第8章 第2节 两条直线的位置关系

第二节两条直线的位置关系考纲传真1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|d点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间的距离d1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(5)若点P，Q分别是两条平行线l1，l2上的任意一点，则P，Q两点的最小距离就是两条平行线的距离()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A.B2C.1D.1C由题意得1，即|a1|，又a0，a1.3直线l：(a2)x(a1)y60，则直线l恒过定点_(2，2)直线l的方程变形为a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直线l恒过定点(2，2)4已知直线l1：ax(3a)y10，l2：x2y0.若l1l2，则实数a的值为_2由2，得a2.5已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_2，m8，直线6xmy140可化为3x4y70，两平行线之间的距离d2.两条直线的平行与垂直(1)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(2017青岛模拟)过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为()A2xy10B2xy50Cx2y50Dx2y70(1)A(2)A(1)当a1时，显然l1l2，若l1l2，则a(a1)210，所以a1或a2.所以a1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件(2)直线x2y30的斜率为，从而所求直线的斜率为2.又直线过点(1,3)，所以所求直线的方程为y32(x1)，即2xy10.规律方法1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件2在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论另外当A2B2C20时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便变式训练1已知过点A(2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10B2 C0D8Al1l2，kAB2，解得m8.又l2l3，(2)1，解得n2，mn10.两直线的交点与距离问题(1)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_(2)过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2xy20和l2：xy30所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程. 【导学号：31222289】(1)x3y50或x1法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意法二：当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1,4)，直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.(2)设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，则直线l与l2的交点B(6x0，y0)，2分由题意知解得6分即A，从而直线l的斜率k8，10分直线l的方程为y8(x3)，即8xy240.12分规律方法1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数2利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等变式训练2若直线l过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点，且|AB|5，求直线l的方程解过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1.解方程组求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|5，即直线l的方程为x1.4分设过点A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，解方程组得x且y(k2，否则l与l1平行)则B点坐标为.8分又A(1，1)，且|AB|5，所以2252，解得k.10分因此y1(x1)，即3x4y10.综上可知，所求直线的方程为x1或3x4y10.12分对称问题(1)平面直角坐标系中直线y2x1关于点(1,1)对称的直线方程是_(2)光线从A(4，2)点射出，到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，则BC所在的直线方程是_(1)y2x3(2)10x3y80(1)法一：在直线l上任取一点P(x，y)，其关于点(1,1)的对称点P(2x,2y)必在直线y2x1上，2y2(2x)1，即2xy30.因此，直线l的方程为y2x3.法二：由题意，l与直线y2x1平行，设l的方程为2xyc0(c1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等，解得c3.因此所求直线l的方程为y2x3.法三：在直线y2x1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点M(2,1)，B关于点(1,1)对称的点N(1，1)由两点式求出对称直线MN的方程为，即y2x3.(2)作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为，即10x3y80.迁移探究1在题(1)中“将结论”改为“求点A(1,1)关于直线y2x1的对称点”，则结果如何？解设点A(1,1)关于直线y2x1的对称点为A(a，b)，2分则AA的中点为，4分所以解得10分故点A(1,1)关于直线y2x1的对称点为.12分迁移探究2在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线xy0对称”，则结果如何？解在直线y2x1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于直线xy0的对称点为M(1,0)，点B关于直线xy0的对称点为N(3,1)，6分根据两点式，得所求直线的方程为，即x2y10.12分规律方法1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称2解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上变式训练3(2017广州模拟)直线x2y10关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y10B2xy10C2xy30Dx2y30B由题意得直线x2y10与直线xy20的交点坐标为(1,1)在直线x2y10上取点A(1,0)，设A点关于直线xy20的对称点为B(m，n)，则解得故所求直线的方程为，即2xy10.思想与方法1两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意2对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称，利用坐标转移法易错与防范1判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑2(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等课时分层训练(四十六)两条直线的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1已知点A(1，2)，B(m,2)且线段AB的垂直平分线的方程是x2y20，则实数m的值是()A2B7C3D1C因为线段AB的中点在直线x2y20上，代入解得m3.2(2016北京高考)圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为()A1B2 C.D2C圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线yx3即xy30的距离为.3若直线(a1)x2y0与直线xay1互相垂直，则实数a的值等于()A1B0 C1D2C由1，得a12a，故a1.4直线mxy2m10经过一定点，则该定点的坐标是()A(2,1)B(2,1)C(1，2)D(1,2)Amxy2m10，即m(x2)y10.令得故定点坐标为(2,1)5若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点() 【导学号：31222290】A(0,4)B(0,2)C(2,4)D(4，2)B直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)二、填空题6(2017深圳模拟)直线l1的斜率为2，l1l2，直线l2过点(1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为_ 【导学号：31222291】(0,3)因为l1l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率k2.又直线l2过点(1,1)，所以l2的方程为y12(x1)，整理得y2x3.令x0，得y3，所以P点坐标为(0,3)7已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_xy10或xy30设直线l1的方程为xyC0(C1)，由题意知，即|C1|2，解得C1或C3，因此直线l1的方程为xy10或xy30.三、解答题9求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程 【导学号：31222292】解由方程组得l1，l2的交点坐标为(1,2).5分l3的斜率为，l的斜率为，8分则直线l的方程为y2(x1)，即5x3y10.12分10已知直线l：(2ab)x(ab)yab0及点P(3,4)(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程解(1)证明：直线l的方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，由得2分直线l恒过定点(2,3).5分(2)设直线l恒过定点A(2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大.7分又直线PA的斜率kPA，直线l的斜率kl5.10分故直线l的方程为y35(x2)，即5xy70.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2015广东高考)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy0或2xy0B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy50或2xy50D切线平行于直线2xy10.设切线方程为2xyc0.依题意，得，则c5.2(2017洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：