高三数学系统复习-立体几何(全面总结,含模拟试题).doc

1 立体几何复习立体几何复习 本周教学内容 本周教学内容 立体几何基础 平行 垂直的证明 教学重点 教学重点 系统化梳理立体几何知识 方法体系 寻求证明 平行 垂直 类问题的一般策略性思路方法 范例分析范例分析 例例 1 1 已知 D E F 分别是三棱锥 S ABC 的侧棱 SA SB SC 上的点 且直线 FD 与 CA 交于 M FE 与 BC 交于 N DE 与 AB 交于 P 求证 M N P 三点必共线 证明 证明 FD CA M FE CB N DE AB P M N P 在由 D E F 确定的平面上 又在平面 ABC 上 即 M N P 是平面 DEF 与平面 ABC 的公共点 它们必在这两个平面的交线上 故 M N P 三点共线 例例 2 2 如图 在空间四边形 ABCD 中 E F G 三点分别在 AB BC CD 上 且 2 3 过 FB CF EB AE GD CG E F G 作一平面交 AD 于 H 求证 EH FG BD 三线共点 证明 证明 连结 AC GH AC EF EF AC FB CF EB AE 3 1 AC 平面 EFGH AC HG 3 EF GH EF HG GD CG HD AH AC HG 4 1 四边形 EFGH 为梯形 设 EH 与 FG 交于点 P 则 P 平面 ABD P 平面 CBD P 点在两平面 ABD 和 CBD 的交线 BD 上 EH FG BD 三线共点 简评 简评 有关点共线 点共面 线共点 共面 异面的问题是空间观念最基本的问题 虽说在高考中很少有单独 的题目出现 但它涉及对四个公理及其推论的深入理解 训练最基本的空间思维能力和逻辑推理能力 是切实 提高空间想象能力出发点 复习中易被同学忽略 通常运用公理 推论及平面几何知识 1 证明若干点共线证 明这些点是某两个平面的公共点 2 证明若干个点或若干条直线共面的问题 通常由其中某些元素作出一个 平面 再证明其它元素均在该平面上 3 证明三线共点的问题是证明两条直线的交点在第三条直线上 可推 广到 n 条直线共点的情况 例例 3 3 异面直线l1与l2互相垂直 MN 为它们的公垂线 长为 b M l1 N l2 P Q 分别为l1 l2上的两点 P l1 Q l2 PQ a A B 分别为 PQ MN 中点 求 AB 的长 分析 分析 降维 空间问题的平面化是解决立体几何问题的基本思路 这道题该考虑如何将所求线段与已知长的线 段之间在一个平面内建立联系 解 解 过 N 点作直线l1 l1 过 P 作 PC MN 交l1 于 C 连结 CQ 作 CQ 中点 D 连结 AD DN MN 为l1 l2的公垂线 设l2与l1 确定平面为 MN 垂直平面 PC PC MN b PC CQ CQ 22 ba l1 l2 即 CNQ 为直角 2 1 ll DN 22 2 1 ba 又 A 为 PQ 中点 ADPC 2 1 ADMN 即 ADBN 2 1 即四边形 ADNB 为平行四边形 AB DN 22 2 1 ba 评注 评注 此题看起来有些难 但所用的思路方法涉及知识点都是最基本的 在一些空间关系辨析题中经常涉及 例例 4 4 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 P Q 分别为 BD 和 CD1上一点 且 BP CQ 求证 PQ 平面 ADD1A1 分析 分析 证线面平行 判定 在平面 AD1上找一条与 PQ 平行的直线 证明一过 PQ 的平面与 AD1平行 证明 法一 证明 法一 过 P 作 PE AB 交 AD 于 E 过 Q 作 QF DC 交 DD1于 F 连结 EF 2 则 DB DP AB EP QC QD DC FQ 1 正方体 ABCD A1B1C1D1 CD1 BD AB DC 又 BP CQ EPFQ 四边形 EPQF 为平行四边形 EF PQ 又 EF 平面 ADD1A1 PQ 平面 ADD1A1 法二 法二 连结 CP 延长交 DA 或其延长线于 G 连结 D1G 正方体 ABCD A1B1C1D1 CQ BP 又 DA BC DP BP QD CQ 1 