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第四章随机变量及其分布 鄂州职业大学wuxiaoting 2020 3 21 1 离散型随机变量 取值可以逐个列出 数学期望 方差 0 1分布 x 0或1 二项分布 期望 np 方差 npq 泊松分布 期望 方差 鄂州职业大学wuxiaoting 2020 3 21 2 鄂州职业大学wuxiaoting 2020 3 21 3 2020 3 21 4 4 1随机变量对于有些随机实验而言 其样本空间是用数值来刻画的 例如掷骰子的实验 样本空间为 1 2 3 4 5 6 而另有一些随机实验的样本空间不是用数值而是用属性来刻画的 例如抛硬币的实验 样本空间为 出现正面 出现反面 对于后一类实验 我们也可将其样本空间数量化 例如在抛硬币的实验中 将 出现正面 这一样本点记为 1 将 出现反面 这一样本点记为 0 又如在产品抽检的试验中 将 抽的正品 这一样本点记为 1 将 抽的次品 这一样本点记为 0 因此 对于任意随机实验 都可用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果 基于此 我们可以给出随机变量的定义 设一个随机实验的样本空间为 若对 中的任一样本点w 都有唯一实数X w 与之对应 则称X w 为一随机变量 取值带有随机性 但取值具有概率规律的变量称为随机变量 2020 3 21 5 例如4 1 抛一枚均匀硬币 试验的样本空间中有两个样本点 分别为 出现正面 和 出现反面 可定义随机变量如下 例4 2 从一批产品中随机抽取一个 该实验的样本空间中有两个样本点 抽到合格品 和 抽到次品 于是可定义随机变量 按取值类型的不同 随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量两种 2020 3 21 6 思考 假设某商品在市场上的价格X 单位 元 为一随机变量 其概率分布为 你认为这种商品的平均市场价格应如何度量比较合理 若某消费者某一天打算购买该商品 则他的预期花费会是多少 设离散型随机变量X具有分布律P X x P 1 2 则它的数学期望或均值定义为根据数学期望的定义 可知前述思考题中商品的平均价格的合理度量应为该数值也即为任一消费者购买该商品时的预期消费 2020 3 21 7 随机变量的方差用以度量随机变量的离散程度 设离散型随机变量X的分布律为P X xi Pi i 1 2 且数学期望为D X E X E X 2 4 3 随机变量的方差有时也记为 2 方差的算术平方根或 称为标准差 我们称上述方差定义式中的X E X 为随机变量X与它的期望的离差 因此 方差就是离差平方的数学期望和均值 由此可知 方差D X 小则说明随机变量X的分布比较集中 D X 大则说明X的分布比较分散 当随机变量X代表某项指标时 房差则是对该指标稳定程度的一个度量 4 2 2 2离散型随机变量的方差 2020 3 21 8 另外 对上述定义做简单变形 可以得到离散型随机变量方差的另一个常用计算公式 即 4 4 4 2 3常用的离散型随机变量的概率分布4 2 3 1两点分布设随机变量X只可能取0和1两个值 且其分布律为P X K PK 1 P 1 K K 0 1 2020 3 21 9 若X服从两点分布B 1 P 则其数学期望和方差分别为E X P D X P 1 P 4 2 3 2二项分布在给出二项分布的定义之前 先来认识伯努利实验 若一个随机实验只有两个可能的结果A或 且有P A P P 1 P则该实验称为伯努利实验 若将上述实验独立地进行n次 则称这一系列重复的独立试验为一个n重伯努利实验 在实际应用中 n重伯努利实验非常普遍 例如 从一大批产品中独立地抽n件产品 检验它们是否合格 其中P为一个固定常数 且满足0 P 1 则称X服从参数为P的两点分布或 0 1 分布 记为X B 1 P 2020 3 21 