高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1课件新人教A版选修2_3.ppt

1 3二项式定理1 3 1二项式定理 主题二项式定理1 我们在初中学习了 a b 2 a2 2ab b2 试用多项式乘法推导 a b 3 a b 4的展开式 提示 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 a b 4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 2 你能分析 a b 4展开式各项前的系数吗 提示 a b 4 a b a b a b a b 3 推广到一般 你能写出 a b n的展开式中各项的系数吗 用符号语言表述 各项系数依次为 结论 1 二项式定理 a b n 2 几个基本概念 1 二项展开式 指的是右边的多项式 2 项数 二项展开式中共有 项 3 二项式系数 指的是在二项展开式中各项的系数 k 0 1 2 n n 1 4 通项 指的是二项展开式中的 用Tk 1表示 即通项为展开式的第k 1项 Tk 1 微思考 1 根据二项式定理考查 a b n与 b a n的展开式相同吗 提示 a b n b a n 由于 故 a b n展开式中的第k 1项an kbk与 b a n展开式中的第n k 1项bkan k相等 故 a b n与 b a n的展开式相同 2 二项式系数与对应项的系数有什么区别 提示 二项式系数与对应项的系数是完全不同的两个概念 前者特指 与a b的值无关 而后者不仅与有关 还与a b的值有关 3 在二项式定理中如果设a 1 b x可得到什么 提示 在二项式定理中 如果设a 1 b x 则得到公式 1 x n 预习自测 1 2x y 9展开式中共有 A 10项B 9项C 8项D 18项 解析 选A 因为n 9 故展开式中共有10项 2 a b 9展开式中第2项为 A 9a8bB 36a7b2C 9a8bD 36a7b2 解析 选C 第二项为a8 b 1 9a8b 3 2x 1 9的展开式中的第3项是 解析 选D T3 4 x 1 9展开式中x3的系数是 解析 Tk 1 x9 k 1 k 令9 k 3 所以k 6 所以x3的系数是 1 6 84 答案 84 5 的展开式中x6y4项的系数是 解析 在Tr 1 中 令r 4 即得的展开式中x6y4项的系数为 840 答案 840 类型一二项式定理的正用 逆用 典例1 1 求 a 2b 4的展开式 2 求的展开式 3 化简 x 1 5 5 x 1 4 10 x 1 3 10 x 1 2 5 x 1 解题指南 1 2 利用 a b n的二项展开式展开即可 3 由所给式子的特点逆用二项式定理 解析 方法总结 二项式定理正用 逆用的技巧 1 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理直接展开 对于形式较复杂的二项式 在展开之前可以根据二项式的结构特点 进行必要的变形 然后再展开 以使运算得到简化 记准 记熟二项式 a b n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提 2 逆用二项式定理 要注意分析其结构特点 a的指数是从高到低 b的指数是从低到高 且a b的指数和等于二项式的次数n 正负相间是 a b n的形式 指数不满足时可通过乘 或除 某项来调整 缺项时通常需添加项来凑结构形式 巩固训练 1 1 的展开式为 2 设P 1 5 x 1 10 x 1 2 10 x 1 3 5 x 1 4 x 1 5 则P 解题指南 1 直接利用二项式定理将其展开 也可将其变为 x 1 4展开 2 由所给式子形式特点考虑逆用二项式定理 解析 1 方法一 方法二 答案 2 P 1 x 1 5 x 2 5 答案 x 2 5 2 设n为正整数 化简 解析 补偿训练 1 求的展开式 2 求的展开式 类型二求二项展开式中特定的项 典例2 1 2016 四川高考 设i为虚数单位 则 x i 6的展开式中含x4的项为 A 15x4B 15x4C 20ix4D 20ix4 2 2015 重庆高考 的展开式中x8的系数是 用数字作答 解题指南 1 利用二项式定理展开 复数的运算 2 写出通项化简后 令x的次数为8求解 解析 1 选A 二项式 x i 6展开的通项Tr 1 x6 rir 则其展开式中含x4的项是当6 r 4 即r 2 则展开式中含x4的项为x4i2 15x4 令15 8 得r 2 故第3项为x8项 所以T3 答案 延伸探究 1 题 2 中条件 改为 求展开式中的常数项 解析 令10 0 所以r 4 所以展开式中的常数项为 2 题 2 条件不变 求展开式中二项式系数最大的项 解析 因为n 5 故展开式中共有6项且第三项 第四项二项式系数相等且最大 所以T3 规律总结 求二项展开式的特定项的方法及三种常见类型 1 方法 求二项展开式的特定项问题实质是考查通项Tk 1 an kbk的特点 一般需要建立方程求k 再将k的值代回求解 注意k的取值范围 k 0 1 n 2 三种常见类型 常数项 即这项中不含 变元 令通项中 变元 的幂指数为零建立方程 有理项 令通项中 变元 的幂指数为整数建立方程 第m项 此时k 1 m 直接代入通项 类型三二项式定理的简单应用 典例3 1 今天是星期一 过2100后是星期 2 求证 32n 2 8n 9能被64整除 解题指南 1 将2100变形为2 7 1 33 利用二项式定理展开式求解 2 将32n 2变形为 1 8 n 1然后利用二项式定理展开进行证明 解析 1 2100 23 33 1 833 2 2 7 1 33即2100 7余2 所以过2100后是星期三 答案 三 2 因为32n 2 8n 9 9n 1 8n 9 1 8 n 1 8n 9又是整数 所以32n 2 8n 9能被64整除 方法总结 整除性或求余数问题的处理方法 1 构造一个与题目条件有关的二项式 2 把被除数的底数写成除数 或与除数密切关联的数 与某数的和或差的形式 3 利用二项式定理展开 只需研究后面 或前面 一 两项就可以 4 注意余数的范围 若a cr b 其中b为余数 b 0 r r是除数 5 利用二项式定理展开 变形后 若剩余部分是负数 要注意转化为正数 巩固训练 1 用二项式定理证明 34n 2 52n 1能被14整除 解析 34n 2 52n 1 92n 1 52n 1 9 5 5 2n 1 52n 1 14 5 2n 1 52n 1 142n 1 142n 5 142n 1 52 14 52n 52n 1 52n 1 14 142n 142n 1 5 142n 2 52 52n 上式是14的倍数 能被14整除 所以34n 2 52n 1能被14整除 2 求9192除以100的余数 解析 9192 100 9 92 10092 10091 9 10090 92 100 991 992 前面各项均能被100整除 只有末项992不能被100整除 于是求992除以100的余数 因为992 10 1 92 1092 1091 1090 102 10 1 92 1092 1091 1090 102 920 1 1092 1091 1090 102 1000 81 所以被100除的余数为81 即9192除以100的余数为81 补偿训练 如果今天是星期一 那么对于任意自然数n 经过23n 3 7n 5天后的那一天是星期几 解析 由于23n 3 7n 5 8n 1 7n 5 7 1 n 1 7n 5由此23n 3 7n