2011年浙江高考数学答案(理科).doc

2007 年北京市数学高考试题分析年北京市数学高考试题分析 2007 6 24 一 试题总体印象 2007 年夏季的高考数学试题很好地遵循了 2007 年北京市高考数学科考试说明 的指 导思想 有助于高等学校选拔新生 有助于中学实施素质教育 有助于培养学生的创新精 神与实践能力 今年的试题与 2006 年试题对比总体保持稳定 在稳定的前提下 适度呈现新 颖的格局 稳定 体现在坚持重点内容重点考查 坚持考查基础知识 基本技能和基本方法 新颖的格局 体现在重点内容常考常新 体现在与新课程标准的衔接 试题呈现方式不拘 一格 能够有效区分考生的适应能力 试题注重深化能力立意 积极稳妥地推进改革创新 并兼顾了数学知识 方法 思维 应用和数学能力的考查 坚持 平稳过渡 稳中求新 体现了命题组尊重学生的个性 关注学生的整体发展 强化素质教育正确导向的命题思想 使试题具有较高的区分度和适当的难度 概括起来 今年试题的特色为 立足基础 重点 突出 立意新颖 甄别能力 二 试题主要特点二 试题主要特点 1 保持稳定 依纲靠本 保持稳定 依纲靠本 试题依据 2007 年北京卷考试说明 的相关要求 继续探索具有首都特色 的命题思路 试题注重对数学双基 数学能力的考查 对文科试题注意控制难度 在试 卷的呈现方式等方面做了进一步的探索 这将对北京市的教育教学改革起到积极的指导作 用 这份高考试题与前两年夏季试题相比 试题在命题思路上总体保持了稳定 基础与能力 的考查并重 注重创新 兼顾对数学基础知识 基本方法 数学理性思维 数学应用和数 学素养的考查 试题有利于引导中学数学教学要克服 题海战术 和 大运动量 重复训练的倾 向 向全面提高学生的数学素质的方向发展 试卷中的一些题目来源于教材 如理科 19 题和现行高一教材第 90 页例 1 类似 选择 填空题中的很多题目在教材中也能找到 原型 2 覆盖全面 重点突出覆盖全面 重点突出 这份高考试题 对数学基础知识 基本技能 基本思想和方法进行了比较全 面的考查 重要章节的知识内容几乎无一遗漏 且各章内容所占比例与教学课时比例 大体相当 同时 对重点内容进行重点考查 力争体现数学学科特点 高度抽象 逻辑严密 应用广泛 试题双向细目表试题双向细目表 考试内 容 考 点理 科文 科考试内容考 点理 科文 科 集合1215 性质与证 明 7 集合简易 逻辑 简易逻辑37解不等式1215 映射1414 函数1920 不等式 含绝对值 不等式 1215 反函数22直线1719 单调性88线性规划66 奇偶性88 曲线与方 程 1719 函数 指数函数22 直线与圆 圆1719 对数函数8椭圆194 函数的应 用 1920双曲线1719 数列 10 15 10 16 圆锥曲线 抛物线820 等差数列 及前 n 项 和 1516 空间直线 和平面 3 16 7 17 多面体1617 数列 等比数列 及前 n 项 和 1516 立体几何 球 三角函数11排列组合排列组合5 5 18 周期性3二项式 二项式定 理 两角和与 差 2概率1818 二倍角公 式 1313随机变量18 概率 与统计 统计18 正 余弦 定理 1112 数学归纳 法 15 极限 极限 y Asin x 的图象 3 导数199 三角函数 解斜三角 形 1112 导数 导数应用1920 向量基本 运算 4复数 复数的运 算 9 向量坐标 运算 11 平面向量 平移4 创新题20 3 能力立意 面貌清新 能力立意 面貌清新 考试说明 明确要求 能阅读 理解对问题进行陈述的材料 能选择有效的方法 和手段对新颖的信息 情境和设问进行独立的思考与探究 使问题得到解决 在北京卷的 试题中 遵循 背景公平 控制难度 的要求 适当编制了有新意 特色的问题 着重考查 以思维能力为核心的各种数学能力 有效地考查了学生分析和解决问题的能力 考查了学 生的应变能力 