PG CP DP BP PQ D1G PG CP QD CQ 1 而 D1G 平面 ADD1A1 PQ 平面 ADD1A1 法三 法三 过 Q 作 QK D1D 交 DC 于 K 连结 PK 则有 KD CK QD CQ 1 又 正方体 A D1中 CQ BP KP BC AD PD BP KD CK QK PK K 平面 PKQ 平面 ADD1A1 PQ 平面 PKQ PQ 平面 ADD1A1 例例 5 5 已知平面 平面 a 求证 a 分析 分析 证线面垂直 判定方法 1 在平面 上找两条相交直线使之与 a 垂直 2 找 a 的平行线 它与 垂直 3 找与 垂直且过 a 的一个平面 使 a 与两平面的交线垂直 4 a 垂直 的平行平面 证 法一 证 法一 设 b c 在 上任取一点 P 作 PA b 于 A 作 PB c 于B PA PB 又 a PA a PB a PA PB P PA PB a 法二 法二 在 内任取点 D Da 过 D 作直线 DE b 于 E 在 内任取点 F Fa 过 F 作 FG C 于 G DE FG DE FG DE DE a a 法三 法三 取点 Qa 过 Q 在 内作直线 QH b 于 H 在 内作直线 QK c 于 K a a b c QH Qk 而过一点作已知平面的直线有且仅有一条 QH QK 重合 即 QH QK 为 的公共线 QH QK a 重合 即 a 简评小结 简评小结 立体几何证明是学生体会和理解逻辑推证的最好素材 在此处同学易犯错 的两种情况是要么不知如何入手瞎推一气 要么是混淆中间命题用一些想当然的结论 作依据推证结果 此原因一方面是对课本中所学过的判定定理 性质定理不熟 但更 多的是对问题缺乏一种策略性的思路方法 此处内容体现数学钢铁般的逻辑 无论是 从待证的结果去寻求思路还是从已知去展开推演 都必须有明确成文的定理 公理去 保证 故为此不妨可以总结一句话 抓任务 依判定 步步上溯找条件 见已知 想性质 严谨推演 从以上两例思路 方法的分析探求可见此 练习巩固 练习巩固 1 四面体的一个顶点为 A 从其它顶点与棱的中点中取 3 个点 使它们和点 A 在同一 平面上 则不同的取法有 种 3 2 给出过正方体 ABCD A1B1C1D1三条不同棱上三点 A B C 的截面截正方体所成的截面多边形 再问若适当改 动 A B C 位置 是否会使截面成正五边形 3 已知在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 BAC 30 BC 1 AA1 M 是 CC1的中点 求证 AB1 A1M 6 答案提示 答案提示 1 分类 过点 A 的侧面中有三个顶点和三个中点 过一条侧棱与对棱中点的平面也满足条件 故答案为 3 3 33 3 5 C 2 运用公理 1 公理 2 的截面如图示 AFEBCD 不可能截出正五边形 因五边形五边 分别处在正方体的五个面上 由正方体性质知 该五边中至少有 2 对互相平行 而且 五边形两对边都不平行 3 提示 三垂线定理 AB1是面 ACC1A1的斜线 A1M 是面 ACC1A1上的线 1 二面角的大小为 直线 且 与不相交且所成角为 则 l a bl ab A B 当时 当时 0 90 0 90 C D 与的大小不能确定 2 正方体中 点 分别是 的中点 设过点 的平面截正方体得到的截 1111 DCBAABCD EF 1 AACDEF 面是边形 则的取值集合是 nn A B C D 4 3 6 4 6 5 4 6 5 4 3 3 两两互不平行也不重合的三条直线 组成的空间图形的对称轴最多有 A 1 条 B 3 条 C 6 条 D 9 条 4 在直二面角中 都不在 上 与所成角为 与所成角为 l A BABlAB xAB y 与棱 所成角为 则的值为 ABlzzyx 222 coscoscos A B C D 3232 5 已知 到的距离为 则在平面内与直线的距离等于的直线有 aa 0 dd ad2b A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 无数条 答案 答案 B C D C C 4 点到平面的距离的几种求法点到平面的距离的几种求法 