10 若令X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数 则X的所有可能的取值为0 1 2 n 且X取值为k的概率为 4 6 若记1 p q 则上式中CPK 1 p n k CPKpn q恰好为二项式 p q n的展开式中包含pkqn k的项 因此称随机变量X服从参数为n和p的二项分布 记为X B n p 易知 当n 1时 二项分布退化为两点分布 若X服从二项分布B n p 则其数学期望和方差分别为E X np D X np 1 p 从民众中独立抽取n人 调查其是否同意某一观点 2020 3 21 11 这20件产品中恰有0件 10件 15件 20件合格品的概率分别为多少 20件产品中的合格品的平均件数和方差分别为多少 解 我们把抽取一件产品作为一次实验 由于是有放回抽样 所以这20次实验是相互独立的 从而知这是一个20重伯努利实验 令X代表这20件产品中合格品的数目 则有X B 20 0 8 且其分布律为P X k c0 8k 1 0 8 n k k 0 1 2 20 现把k 0 10 15 20分别带入到上式中 则可得20件产品中恰有0件 10件 15件 20件合格品的概率分别为 P X 0 C0 80 1 0 8 20 01 05X10 14 P X 10 C0 810 1 0 8 20 100 002 P X 15 C0 815 1 0 8 20 150 175 P X 20 C0 820 1 0 8 20 200 012 20件产品中合格品的平均件数和方差分别为E X np 20 x0 8 16 D X np 1 p 20 x0 8x0 2 3 2 例4 3 已知一批产品的合格率为80 现从这批产品中有放回地随机抽查20件 则 2020 3 21 12 4 2 3 3泊松分布若随机变量X的分布律为 4 7 则称X服从参数为 的泊松分布 记为X P 泊松分布常用于描述指定时间内某一事件发生次数的分布 例如 某医院一天内急诊病人数的分布 某段时间内电话总机接到的用户呼叫次数的分布 上午7点至9点通过某交通路口的车辆数的分布 若X服从泊松分布p 则其数学期望和方差分别为E X D X 2020 3 21 13 先来看下面的例子 顾客到商店购买10kg大米 由于存在称重误差 售货员为顾客称出大米的实际重量并非严格等于10kg 而是一个随机变量 某食盐包装车间包装标准重量为500g的食盐 但包装机包装出来的每袋食盐的重量并不精确等于500g而是一个随机变量 某地区明天的降水量并非确定的值 应为一个随机变量 可以看出 上述几个问题中的随机变量的取值均不能像离散型随机变量的取值一样可以被一一列举出来 而且对于此类问题 人们往往较少关心随机变量确切等于某个值的概率 而 4 3连续型随机变量4 3 1连续型随机变量及其概率密度函数4 3 1 1连续型随机变量 2020 3 21 14 更多关心的是随机变量落在某个范围内的概率 比如 在上面的三个例子中 人们通常会关心 售货员为顾客称出的大米的重量X落在10 ckg和10 ckg 食盐包装机所包装的食盐重量X满足500 cX500 c的概率 其中c为某个确定的较小的值 如0 05 0 01等 地区明天的降水量X 大于某个数值a的概率P X a 不大于某个数值b的概率P X b 介于两个数值c和d之间的概率P c X d 这里的a b c d均为某个确定的数值 类似于上述问题中的随机变量就是连续型随机变量 连续型随机变量和离散型随机变量的一个显著区别在于 它的取值无法被一一列出 2020 3 21 15 对于连续型随机变量X 设x为任一实数 则称F x P X x 4 8 为随机变量X的分布函数由上述定义可知 分布函数F x 在x处的取值 就是随机变量X的取值落在区间 x 的概率 由此亦可推知 对于确定的常数x 随机变量X的取值落在区间 x 的概率应为P X x 1 p X x 1 F x 对于两个确定的常数x1和x2 