学生对定理的理解，同时也有助于学生逆向思维能力的培养。本活动利用多媒体课件演示图形的运动过程，可以让学生直观的感知知识，有助于学生的理解，同时也能激发兴趣，加深印象。活动3 及时巩固定理应用例1：如图，已知在O中，弦AB的长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径.ABOM变式一：如右图在O中,若半径OCAB于M, (1)若弦AB=8cm, 半径OA=5cm, 则OM=_cmCM=_cm(2)若圆心O到弦AB的距离OM=3cm,半径OA=5cm, 则AB=_(3)若弦AB=8cm, CM=2cm,则半径为_cm问题:1、通过此例,你能发现在圆中半径R、弦L、弦心距d、弓形高h四者之间存在这样的关系？下面我们来解决咱们在开头遗留的问题：1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）课堂练习：1、如图：在O中，直径AB弦CD，则下列结论不一定成立的是（ )A、COE=DOE B、CE=DE C、OE=BE D、弧BD=弧BC OBCDA EPxyOA2、在平面直角坐标系中，P的弧交x轴于A、B两点，A(2,0) P(4,2)，则B( , )。3、半径为5的圆O中，弦AB长为8，P为AB上一个动点，则OP长的取值范围是（ ）A、0OP4 B、3OP5C、3OP5 D、4OP5延伸一：已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD ACDB延伸二：已知：O中，弦AB平移到CD的位置。问题：AC=BDABCDO4、归纳：圆中常见辅助线的添加方法5、问题：（1）在圆中弦与直径垂直时必平分，那么它们平分时也必垂直吗？（2）当直径互相平分时，它们一定也垂直吗？（3）如图，M为O内一点，利用尺规作一条弦AB，使AB过点M,并且AM=BM. 教师通过课件出示例1，让学生自己思考或与同学讨论得出解题的思路与方法。 学生求出EF后，定义弓形与弓高，并完善上面获得的结论。 通过例1及变式的计算，学生自己总结R、L、d、h四者之间的关系-知二求二。让学生在练习本上自己解题，教师巡视，重点看学生辅助线的添加与解题步骤的规范。并帮助有困难的学生。 在学生都解完后，教师利用课件演示给出标准答案，进一步规范学生的解题步骤。教师利用课件出示练习，让学生自己完成。1题让学生进一步熟悉垂径定理的基本图形。2题把圆放在平面直角坐标系中，综合应用垂径定理。3题在例一这个基础图形上引入动点问题，使学生更好的理解弦、弦心距、半径三者之间的关系。教师利用课件给出题目，让学生用不同的方法去证，再从中选择最简单的方法，从而体会应用垂径定理的优越性。用课件演示延伸二，对于此题，教师应重点关注学生能否应用垂径定理证明弧相等，并能添加适当的辅助线。让学生知道弧线也能相减，等量减等量，差相等。并由此题归纳圆中常见辅助线的添加。教师提出问题，让学生类比定理的探究过程来得出结论，教师应关注学生是否能自己得出结论，他们是如何得出结论的。是否能用文字语言总结。教师提出问题，让学生自己观察，得出这条弦不能是直径的事实。此问题教师应重点关注学生是否能想到应用垂径定理等分一条弧线，学生的尺规作图是否规范。活动3的设计是垂径定理的应用。通过三个例题和一个问题，展示了垂径定理的四个主要方面的应用：（1）计算，（2）证线段相等，（3）证弧相等（4）作图。通过例题的解决，使学生加深对定理的理解，同时也体现了数学服务于生活的宗旨，也可激发学生探求新知的信心，体验学习的成就感。教师通过学生做题，及时发现问题，查漏补缺，不断完善教学，提高教学效果。在总结得出半径、弦、弦心距、弓形高四者之间的关系后，解决引课的求赵州桥主桥拱半径问题就水到渠成了，同时也体现了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的认识事物的过程与方法。 通过这三个练习题，由易到难的应用垂径定理，巩固定理。这两个延伸问题在例一这个基础图形上通过图形的变换而得出，这样的安排有利于学生的理解和掌握。这两题的设置主要目的是应用垂径定理证明线段和弧的相等，丰富定理的内容及作用。这个环节的目的是引导学生自己探究得出垂径定理的推论。让学生体会定理的又一功能-作图6、直击中考，能力提升。如图，在半径为2的扇形AOB，AOB=90，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分别为D、E（1）当BC=1时，则sinBOD=_;线段OD=_；（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；(3)若AOB= ( 为定角且 )则（2）中的结论是否成立？若成立，请直接写出DE的长度。（用三角函数表示）活动4 课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？布置作业：1、 必做题2、 选做题3、 思考题课件出示此题，让学生分组讨论完成。教师带领学生从知识、技能、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容。教师关注不同层次学生对所学内容的理解与掌握。教师布置作业此题是12年上海市的一道中考题改编而成，由易到难，由不动到运动，由特殊到一般安排了三问。把三角函数与中位线这两个刚学过的内容糅合进来，丰富了三角形的应用，也可以培养学生综合应用知识的能力。同时引进了动点问题，让学生在变与不变中体会动点问题的解题策略与思路。为今后解答动态问题做准备。通过小结使学生归纳、梳理、总结本节的知识、技能、方法、思想，将本课所学的知识与以前所学的知识紧密联结，并及时的应用于实践，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感。 课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，是让学生巩固、提高、发