对后期的复习和教学起到良好的导向作用 如理科试题 13 18 19 20 题 文科试题 13 20 等题目 同时试卷的呈现方式不拘一格 在遵循难度从低到高的原则上 解答题的排列顺序适当变化 显现新颖的 面貌 同时对于考生适应新的情境提出较高要 求 4 适度综合 注重层次 适度综合 注重层次 这份试题在对基础知识考查的同时 注重学科的内在联系和知识的综合 对 能力的考查强调探究性 综合性 应用性 在强调综合性的同时 注重试题的层次性 合理调控试题的综合难度 试题注意对综合性的要求 每个试题考查的知识点通常在 2 个以 上 并坚持多角度 多层次的考查 此外 选择 填空 解答三种题型的试题 起点难度都 较低 题目不偏不怪 平稳亲切 并且梯次渐进 符合北京卷特色 这样做不仅有利于学生 水平的正常发挥 也有利于对各分数段考生的区分 5 文理有别 实事求是 文理有别 实事求是 根据北京市文理学生的实际 试题坚持文理有别并适当加大比例 选择题中 只有 3 个题文 理科完全相同 2 个题目文科降低了难度 3 个题目完全不同 填空题 只有 2 个题文 理科完全相同 2 个题目文科降低了难度 2 个题目完全不同 解答题只有 2 个题文 理科完全相同 1 个题目文科降低了难度 3 个题目完全不同 文科试题在抽象思 维 字母运算 空间想象 解决问题等能力方面 与理科相比都适当降低了难度 这样做有 利于激发文科学生学习数学的兴趣 促进文科学生全面发展 三 试题主要解法及分析三 试题主要解法及分析 1 选择题 选择题 1 文 1 理 1 已知 那么角是costan0 A 第一或第二象限角 B 第二或第三象限角 C 第三或第四象限角 D 第一或第四象限角 命题意图 命题意图 考查三角函数的定义 象限角及其三角函数值的符号以及同角三角函数的关系 正确答案 正确答案 C 解法 1 因为 1 2 kkZ 所以 即是第三或第四象限角 costansin 1 0 解法 2 讨论 cos0 则是第三象限角 cos 0 且 tan0 时 f x 1 x 2 时 f x 9 所以 1 9f x 3 理 3 文 7 平面 平面的一个充分条件是 A 存在一条直线 B 存在一条直线 aa a aa a C 存在两条平行直线 a ba b a b D 存在两条异面直线 a ba b a b 命题意图 本题考查空间直线和平面的位置关系 两个平面平行的判定方法以及空间想象 能力 正确答案正确答案 D 参考解法 本题从题干和选择支对照 容易想到举出如图所示的反例依次排除答案 A B C 从而选 D 对答案的证明如下 a a b a 在直线 b 上任取一点 A 经过点和直线 a 的平面与 相交于直线 c a a c 从而 c a 与 b 异面 b c 为平面 内的两条相交直线 又 b 且 c 3 文 函数的最小正周期是 sin2cos2f xxx A B C D 2 2 4 命题意图 命题意图 考查运用三角函数和角或差角公式进行三角变换以及周期的求法 正确答案 正确答案 B 解法 2sin 2 4 f xx 22 2 T 4 理 已知是所在平面内一点 D 为 BC 边中点 且 OABC 2OAOBOC 0 那么 A B C D AOOD 2AOOD 3AOOD 2AOOD 命题意图 命题意图 考查平面向量的加法的平行四边形法则以及 向量应用 定比分点 正确答案正确答案 A 解法 1 由答案容易猜测 O 为的定比分点 因为AD D 是 BC 的中点且 2OAOBOC 0 所以 即 2OB OCOD 22OAOD 0 AOOD Ac b a 解法 2 如图 利用向量的加法的几何意义 可知 D 是 OE 的中点 所以有 AOOD 4 文 椭圆的焦点为 两条准线与轴的交点为 22 22 1 xy ab 0ab 12 F Fx M N 若 则该椭圆离心率的取值范围是 12 2MNFF A B C D 1 0 2 2 0 2 1 1 2 