x1 x2 随机变量X的取值落在区间 x1 x2 的概率应为P x1 X x2 P X x2 P X x1 F x2 F x1 4 3 1 2连续型随机变量的分布函数 2020 3 21 16 若连续型随机变量X的分布函数为F x 则存在一个非负函数f x 使得对于任意实数x 有F x 4 9 称此f x 为随机变量X的概率密度函数 简称密度函数 随机变量X的概率密度函数具有如下基本性质 非负性 对于任意实数x f x 0 规范性 由定义还可以看出 分布函数是密度函数的 累积和 图4 1呈现了分布函数与密度函数的关系 对于任意实数x1和x2 x1 x2 随机变量X的取值落在区间 x1 x2 的概率P x1 X x2 是密度函数曲线与x轴上x1 X x2 段围成的面积 即图4 2中所示的阴影部分 连续型随机变量取某一特定值的概率为0 4 3 1 3连续型随机变量的密度函数 2020 3 21 17 4 3 2连续型随机变量的数学期望和方差4 3 2 1连续型随机变量的数学期望 由于连续型随机变量X的可能取值无法一一列举 因此它的数学期望的概念与离散型随机变量的数学期望的概念是不同的 设X是一个连续型随机变量 其概率密度函数为f x 则X的数学期望定义为 4 10 随机变量X的数学期望简称期望 记为E X 或 2020 3 21 18 4 3 2 2连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差用以度量连续型随机变量的离散程度 设X是一个连续型的随机变量 其概率密度函数为f x 数学期望E X 则X的方差定义为E X E X 2 4 11 记为D X 或 方差的算术平方根称为标准差 记为或 类似于离散型随机变量 连续型随机变量的方差的另一种表达式为D X E X2 E X 2 4 12 4 3 2 3连续型随机变量的期望和方差的性质设X是一个连续型随机变量 其期望和方差分别为 x和2x 设a和b为两个常数 则X的期望和方差具有如下性质 E a bX a bE X a b x D a bX b2D x b2 随机变量的均值和方差分别为0和1 连续型随机变量的数学期望也是用以度量随机变量的平均值的 因此它又叫做连续性随机变量的均值 简称均值 2020 3 21 19 若随机变量X的概率密度函数为 P x 4 13 则称X服从区间 a b 上的均匀分布 记为X U a b 若X U a b 则其数学期望和方差分别为 E X D X 4 3 3 2指数分布若随机变量X的概率密度函数为 P x 4 14 则称X服从参数为的指数分布 记为X E 若X E 则其数学期望和方差分别为 E X D X 4 3 3常用的连续型随机变量的概率分布4 3 3 1均匀分布 2020 3 21 20 x 4 15 其中 和为常数 且分别满足 x 和 0 则称X服从参数为 和的正态分布 记为X N 若X服从正态分布 且参数 和分别为0和1 则称X服从标准正态分布 记为X N 0 1 标准正态分布的密度函数和分布函数分别为 x 4 16 和 x 4 17 若X N 则其数学期望和方差分别为 E x D X 因此 我们也将X N 称为随机变量X服从均值为 方差为的正态分布 而标准正态分布即为均值为0 方差为1的正态分布 由图4 3 a 和图 b 可以看出的密度函数 x 具有如下几个重要特点 涵数 x 的图像是对称 单峰的钟形曲线 它关于x 对称 且当x 时达到最大值 最大值为1 固定 让 变动 曲线会沿着x轴平行移动 即曲线位置发生了水平方向上的改变 而形状并未改变 固定 让变动 若增大 则曲线的峰值降低 曲线变得 扁平 反之 若减小 则曲线的峰值增大 曲线变得 陡峭 4 3 3 3正态分布若随机变量X的概率密度函数为 2020 3 21 21 下面来看一般正态分布和标准正态分布之间的关系 不难验证 若X N 则有Z X N 0 1 即任意一个服从正态分布的随机变量经过变换后都可化为一个服从标准正态分布的随机变量 