高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.2共面向量定理学案苏教版选修2_1.doc

31.2共面向量定理 学习目标1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件知识点一共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量知识点二共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得pxayb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示知识点三空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x、y、z使得xyz，且x、y、z满足xyz1，则A、B、C、D共面思考1空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？答案一定共面，反之不成立2空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系？答案空间共面向量定理中，当向量a，b是平面向量时，即为平面向量基本定理题型一应用共面向量定理证明点共面例1已知A、B、C三点不共线，平面ABC外的一点M满足.(1)判断、三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解(1)3，()().又与不共线向量、共面(2)向量、共面且具有公共起点M，M、A、B、C共面即点M在平面ABC内反思与感悟利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面跟踪训练1已知两个非零向量e1、e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求证：A、B、C、D共面证明5e15e25，()，又与不共线、共面，又它们有一个公共起点A.A、B、C、D四点共面题型二应用共面向量定理证明线面平行例2 如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1平面C1BD.证明记a，b，c，则ac，ab，bc，所以ac，又与1不共线，所以，共面又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1平面C1BD.反思与感悟在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化要熟悉其证明过程和证明步骤跟踪训练2如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，设a，b，c，在面对角线AC1上和棱BC上分别取点M、N，使k，k (0k1)求证：MN平面ABB1A1.证明kk()kbkc，又akak(ba)(1k)akb，(1k)akbkbkc(1k)akc.又a与c不共线与向量a，c是共面向量又MN不在平面ABB1A1内，MN平面ABB1A1.题型三向量共线、共面的综合应用例3如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连结PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心试用向量方法证明E，F，G，H四点共面解分别连结PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连结MN，NQ，QR，RM.E，F，G，H分别是所在三角形的重心，M，N，Q，R是所在边的中点，且，.由题意知四边形MNQR是平行四边形，()()()()()又.，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面反思与感悟利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系跟踪训练3已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图所示)，并且k，k，k，m，m.求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；(2)；(3)k.证明(1)由m，m知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面(2)mm()k()km()kkmk(m)k，.(3)由(2)知kkk()k，k.1设a，b是两个不共线的向量，R，若ab0，则_，_.答案00解析a，b是两个不共线的向量，a0，b0，0.2给出下列几个命题：向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若ab，则存在惟一的实数，使ab.其中真命题的个数为_答案1解析假命题三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题这是关于零向量的方向的规定；假命题当b0时，则有无数多个使之成立3.如图，在空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则_.(用a、b、c表示)答案abc解析a(ba)(cb)abc.4下列命题中，正确命题的个数为_若ab，则a与b方向相同或相反；若，则A，B，C，D四点共线；若a，b不共线，则空间任一向量pab(，R)答案0解析当a，b中有零向量时，不正确；时，A，B，C，D四点共面不一定共线，故不正确；由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足pab(，R)，故不正确5空间的任意三个向量a，b,3a2b，它们一定是_答案共面向量解析如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a2b共面；若a，b共线，则a，b,3a2b共线，当然也共面共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面(2)空间中四点共面的条件空间点P