2 1 2 命题意图 命题意图 考查椭圆的几何性质和解不等式的能力 正确答案正确答案 D 解法 不等式可转化为 即 所以 又 e1 且 1 a 4 可得 a 2 3 13 2002 年在北京召开的国际数学家大会 会标是以我国古代数学 家赵爽的弦图为基础设计的 弦图是由四个全等直角三角形与一个小 正方形拼成的一个大正方形 如图 如果小正方形面积为 1 大正 方形的面积为 25 直角三角形中较小的锐角为 那么的值等于 2cos 命题意图 命题意图 本题考查了几何图形中边角之间的数量关系和三角函数基本问题 正确答案 正确答案 7 25 设直角三角形两边分别为 x y xg f x 的 x 的值是 2 附附 文史类填空题 9 则的导函数是 12 3 1 3 xxxfxf 的值是1 f 命题意图 命题意图 本题考查了导数的基本运算 正确答案 正确答案 3 2 2 xxf3 1 f 11 已知向量 若向量 则实数的值是 1 1 4 2 ba bab 命题意图 命题意图 本题考查了向量的垂直关系和向量的坐标运算 正确答案 正确答案 3 4 2 ba bab 0bab 所以 3 042 考生的主要问题 考生的主要问题 从答题情况看 理科的 11 文科的 12 及 13 题考生答得不好 甚至文科的 12 题从难度系数来看已经成为难题 这道题重点考查的是 正弦定理 但 在已知条件中 给出的是的正切值 而不是正弦值 这就需要考生要清楚将正切值转A 化为正弦值的基本思路和方法 从答题情况看 多数考生没有掌握这一基本思路和方法 教学建议 教学建议 填空题的练习要以基本知识 基本方法和基本技能为主 重视通性通法的落实 三 解答题 15 理 15 文 16 本小题共 13 分 x123 f x131 x123 g x321 数列中 是常数 且成公 n a 1 2a 1nn aacn c12 3n 123 aaa 比不为 的等比数列 1 I 求的值 c II 求的通项公式 n a 命题意图 命题意图 考察三个数成等比数列的充要条件 等差数列的求和 由递推关系求数列的通 项公式 正确答案 正确答案 解 因为成等比数列 123 2 2 23 aac ac 123 a a a 所以解得或 2 2 2 23 cc 0c 2 c 当时 不符合题意舍去 故0c 123 aaa 2 c 当时 由于2n 21 aac 32 2 aac 1 1 nn aanc 所以 1 1 12 1 2 n n n aancc 又故 1 2 2 ac 2 2 1 2 2 3 n an nnnn 当时 上式也成立 1n 所以 2 2 1 2 n annn 其它解法 其它解法 的其它解法 成的等比数列 123 a a a 1q 2 213 aa a 又 2132 2aacaac 11 2 11 2 a qac a qa qc 即 解得 舍 2 22 222 qc qqc 1q 2q 2 c 的其它解法 由 有 1 2 nn aancn 1 2 nn aan 所以 1 1 1 nn an nan n 1 1 02 n an na 2 2 n ann 又 满足上式 2 1 1122a 故的通项公式为 n a 2 2 1 2 n annn 用归纳法猜出 2 2 n ann n N 证 当时 命题成立 1n 2 1 1122a 假设时 命题成立 即nk 2 2 k akk 则当时 1nk 22 1 2222 kk aakkkkkk 2 1 1 2kk 即时 命题也成立 1nk 综上 对于任意 都有成立 nN 2 2 n ann 考生的主要问题 考生的主要问题 1 计算能力差 如由得出或或其它 2 2 2 23 cc 0c 4 c 2 概念不清 如由是常数 舍去的原因不正确 2 20 cc c 2 c 0c 又如由得出数列是公差为的得等差数列 在迭加法后得出的求和 1 2 nn aancn 2dn 应该是等差数列求和 不少学生做成了等比数列求和 