求点到平面的距离是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题 是近几年高考的一个热点 本文试通过对 一道典型例题的多种解法的探讨 结合 立体几何 必修本 中的概念 习题 概括出求点到平面的距离的几 种基本方法 例 已知是边长为 4 的正方形 分别是 的中点 垂直于所在平面 且ABCDEFABADGCABCD 求点到平面的距离 2 GCBEFG 一 直接通过该点求点到平面的距离一 直接通过该点求点到平面的距离 直接作出所求之距离 求其长 直接作出所求之距离 求其长 解法解法 1 1 如图 1 为了作出点到平面的距离 延长交的延长线于 连 结 作BEFGFECBMGM 交于 则有 作 交于 易证BCBN GMNCGBN ABCDBN平面 EMBP EMP 作 垂足为 则 于是是点到平面的距离 EFGBPN平面平面 PNBQ QEFGBQ平面 BQBEFG 易知 由得 3 2 BN2 BP 3 22 22 BNBPPNBNPBPNBQ 11 112 BQ 不直接作出所求之距离 间接求之 不直接作出所求之距离 间接求之 利用二面角的平面角 课本第 4 题 第 2 题 第 4 题给出了 二面角一个面内的一个点 它到棱的距离 到另一个面的42P46P 距离与二面角的大小之间所满足的关系 如图 2 二面角的大小为 NCDM MA CDAB 点到平面的距离 则有 即为二面角的大小 而并不强求要作出经过aAB ANdAO sinad 的二面角的平面角 AB 解法解法 2 2 如图 3 过作 交的延长线于 易知 这就是点到二面角BEFBP EFP2 BPB 的棱的距离 连结交于 连结 易证就是二面角的平面角 GEFC EFACEFHGHGHC GEFC 2 GC24 AC2 AH 23 CH22 GH 22 2 sin GHC 5 11 112 22 2 2sin GHCBPd 利用斜线和平面所成的角 如图 4 为平面的一条斜线 与所成的角为 到平面的距离为 则OP OPA lOA OP A d 由斜线和平面所成的角的定义可知 有 经过与垂直的平面与相交 交线与所成的锐角 sinld OP OP 即为 这里并不强求要作出点在上的射影 连结得 A BOB 解法解法 3 3 如图 5 设为与的延长线的交点 作 为垂足 又 易得MFECBGMBR REBGM 为它们的交线 所以就是与平面所成的角 由 EFGBER平面平面 ERREB EBEFG MRB 可得 在中 所以 于故所求MCG 10 2 BRREBRt 0 90 B 10 2 BR2 EB 11 11 sin ER BR 距离为 11 112 d 利用三棱锥的体积公式 解法解法 4 4 如图 6 设点到平面的距离为 则三棱锥的体积 另一方面又可BEFGdEFGB dSV EFG 3 1 得这个三棱锥的体积 可求得 所以有 CGSV FEB 3 1 2 4 1 DABFEB SS112 EFG S22 3 1 112 3 1 d 解得 11 112 d 二 不经过该点间接确定点到平面的距离二 不经过该点间接确定点到平面的距离 利用直线到平面的距离确定 利用直线到平面的距离确定 解法解法 5 5 如图 7 易证 所以上任意一点到平面的距离就是点到平面的距EFGBD平面 BDEFGBEFG 离 由对称思想可知 取中点 求点到平面的距离较简单 交于 交于 易证BDOOEFGACEFHBDO 作 为垂足 为所求之距离 EFGGHC平面平面 HGOK K 11 112 OK 6 利用平行平面间的距离确定 利用平行平面间的距离确定 如图 8 把平面补成一个正四棱柱的截面所在的平面 可使题设中的点 线 面之间的位置关系更加EFG 明朗 面是正四棱柱经过 的截面所在的平面 交于 交GMT 111 GDBAABCD FEGMG 1 BBNTG 于 作 交于 连结 则有 它们之间的距离就是所求之距 1 DDQMGBP CGPDPPDBGTM平面平面 离 于是可以把点平移到平面上任何一个位置 哪里方便就在哪里求 BPDB 这两个平行平面的距离又同三棱柱的体积有关 所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距dPDBGQN 