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第四章傅里叶变换及应用 傅里叶变换是积分变换的一种 它可用来求解无界区域上的定解问题 傅里叶变换可以把线性偏微分方程变为含有较少变量的线性偏微分方程或常微分方程 从而使问题得到简化 1 如果满足上面的条件 我们可以定义傅立叶逆变换为 如果函数在上绝对可积 它的傅立叶变换定义如下 一 傅立叶变换 反演公式 2 注1 在有些参考文献中 因子被分解成 并且分别含在上述两个式子 1 和 2 中 而在式 1 中的函数写成 从而在式 2 中函数写成 这些本质上同定义 1 2 没有差别 3 注2 在三维无界空间中 若是绝对可积函数 则可定义三重傅里叶变换 当然 我们也可以定义傅立叶逆变换 4 傅立叶变换的性质 1 线性性质设f g是绝对可积函数 是任意复常数 则 2 微分性质设f 绝对可积函数 则 3 乘多项式设f xf绝对可积 则 5 4 相似性质设f x 绝对可积 则 6 卷积性质设f g是绝对可积函数 令 则 5 延迟性质设f x 绝对可积 则 6 7 积分性质 8 频移性质 7 例1用傅里叶变换法解热传导方程定解问题 解 作关于x的傅立叶变换 方程可变为 设 二 傅里叶变换的应用 8 可解得 由于 即 则 9 从而方程的解 10 例用积分变换法解方程 解 作关于的傅立叶变换 设 方程变为 用常数变易法可解得 而 则 11 12 13 傅立叶变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法 但1 傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积 大部分函数不能作傅立叶变换 2 傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义 研究混合问题时失效 注 14 傅里叶变换法求解问题的步骤 对方程的两边做傅里叶变换将偏微分方程变为常微分方程 对定解条件做相应的积分变换 导出新方程对应的定解条件 求常微分方程及定解条件的解 对解的变换式取相应的逆变换 得到原定解问题的解 15 数学物理方程 定解条件 解 常微分方程 定解条件 解 积分变换 逆变换 16 解 取变换符氏 例2用傅里叶变换求解波动方程的初值问题 17 18 例3用傅里叶变换求解波动方程的初值问题 解 作关于x的傅立叶变换 设 19 于是原方程变为 满足初始条件 20 齐次方程的解 设非齐次方程的解为 21 令 则 22 代入方程 得 23 积分上述两式 24 得到非齐次方程的通解为 由初始条件 25 取傅立叶逆变换 得 的傅立叶
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