导致结果错误 3 严谨性差 超过半数的学生没有验证满足 个别学生对未舍 1n 0c 教学建议 教学建议 由以上问题 可以看出转化的数学思想在数列问题中的应用 学生应当能够将非等差 等比数列的问题转化为等差 等比数列的问题 从而解决数列中的通项构造及其它问题 要 重视对数列基本特征的认识和理解 这是求数列通项的前提 教师在讲解等差 等比数 n a 列时 要向学生提出数列中的后一项与前一项的差 商 不为常数 是一个与有关的代n 数式时 如何求出数列通项的问题 要将数列的递推公式合理地变形 转化为已知的特殊数 列 运用恰当的方法 如迭加法 迭乘法等 求其通项 同时也要注意函数思想在解决数列 问题中的应用 从映射 函数的观点来看 数列可以看作是一个定义域为正整数集 或 N 它的有限子集 的函数 数列的通项公式就是相应函数的解析式 如果认识到 n 21 这个高度 学生就不会忘记验证是否满足 1n 在教学中 要注意对典型方法 典型题型的归纳和梳理 从而有效地提高学生解决数 学问题的能力 达到培养学生数学思维深刻性的目的 15 文 记关于的不等式的解集为 不等式的解集为 x0 1 xa x P11x Q I 若 求 3a P II 若 求正数的取值范围 QP a 命题意图 命题意图 本题考查不等式基本解法 集合的运算和简单分类讨论思想 正确答案 正确答案 解 I 由 得 3 0 1 x x 13Pxx II 1102Qx xxx 由 得 又 所以 0a 1Pxxa QP 2a 即的取值范围是 a 2 第一问典型错误第一问典型错误 典型错误一 I 由得 3 0 1 x x 01 03 x x 解得 13 xx且 所以不等式解集 311 xxxP或 典型错误二 I 由得 3 0 1 x x 03 x 解得3 x 典型错误三 I 由得 3 0 1 x x 01 03 01 03 x x x x 或 解得31 xx或 典型错误四 I 由得 3 0 1 x x 13 x 典型错误五 I 由得 3 0 1 x x 31 x 还有在集合表示法上的一些错误和不规范记法 比如 31 xxP 等 31 xxP 31 x 31 xp 第二问典型错误第二问典型错误 典型错误一 II 1102Qx xxx 由 得 又 所以 多一个等号 0a 1Pxxa QP 2 a 典型错误二 II 1102Qx xxx 由于 所以且 QP Px 0Px 2 即 0 12 2 0 10 0 aa 且 解得2 a 点评 此处用特殊值法道理表达不充分 实际上稍加说明不失为优秀解法 表达如下 II 1102Qx xxx 作函数 由于 因此问题转化为 函数在恒成立 1 x ax xfQP 0 xf 2 0 x 求的取值范围 a 而 注意到时函数为增函数 因此只需即 1 1 1 1 x a x ax xf0 a xf0 2 f 可 即 从而解得0 12 2 a 2 a 教学建议教学建议 应多重视基础知识和基本技能的培养 不要赶进度而忽略第一轮基本知识的复习 可 以不要第二轮复习而直接进行综合训练 讲练结合 学生收获可能更好 16 理 本小题共 14 分 如图 在中 斜边 可以通过以RtAOB 6 OAB 4AB RtAOC RtAOB 直线为轴旋转得到 且二面角是直二面角 动点的斜边上 AOBAOC DAB I 求证 平面平面 COD AOB II 当为的中点时 求异面直线与所DABAOCD 成角的大小 III 求与平面所成角的最大值 CDAOB 命题意图 命题意图 本题是一道综合型 中等难度的立体几何解答题 从 07 年北京数学理科试卷来看 该题可以说是一个突 出的亮点 该题涉及线线垂直 线面垂直 面面垂直 二面角 线面角 线线角等立体几何中的重要知识点 基础知识是否扎实以及是否具备灵活运用知识的能力关 系到该题能否拿到满分 首先利用旋转给出直二面角 点 D 作为动点作为题干 其次第 3 小问用向量方法 涉及到设点 