离 据此可得解法 解法解法 6 6 三棱柱的体积 另一方面又有 可求得 PDBGQN dSV PDB BNSV CDB 3 2 BN 3 4 CP 所以 3 104 PDPB24 BD 3 118 PDB S8 CDB S 3 2 8 3 118 d 解得为所求之距离 11 112 d 7 巧妙求解二面角的大小巧妙求解二面角的大小 求二面角的大小 大都考虑如何在适当位置作出二面角的平面角 再设法去求平面角的大小 二面角的平 面角有作法有如下三种 棱上一点双垂线法 即定义法 面上一点三垂线法 利用三垂线定理及其逆定理 空间一点垂面法 即作与棱垂直的平面 但有些问题这样考虑往往难以解决 里介绍几种不作二面角的平面 角直接去求二面角大小的几种方法 例例 1 1 如右图 四棱锥的底面是边长为的正方形 侧面 都与ABCDP aPABPAD 底面垂直 求侧面与侧面所成的二面角的大小 PDCPAD 解解 因为 所以ACPAD面面 ADCD PADCD面 又因为 所以 PCDCD面 PADPCD面面 所以面与面所成的二面角为 PCDPAD 0 90 说明 说明 本题启示我们 对于某些问题应该首先考虑其特殊性 如果能推断出两个面互相垂直 问题就简化了 例例 2 2 如右图 四棱锥的底面是边长为的正方形 侧面与都垂直于底面 且侧棱 ABCDP aPABPADPB 都和底面成角 求侧面和所成的角 PD 0 45PBCPDC 解解 如图 分别过点 作 且 作 BCDAPBE APBE APCF 且 且 连接 则将APCF APDG APDG PEEFFGPG 四棱锥补成四棱柱 PEFGABCD 因为 ACPAB面侧面 ACPAD面侧面 又因为 所以APPADPAB 面面 ACAP面 因为侧棱 与底面成角 PBPD 0 45 所以 aADABAP 因为底面是正方形 所以四棱柱是正方体 ACPEFGABCD 连接 则为正三角形 即 AEEGAGAEG 0 60 EAG 因为 PBAE BCAE 所以 同理PDCAE面 PDCAG面 B C D A P A B C D F P E G 8 故侧面与所成的角为 PBCPDC 0 120 说明 说明 此题启示我们 将锥体补成柱体去求二面角有时会带来很大的方便 本题利用了一个这样的结论 从二 面角内一点分别向两个面引垂线 则二垂线所夹的角与所对二面角的平面角互补 例例 3 3 如右图 正方体中 为的中点 求二面角的大小 1111 DCBAABCD E 1 AABDEB 1 解解 设二面角 的大小分别为 11 BDED BDEB 1 ADEB 则 过在面内作于 连接 则 A 1 ADEDAG GBG 是二面角的平面角 设正方体棱长为 1 则 在AGB ADEB 2 1 AE 中 ADERt 1 AD 2 1 AE 所以 2 5 2 1 1 2 222 AEADDE 又因为 所以 AGEDAEAD 5 5 2 5 2 1 1 DE AEAD AG 所以 所以 5 5 5 1 AG AB AGBtg5arctgAGB 所以二面角为 同理 二面角也为 ADEB 5arctg 11 DDEB 5arctg 所以二面角的大小为 BDEB 1 52arctg 说明 说明 此题启示我们 当直接求作二面角的平面角比较困难时 可以试图转化为先求其补角的大小 例例 4 4 如右图 已知正方体 是棱 之中点 求平面与平面ABCDDCBA 1111 MN 11C B 11D CMNDB 所成二面角的大小 11BCC B 解解 设正方体棱长为 则 aaMN 2 2 aBD2 2 1 a MC 因而等腰梯形的高为MNDBaaa 4 33 4 2 2 2 所以 2 8 9 4 23 2 2 2 2 1 aaaaSMNBD 2 4 3 22 1 1 aaa a S CBMC 因为是在平面上的射影CBMC1MNBD 11BCC B A B C D C1 1 A1 1 B1 1 D1 1 E G C B A D C1 1 D1 1 B1 1A1 1 M N 9 所以 故所求二面角为 3 2 8 9 4 3 cos 2 2 1 a a S S MNBD CBMC 3 2 arccos 3 2 