而标准正态分布具有如下性质 相关描述见图4 4 2020 3 21 22 密度函数 0 x 关于原点对称 既有 0 x 0 x 分布函数 0 x 满足 0 x 1 0 x 标准正态分布的上述优良性质 可以为我们在分析或计算中提供许多方便 2020 3 21 23 P Z 1 25 P 1 25 Z 2 32 P Z 2 32 解 P Z 1 25 1 25 0 8944 P 1 25 Z 2 32 2 32 1 25 0 9898 0 8944 0 0954 P Z 2 32 1 2 32 1 0 9898 0 0102 例4 5 若随机变量X N 3 0 04 求 P X 2 48 P 2 48 X 3 36 P X 3 36 解 令Z X 3 0 2 则Z N 0 1 于是 P X 2 48 P P 2 48 X 3 36 P P X 3 36 P 例4 4 若随机变量Z N 0 1 求 2020 3 21 24 4 4决策准则与决策树 先来看一下例子 例4 6 新动力公司发明了一种新产品 并持有专利权 该公司对该产品今后五年的回报进行了研究 认为如果该产品未来销售状况较好的话 那么五年的利润将为80万元 如果销售状况一般 五年的利润将为20万元 而如果销售状况较差 则五年中将会亏损10万元 另有一家公司愿意购买该产品的专利权 并会根据产品的销售状况向该公司支付报酬 若卖出专利 该公司估计 在销售状况良好 一般和较差的情况下 它的收益将分别为40万元 10万元和5万元 该公司在各种情况下的收益可用表格更直观地表示 如表4 1所示 表4 1该公司在各种情况下的收益 单位 万元 2020 3 21 25 现在新动力公司面临的问题是 它应该选择两个方案中的那一个 由上述实例不难看出 在商业管理和金融管理实践中 许多决策都必须在未来事物不确定的状态下做出来 为了使所做决策更加科学合理 人们提出了各种各样的决策准则 下面我们就结合上述例子 介绍几种较常见也是较简单易行的决策准则 2020 3 21 26 4 4 1决策准则4 4 1 1极大极小原则 极大极小原则的基本想法是 无论做出什么决策 都必须准备接受最坏的结果 即将各种方案的最坏结果 如最小收益 进行比较 然后选出最坏结果最好 如最小收益最大 的那个方案 根据极大极小原则 上述例子中 新动力公司面临的了两个方案中 方案一的最坏结果是出现销售状况较差并获得最小收益 10万元 方案二的最坏结果是出现销售状况较差并获得最小收益5万元 易知两个最小收益中的最大收益为第二方案中的5万元 故应选择第二方案 即卖出专利 2020 3 21 27 可以看出 极大极小原则反映了决策者在决策过程的保守或悲观态度 这一原则的优点在于可以降低决策风险 但如果人们一昧关心最坏的可能 就会陷于不求进取 不敢冒险的境地 从而丧失获取更大效益的机会 在实践中 如果决策者还对不确定因素 如例4 6中的销售状况 的各种情况发生的可能性大小有一定的估计 则可为决策者提供更多的有用信息 下面介绍两种将各种状况发生的发生概率这一信息也包含进来的决策准则 最大期望收益原则和最小期望机会损失原则 2020 3 21 28 最大期望收益原则就是选择收益最大的方案 仍然以新动力公司的决策问题为例 假设通过调查分析 新动力公司认为该产品在未来五年的销售中 销售状况良好 一般和较差的概率分别为0 2 0 5和0 3 则根据表4 1中的数据 可计算得出方案一的期望收益E I1 和方案二的期望收益E I2 分别为E I1 80X0 2 20X0 5 10 X0 3 23 万元 和E I2 40X0 2 10X0 5 5X0 3 14 5 万元 由于E I1 E I2 则根据最大期望收益原则 应选择方案一 即新动力公司应该选择自己生产 而不是卖掉专利 4 4 1 2最大期望收益原则 2020 3 21 29 机会损失是指由于没有选择正确方案而带来的损失 最小期望机会损失原则就是选择期望机会最小的方案 