计算等问题 用传统立体几何法 要求能 够分析清楚何时能取到最值 这些都给考生带来一定的 干扰 对本题而言 选用 A 本教材的要略占优势 文科试题难度不大 对基础知识扎实的考 生应该没有问题 正确答案 正确答案 解法一 I 由题意 AOCO AOBO 是二面角的平面角 BOC CAOB 又 二面角是直二面角 CAOB O C A D B 又 BOCO OBOAO 平面 COAOB 又平面 COCOD 平面平面 CODAOB II 作 垂足为 E 连结 如图 则 OBDE CEDE AO 是异面直线与所成的角 CDE AOCD 2BOCO AD DB 1BO 2 1 OE 在中 COERt 5OECOCE 22 又 3AO 2 1 DE 在中 CDERt 3 15 3 5 DE CE tanCDE 异面直线与所成角的大小为 AOCD 3 15 arctan III 由 1 知 平面 COAOB 是与平面所成的角 且 CDO CDAOB OD 2 OD OC tanCDO 当最小时 最大 ODCDO 这时 垂足为 ABOD D3 AB OBOA OD 3 32 tanCDO 与平面所成角的最大值为 CDAOB 3 32 arctan 解法二 I 同解法一 II 建立空间直角坐标系 如图 xyzO 则 3 1 0 D 0 0 2 C 3200 A 0 0 0 O 3 1 2 CD 32 0 0 OA 4 6 2232 6 CD OA CDOA CD OAcos 异面直线与所成角的大小为AOCD A E O C B D A z y x O C B D 4 6 arccos III 同解法一 其它解法其它解法 解法三 I 建立空间直角坐标系 如图 同上 xyzO 则 0 0 2 C 3200 A 0 0 0 O 0 2 0 B 020OB 32 0 0 OA 0 0 2 OC 又 0OBOC0OAOC OBOAO 平面 OCAOB 平面 COAOB 又平面 COCOD 平面平面 CODAOB II 同解法二 III 设动点 D其中 y2 3 y 0 2 0 y 则 y2 3 y 2 CD 由 1 知 平面 OCAOB 是平面的法向量 COAOB 设与平面所成角为 则CDAOB 43yy 1 CD CO CDCO sin 2 2 0 y 当时 取得最大值 2 3 y sin 7 72 则与平面所成角的最大值为 CDAOB 7 72 arcsin 解法四 I 同上 II 设异面直线与所成角为 AOCD 在平面内的射影为 CDAOBOD cosAODcosCDOcos 在中 CODRt 2 2 cosCDO 在中 AOD 2 3 3222 4124 cosAOD 4 6 cos 异面直线与所成角的大小为 AOCD 4 6 arccos III 由解法一可知 是与平面所成的角 且CDO CDAOB OD 2 OD OC tanCDO 设 BD OD 其中x y 4 0 x 在中 BOD 42xx 3 cosx224xy 22 4 0 x 42xx 2 tanCDO 2 当时 取得最大值 1x tanCDO 3 32 与平面所成角的最大值为 CDAOB 3 32 arctan 文科题目文科题目 如图 在中 斜边 可以通过AOBRt 6 OAB 4AB AOCRt 以直线为轴旋转得到 且二面角是直二面角 是的中AOBRt AOCAOB DAB 点 I 求证 平面平面 CODAOB II 求异面直线与所成角的大小 AOCD 参看理科试题前两问解法参看理科试题前两问解法 学生的主要问题 学生的主要问题 概念混乱 知识体系不完善 第 I 问证明面面垂直 不少同学不证线面垂直 直接从 线线垂直跳到面面垂直 第 II 问不少同学认为是异面直线成角 让人不知所云 AOD 思维模式化 灵活性较差 这次 I III 问中 D 点的不确定就给这部分考生带来了致命 的灾难 书写不规范 符号运用不准确 如 平面 