arccos 说明 说明 此题应用了面积射影定理 即 S S射影 cos 例例 5 5 如右图 已知 ABCMA平面 ABBC 0 60 CAB 2 MA 求二面角的大小 22 ACBMCA 解解 在平面和平面内分别作于 于 则MBCMACMCBN NMCAD D 是异面直线与的公垂线 DNADBN 设所求二面角的大小为 则由 2 AB3 BN32 MC 所以 3 62 32 222 MC ACMA AD 所以 6 22 ABMABM660sin 0 ACBC 因为 所以 ABBC MBBC 所以为等腰直角三角形 为的中点 MBC NMC 所以3 2 1 MCMN 又因为 3 2 2 MC MA MD 3 3 MDMNDN 所以由异面直线两点间的距离公式有 cos2 2222 BNADDNBNADAB cos3 2 62 2 3 1 3 3 8 2 所以 即所求二面角为 2 1 cos 0 45 0 45 说明 说明 此题应用了异面直线上两点距离公式 即 用这种方法可以回避作平面 cos2 2222 mndnmMN 角的困难 1 2002 年全国 正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面边长为 1 侧棱长为 则这个棱柱的侧面对角线 E1D2 与 BC1所成的角是 A 90 B 60 C 45 D 30 解 解 应选 B 评注 评注 本题是考查异面直线所成的角 可画一个图形不难看出侧面对角线 E1D 所在平面 EDD1E1与平面 ABB1A1平 行 即 A1B E1D 那么 A1BC1就是所求两直线成的角 算出 A1B BC1 A1C1 A1BC1 60 3 2 2001 年全国 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法 单向倾斜 双向倾斜 四向倾斜 三种盖 法屋顶面积分别为 P1 P2 P3 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 则 A C B M D N 10 A P3 P2 P1 B P3 P2 P1 C P3 P2 P1 D P3 P2 P1 应选 D 3 2000 年全国 如图 E F 分别为正方体面 ADD1A1 面 BCC1B1的中点 则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是 要求 把可能的图的序号都填上 解 解 在面 A1ADD1和面 B1BCC1上的射影是 在其余面上的射影均为 应选 4 2002 年北京 关于直角 AOB 在定平面 内的射影有如下判断 可能是 0 的角 可能是锐角 可能是直角 可能是钝角 可能是 180 的角 其中正确判断 的序号是 注 把你认为正确判断的序号都填上 解 解 应填 评注 评注 本题考查空间想象能力 这里画一图形供参考 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 AOB 90 直角 AOB 在面 AA1C1C 内的射影是 0 直角 AOB 在面 A1BC1内的射影是锐角 直角 AOB 在面 A1C1内的射影是直角 直角 AOB 在面 ABC1D1内的射影是钝角 直角 AOB 在面 DCC1D1内的射影是 180 角 5 2002 年上海 已知直线l m 平面 且l m 给出下列四个命题 1 若 则l m 2 若l m 则 3 若 则l m 4 若l m 则 其中正确命题的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解 解 1 l m l l m 2 l m l m 或 3 l m l m 或l m 或l与 m 异面 4 l m l m m 应选 B 6 1999 年全国 是两个不同的平面 m n 是平面 及 之外的两条不同直线 给出四个论断 m n n m 以其中三个论断作为条件 余下一个论断作为结论 写出你认为正确的一个命题 解 解 m n n m 1 m 或 m 与 相交 m n m n 2 m n m n 3 m n m n 4 n 或 n 与 相交 综上答案是 2 3 