机会损失需要在每一个可能发生的状况或事件 如销售情况良好 下进行计算 给定一个状况或事件 我们就能确定哪个方案是最好的 这时一个方案在某一状况下的机会损失等于该状况下各方案的最好收益与该方案的收益之差 在新动力公司的决策案例中 如果销售状况良好 则方案一是最优方案 从而可的此状况下方案一的机会损失为80万元 80万元 0万元 而方案二的机会为80万元 40万元 40万元 表4 2给出了新动力公司的收益和机会损失情况 4 4 1 3最小期望机会损失原则 2020 3 21 30 表4 2新动力公司的收益和机会损失 单位 万元 假设新动力公司认为该产品在未来五年的销售中 销售状况良好 一般和较差的概率仍分别为0 2 0 5和0 3 则可计算得出方案一的期望机会损失E I1 和方案二的期望机会损失E I2 分别为E I1 0X0 2 0X0 5 15X0 3 4 5 万元 和E I2 40X0 2 10X0 5 0X0 3 13 万元 由于E I1 E I2 则根据最小期望机会损失原则 应选择方案一 即新动力公司应该选择自己生产 而不是卖掉专利 2020 3 21 31 仍然以新动力公司的决策问题为例 为了使该决策问题更加直观明了 可以将其用如下树状图表示出来 4 4 2决策树 2020 3 21 32 在图4 5中 小方块节点表示在该处需要做出决策 既要从此节点下的各分支方案中选定某一方案 而小圆点节点表示各种状况可能发生的地方 在决策问题中用以描述决策结构的这种树状图称为决策树 2020 3 21 33 要基于决策树做出决策 我们需要首先选用某一决策准侧 比如 如果选用最大期望收益原则进行决策 则需要在圆点节点处计算期望收益 计算结果如图4 6所示 2020 3 21 34 比较两个方案的期望收益 得出新动力公司应选择方案一 即自己进行生产经营 不难看出 决策树能够将决策问题的决策过程以图解的形势表示出来 因此可以使问题更加简洁直观 2020 3 21 35 例4 7 成康制药公司拥有某种新药的专利权 它可以卖掉专利 从而获得5万元钱 也可以保留专利并做有效性试验 以确定该药品是否真正有效 预计进行药物有效性试验的费用为1万元 且估计实验发现药物有效和无效的概率分别为0 6和0 4 如果实验发现药物无效 则药物不会投入生产 如果实验发现药物有效 公司仍有两种选择 一种选择是卖掉专利和实验结果 从而获得 去掉试验费用之后 11万元 第二种选择则是自己生产和销售该药物 公司估计 如果自己生产销售的话 销售收入 去掉试验费用之后 在促销活动成功的情况下为17万元 而在促销效果一般的情况下 销售收入为8万元 且两种促销结果出现可能性相同 请问 按最大期望收益原则 该公司应如何决策 解 我们将本题中各种可能的选择和状况以及决策的过程全部用图4 7所示的决策树表示出来 2020 3 21 36 由决策树可以看出 按最大期望收益原则 该制药公司应选择保留专利 并进行药物有效性试验 若发现药物有效 则选择自己生产销售 2020 3 21 37 在实际决策过程中 人们常常需要事先做两方面的估计 这两方面分别为 各种情况下的收益 各种情况出现的可能性大小 最终决策正是在对上述两方面的不确定因素做出估计的基础上得出来的 而不同的估计往往会在一定程度上影响最终决策的结果 下面从两方面举例说明 首先举例说明对各种情况下的收益的估计会影响决策结果 在成康制药公司的决策案例中 若公司估计促销成功时可以获利12万元 而不是例4 7中的17万元 且估计促销一般时获利仍是8万元 则此时自己生产销售时的期望收益为12X0 5 8X0 5 10 万元 4 4 3敏感性分析 2020 3 21 38 该期望收益小于卖掉专利和实验结果的收益11万元 因此 最大期望收益原则 成康制药公司应选择卖掉专利和实验结果 而不是选择自己生产销售 其次举例说明对各种情况出现的可能性大小的估计会影响决策结果 在成康制药公司的决策案例中 如果公司对促销没有信心 认为促销效果一般的概率高达0