COCOD 教学建议教学建议 上述问题的出现 基于不同的原因 基础知识薄弱的学生需要在知识体系上下足 够的功夫 立体几何是目前高考中得分的重要部分 通过一定的训练这部分分数是能够保 证的 此外做题不能模式化 不少学生只会用向量法解决一些程序化的题型 一旦题型发生 变化便手足无措 这也给我们的教学过程提出了一些警示 不能只教学生一些固定的题型 要提高学生思考分析问题的能力 高考不可能完全符合我们的想法 在已有的基础上学会举 一反三 以不变应万变才能在高考中立于不败之地 17 理 理 17 文 文 19 矩形的两条对角线相交于点 边所在直线的方程为 ABCD 0 2MAB063 yx 点在边所在直线上 1 1 TAD I 求边所在直线的方程 AD II 求矩形外接圆的方程 ABCD III 若动圆过点 且与矩形的外接圆外切 求动圆的圆心的轨迹方 0 2 NABCDP 程 命题意图 本题考查了平面解析几何中的基本的方 法及内容 如直线的方程 两条直线的位置关系 圆的方程 圆和圆的位置关系等 重点突出了用代 数方法研究几何问题这一解析几何的基本思想方 法 本题是一道中等难度的试题 正确答案 I 由已知 因为边所在直线的方程为AB 且 所以直线的063 yxADAB AD 斜率为 3 又因为点在直线上 所以边所在直线的方程是 即 1 1 TADAD 131 xy 023 yx II 解法一 由 解得点的坐标是 因为矩 023 063 yx yx A 2 0 形的两条对角线相交于点 所以ABCD 0 2M 是矩形外接圆的的圆心 MABCD 又 所以矩形 222002 22 AM 外接圆的方程为ABCD 82 2 2 yx 解法二 因为矩形的两条对角线相交于点ABCD 所以是矩形外接圆的的圆心 0 2MMABCD 且点到直线的距离 MAB 5 102 10 62 1 d 点到直线的距离 MAD 5 104 10 8 2 d 则矩形外接圆的的半径为 所以矩形外接圆的方程为ABCD22 2 2 2 1 ddABCD 82 2 2 yx 解法三 由解得点的坐标是 因为矩形的两条对角线相 023 063 yx yx A 2 0 ABCD 交于点 所以是矩形外接圆的的 0 2MMABCD 圆心 线段是这个圆的直径 由是线段ACM 的中点可得点的坐标为 则以线段ACC 2 4 为直径的圆的方程为AC 即 02240 yyxx 044 22 xyx III 解法一 因为动圆过点 所以是该圆的半径 PN PN 又因为动圆与圆外切 所以PM 即22 PNPM 22 PNPM 故点的轨迹是以 点为焦点 实轴长PMN 为的双曲线的左支 22 因为实半轴长 半焦距 所以需半轴长 从而动圆2 a2 c2 22 acb 的圆心轨迹方程为P 1 22 22 yx x2 解法二 设动圆的圆心为 因为动圆过点 所以是该圆的半径 P yxP PN PN 又因为动圆与圆外切 所以 PM22 PNPM 所以 2222 2 2 2 2 yxyx 2 2 2 2 2 2 224822yxyxyx 即 化简得 2 2 212yxx 01 x 即为所求的圆心的轨迹方程2 22 yxx2 P 考生的主要问题 考生在答题过程中容易出现以下几种错误 审题不认真 如将 I 中所求直线看成直线 由已知条件直接用两点式求出错误的直线方ADMT 程 错把 III 中所求轨迹看作是求圆的方程等 023 yxP 先入为主 主观臆断 如文科答卷中出现最多的问题 大多数同学由图中观察出点在坐标轴上 从而求出A 点的坐标 而根本没有用到题目给出的条件 或是将 I 中的错认为是AABAD 从而得出直线的斜率为 求出错误的直线方程 还有将ADABAD 3 1 043 yx II 中计算出的错认为是圆的直径 得出错误的圆的方程 另外将 III 中所求 AM 的轨迹武断的认为是圆 椭圆 抛物线等也是常见的错误 极易得出错误的结论 数学基本功及计算能力问题 