任选一个填在横线上 7 2002 年上海 若正四棱锥的底面边长为 2cm 体积为3 4cm3 则它的侧面 与底面所成的二面角的大小是 解 解 在四棱锥 S ABCD 中 SO 面 ABCD 取 BC 边中点 E 则 SE BC OE BC 所以 SEO 为所求二面角的平面角 11 又依题意 V S h 3 1 4 2 2 h 3 1 3 h 1 即 SO 1 OE 3 tg SEO SEO 30 3 3 应填 30 课题 空间中的角课题 空间中的角 典型例题 典型例题 例例 1 1 在正四面体 ABCD 中 E F 分别为 AD BC 的中点 求异面直线 AF CE 所成角的大小 分析 分析 求异面直线所成的角 可通过过某一点作异面直线的平行线 转化为求相交直 线所成的角 这里因为 E 为 AD 的中点 故可取 FD 的中点 G 由三角形的中位线定理 知 EG AF 从而求 AF CE 所成的角 解 解 如图 1 连 DF 取 DF 的中点 G 连 GE GC E 为 AD 的中点 EG AF GEC 即为 AF CE 所成的角 设正四面体的棱长为 a 则 CE AF DF a 2 3 EG FG a 在 Rt GFC 中 CG a 4 3 22 FCFG 4 7 在 ECG 中 由余弦定理可得 cos GEC ECGE GCECGE 2 222 3 2 GEC arccos 即异面直线 AF CE 所成的角为 arccos 3 2 3 2 例例 2 2 已知平面 平面 且 AB 直线 AC AD 分别在平面 和 内 BAC 45 BAD 60 且 CD AB 求 直线 AB 与平面 ACD 所成的角 解 解 如图 2 过 C 作 CE AB 于 E 连接 DE 平面 平面 CD AB 由三垂线定理的逆定理可知 DE AB AB 平面 CDE 过 E 作 EF CD 于 F 连接 AF AB CD CD 平面 AEF 又 CD 平面 ACD 平面 ACD 平面 AEF 过 E 作 EH AF 于 H 则 EH 平面 ACD 设 AE 1 CAE 45 CE 1 ADE 60 DE CD 2 3 EF 在 Rt AEF 中 tg EAF CD DECE 2 3 AE EF 2 3 EAF arctg 2 3 即直线 AB 与平面 ACD 所成的角为 arctg 2 3 例例 3 3 如图 3 在三棱锥 S ABC 中 SA 底面 ABC AB BC DE 垂直平分 SC 且分别交 AC SC 于 D E 又 SA AB SB BC 求以 BD 为棱 以 BDE 与 BDC 为面的二面角的大小 解 解 SB BC SE EC SC BE 又 SC DE SC 平面 BDE SC BD BD 平面 SAC 又 DE 平面 SAC DC 平面 SAC BD DE BD DC EDC 即为二面角 E BD C 的平面角 设 SA AB a 则 BC SB a AC a 23 在 Rt ASC 中 可得 EDC 60 即所求二面角为 60 例例 4 4 已知正三棱柱 ABC A1B1C1中 D 是 AC 中点 12 1 求证 AB1 平面 BDC1 2 若 AB1 BC1 求以 BC1为棱 DBC1与 CBC1为面的二面角 的度数 解 解 1 证法一 证法一 如图 4 ABC A1B1C1是正三棱柱 四边形 B1BCC1是矩形 连接 B1C 交 BC1于 O 则 B1O CO 连接 OD 在 AB1C 中 AD DC OD AB1 又 AB1平面 DBC1 OD 平面 DBC1 AB1 平面 DBC1 证法二 证法二 过 D 作 AB1的平行线交 B1C 于 O D 是 AC 中点 则 O 为 B1C 中点 又 B1BCC1为矩形 O 在 BC1上 OD 平面 DBC1 AB1平面 DBC1 AB1 平面 DBC1 2 解法一 解法一 作 DE BC 于 E 则 DE 平面 BCC1B 连接 OE 则 OE 是 OD 在平面 BCC1B1上的射影 AB1 BC1 OD BC1 OE BC1 DOE 即为所求二面角的平面角 设 AC 1 则 DC ABC 是正三角形 2 1 在 Rt DCE 中 DE DC sin ACB sin60 2 