如将 I 中的直线的斜率错计算成或 得出错误的方程 进而导致后面的AD 3 1 3 问题出现错误答案 此类错误极为常见 在 II 的计算过程中求错了点的坐标 导致A 后面的计算错误 由于记错了圆的标准方程形式 而将矩形外接圆的方程错写为 或 由于对两圆外切这一几何性质认识不足而导致无 82 2 2 yx 82 2 2 yx 法求出 III 中的轨迹方程 得到等式或 2222 2 2 2 2 yxyx 时不能想到双曲线的定义形式 不能正确的判断出轨迹的形状是双22 PNPM 曲线的左支 在方程中没有正确的表述出的取值范围等x 教学建议 重视基本思想方法的渗透 数学的基本思想方法是学生在解题时最常用的 但也是最容易被忽视的 本题的解题 过程中只是用到了解析几何最基本的思想方法 但是由于学生将问题复杂化而产生的错误 不在少数 如果能在日常教学中不断的渗透基本的数学思想方法 让学生面对数学问题时 能够由浅入深 逐渐递进的选择合适的工具 这对培养良好的数学思维以及提高研究问题 的能力都是大有帮助的 解析几何教学方面 形 数 如本题 I 中的求直线的过程中 将垂直关系转化为斜率的关系 将点在直线ADT 上转化为直线的点斜式方程 用代数的形式来研究几何问题时解析几何的核心思想 AD 必须让学生熟练掌握各种不同曲线的方程的形式 这是进一步的研究各种曲线的性质的先 决条件 数 形 如本题 II 求圆的方程的过程中 可以通过图形的特点很容易的求出圆的圆心和半 径 从而写出圆的方程 在 III 求轨迹方程的过程中 如果能够由图形特点判断出轨迹 迹的形状 如解法一 则解题过程会大幅度简化 否则则会陷入繁琐的计算中 如解法二 利用曲线的几何性质解题也是解析几何的重要手段 往往会简化解题过程 更能揭示问 题的本质 必须让学生熟悉各种曲线的几何性质 做到融会贯通 并进一步的学会用图形 的方法解决其他数学问题 18 理 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动 以下简称活动 该校合唱团共有 100 名学生 他们参加活动的次数统计如图所示 求合唱团学生参加活动的人均次数 从合唱团中任选两名学生 求他们参加活动次数恰好相等的概率 从合唱团中任选两名学生 用表示这两人参加活动次数之差的绝对值 求随机变 量的分布列及数学期望 E 参加人数 50 40 30 20 10 活动次数 1 2 3 命题意图 命题意图 本题是一个具有实际背景的应用题 主要考查的知识点有 认识统计图表 平 均数的求法 用排列组合的基本公式计算等可能性事件的概率 求离散型随机变量的分布列 求离散型随机变量的期望值 正确答案 正确答案 由图可知 参加活动 1 次 2 次和 3 次的学生人数分别为 10 50 和 40 该合唱团学生参加活动的人均次数为 3 2 100 230 100 403502101 从合唱团中任选两名学生 他们参加活动次数恰好相等的概率为 99 41 2 100 2 40 2 50 2 10 0 C CCC p 从合唱团中任选两名学生 记 这两人中一人参加 1 次活动 另一人参加 2 次活动 为事件 A 这两人中一人参加 2 次活动 另一人参加 3 次活动 为事件 B 这两人中一人参 加 1 次活动 另一人参加 3 次活动 为事件 C 易知 1111 10505040 22 100100 C CC C50 1 CC99 PP AP B 11 1040 2 100 C C8 2 C99 PP C 99 41 0 0 PP 的分布列 012 P41 99 50 99 8 99 的数学期望 E 3 2 99 8 2 99 50 1 99 41 0 问解法二 设参加活动的次数为 的取值为 1 2 3 则的分布列如下 5 2 100 40 3 2 1 100 50 2 10 1 100 10 1 PPP 123 P1 10 1 2 2 5 3 2 5 2 3 