1 4 3 CE DC cos ACB 2 1 2 1 4 1 取 BC 中点 F 连接 OF OB OC OF BC 在 Rt BOE 中 OE2 EF BE BC CE EF 16 3 OE tg DOE 1 4 3 OE DE DOE 45 即二面角 45 解法二 解法二 AB1 BC1 AB1 DO OD BC1 在平面 B1BCC1上作 DE BC 于 E DOE 为所求二面角的平面角 BC1 面 ODE BC1 DE 又 BB1 DE DE 面 BCC1B1 设 AC 1 则 DC 在正 ABC 中 DE BC 2 1 DE DC sin60 BD O 是 BC1中点 DO BC1 4 3 2 3 DBC1是等腰三角形 DC1 BD 2 3 在 Rt C1CD 中 CC1 22 1 DCDC 2 2 Rt ABB1中 AB1 2 1 2 BBAB 2 6 DO AB1 sin DOE 2 1 4 6 2 2 OD DE DOE 45 即所求二面角 45 例例 5 5 已知 D E 分别是正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱 AA1和 BB1上的点 且 A1D 2B1E B1C1 求过 D E C1的平面 与棱柱的下底面 A1B1C1所成的二面角的大小 解 解 如图 5 在平面 AA1B1B 内延长 DE 和 A1B1交于点 F 则 F 是由 DEC1与面 A1B1C1的公共点 C1F 为这两个平面 的交线 故所求二面角就是 D C1F A1的平面角 13 A1D B1E 且 A1D 2B1E E B1分别为 DF 和 A1F 的中点 A1B1 B1C1 A1C1 FC1 A1C1 又面 AA1C1C 面 A1B1C1 FC1 面 A1B1C1 FC1 面 AA1C1C 而 DC1 面 AA1C1C FC1 DC1 DC1A1是二面角 D FC1 A1的平面角 由已知 A1D B1C A1C1 DC1A1 4 所求二面角的大小为 4 评述 评述 当所求二面角没有给出它的棱时 可通过公理 1 和公理 2 找出二面角的两 个面的两个公共点 从而找出它的棱 进而求出其平面角的大小即可 例例 6 6 在直角梯形 ABCD 中 AD BC A 90 AD AB 1 BC 2 将 ABD 沿 BD 折叠 与平面 BCD 成 120 的二面 角 试求折叠后 1 A 和 C 的距离 2 求 AC 与 BD 所成角的正切值 解 解 1 如图 6 作 AE BD 于 E 在平面 BCD 内作 EG BD CG BD EG CG 交于 G 则 AEG 为二面角 A BD C 的平面角 AEG 120 而 AE EG 2 2 2 在 AEG 中 由余弦定理 得 AG2 2 2 2 cos120 2 2 2 2 2 2 2 7 又 BD AE BD EG BD 平面 AEG CG BD CG 平面 AEG CG AG 在 Rt ACG 中 AC 2 故 A 和 C 的距离为 2 22 CGAG 2 1 2 7 2 由 CG BD 得 ACG 为 AC 与 BD 所成的角 在 Rt ACG 中 tg ACG CG AG 2 1 2 7 7 故 AC 与 BD 所成角的正切值为 7 练习题 练习题 1 已知长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB BC 4 CC1 2 则直线 BC1和平面 DBB1D1所成角的正弦值等于 A B C D 2 3 2 5 5 10 10 10 2 在二面角的一个面内有一条直线与另一个面成 30 的角 这条直线与棱成 45 角 则此二面角的度数为 A 45 或 135 B 45 C 135 D 60 3 已知 ABC 中 AB 2 BC 4 ABC 45 BC 在平面 内 ABC 所在平面与平面 成 30 角 则 ABC 在平面 内的射影面积是 A B 3 C 2 D 2 6 666 4 已知 四面体 S ABC 中 SC 平面 ABC AB BC CA SC 求二面角 B AS C 的大小 练习题答案 练习题答案 1 C 2 A 3 D 4 解 解 如图 7 过点 B 作 BD AC 于 D 过 D 作 DE SA 于 E 连接 BE SC 平面 ABC SC 平面 SAC 平面 SAC 平面 ABC BD 平面 SAC 由三垂线定理 有 BE SA BED 是二面角 B SA C 的平面角 14 设 SC 1 在 ABC 中 AB BC BD AC D 是 AC 中点 有 BD AC DE AC sin45 2 3 2 3 2 1 4 2 tg BED BED arctg DE BD 66 即二面角 B SA C 的平面角为 arctg 6 1 若直线 与平面成角为 直线在平面内 且与直线 异面 则直线 与直线所成的角的取值范围l 3 a lla 是 A B C D 3 2 0 3 2 3 3 2 2 2 3 2 所在平面 在直线上的射影为 若点在线段的延长线上 则满足 ABCPA PBCMMBCABC A 为钝角或为直角 B 为直角 B C A C 为钝角 D 为钝角或为钝角A B C 3 边长为的正四面体 是棱的中点 则与底面所成角的正弦值为 aBCDA MABCMBCD A B C D 2 1 2 3 3 22 3 2 4 为平行四边形 以为边将翻折 若翻折前 翻折后与平面ABCDBCAC 0 45 BACABC 分别夹 角 则 间的距离之比是 ACD 0 90 0 60BD A B C D 2 3 53 2 52 3 53 2 5 5 正三角形 点在上的射影为 已知 则平面与平面所成二ABC 平面 BCA A 0 90 CBA ABC 面角的正弦值等于 A B C D 3 6 4 13 3 19 6 30 6 为正方体 边长为 1 为的中点 为的中点 过 三点的正方 DCBAABCD MDCNBC AMN 体的截面与底面所成的二面角等于 则的值等于 DCBA sin A B C D 3 3 3 6 17 342 17 17 7 已知 是从点出发的三条射线 每两条射线的夹角均为 则直线与平面所成PAPBPCP 0 60PCPAB 角的余弦值是 15 A B C D 2 1 2 2 2 3 3 3 8 已知 分别是平面的垂线和斜线 在平面内过引一条直线 若与平面成角 AOABPPBBCABP 与成角 与成角 且知 则角应为 BCOB BCAB 0 30 4 3 cos A B C D 以上均不对 0 30 0 45 0 60 9 为正方体 边长为 1 是的中点 过 三点的正方体的面与底面 DCBAABCD M AACM B 所成的二面角为 则的值等于 DCBA tan A B C D 5 2 5 10 2 10 10 设 直角在平面内 将平面绕直线旋转 在旋转过程中如果与不垂直 平面平面 MPN MP 则在平面内的射影为 MPN A 锐角与直角 B 钝角与直角 C 锐角 钝角 直角都可能 D 恒为直角 答案答案 D D D C A C D A B D 空间角的计算空间角的计算 空间的角是反映空间几何元素方向差异的一个几何量 空间的角主要有 异面直线所成的角 直线与平面 所成的角以及二面角 1 1 要明确理解各种角的概念 定义和它的取值范围 要明确理解各种角的概念 定义和它的取值范围 异面直线所成角 的取值范围是 0 90 直线与平面所成角 的取值范围是 0 90 二面角的大小 可以由它的平面角来度量 通常认为二面角的平面角 的取值范围是 0 180 2 2 空间各种角都是转化为平面的角来计算 空间各种角都是转化为平面的角来计算 两条异面直线所成的角 一般依据定义 选择恰当的位置将其中一条 或两条 直线进行平移至相交 要特别注意交点位置的选择 转化为平面的角来计算 其中涉及到两条异面直线垂直的问题常常利用三垂线 定理或逆定理 直线与平面所成角的计算的关键在于找到直线在该平面上的射影 一般先找斜足 再找斜线上非斜足的 一点 P 在该平面上的射影 P 连 OP 从而转化为平面的角来计算 二面角的平面角的找法可以根据定义 在棱上找点 关键 然后再过该点分别在二面角的两面内作棱的 垂线 也经常利用三垂线定理及逆定理或作棱的垂面去寻找平面角 例例 1 1 如图所示 在空间四边形 ABCD 中 点 E F 分别是 BC AD 上的点 已知 AB 4 CD 20 EF 7 求异面直线 AB 与 CD