2 1 2 10 1 1 E 考生的主要问题考生的主要问题 问中的问题有 不能正确认识图表 把参加 1 次活动的人数为 10 人理解为第一次参加活动的人数为 10 人 从而得出人均参加一次的错误结论 不理解平均数的概念 认为次数一定要取整数 于是将 2 3 取近似值 2 在解法 2 中混淆期望和方差的意义 用方差来求平均值 问中的问题有 错误的选择了概率模型 选取了 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率模型 排列和组合数的计算混淆 计算不够准确 用排列组合的基本公式计算等可能概型中事件的概率时 所选择事件不具等可能性 即分子分母是否有序不统一 问中的问题有 书写不规范 求时在分子上多乘了 这样所 1111 10505040 22 100100 C CC C50 1 CC99 PP AP B 2 2 A 表示的基本事件为选出两位同学并排好顺序 而分母表示的基本事件为选出两位同 学不排序 这样分子分母所表示的基本事件不具等可能性 所以出现错误 也有同学分 母表示的基本事件是有序的 而分子无序 出现同样的问题 的取值忽略了 0 或多出 3 期望的公式记忆错误 计算不够准确 教学建议教学建议 加强对统计图表的正确认识和理解方面的训练 统计学分描述统计学和推断统计学 在中学阶段 初步认识和了解描述统计学的知识是主要任务 理解和应用各种统计 图表是其中的主要内容之一 加强对各种概率模型的辨识能力的训练 比如分清抽样是放回抽样还是不放回抽样 在求等可能概型的事件的概率时 一定要注意两点 等可能概型中事件的概率计算 公式中的分子和分母必须在相同的模型下考虑 并且考虑的所有基本事件具有等可 能性 在计算随机变量的分布列和期望时 首先要明确的所有可能的取值 不能多也不 能少 同时要强调 求完分布列后一定要验证 取各个可能值的概率和为 1 在计算 期望时要做到公式的准确无误及计算的准确性 18 文 某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站 包括起点站和终点站 在起点站开出的一辆 公共汽车上有 6 位乘客 假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的 求 这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率 这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率 命题意图 命题意图 主要考查等可能性事件概率 n 次独立重复实验恰发生 k 次的概率 或条件概率 等 知识 以概率为载体 同时考察记数方法的应用 考查了学生综合运用知识 分析问题 选用模型 解决问题的能力 正确答案 正确答案 设这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率为 P 解法一 等可能性事件概率 1512 0 106 6 10 A P 解法二 条件概率 1512 0 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 10 P 设这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率 P 解法一 等可能性事件概率 01458 0 10 9 6 33 6 C P 解法二 n 次独立重复实验恰发生 k 次的概率 依题意可知 每位乘客在终点站下车的概率均为 10 1 所以 1512 0 10 1 1 10 1 33 3 6 CP 解法三 等可能性事件概率 01458 0 10 6 1 9 3 3 2 9 2 3 3 9 3 6 ACACAC P 说明 说明 解法三与解法一本质上是同一方法 只是在记数方法上选择了较复杂的计算方 式 考生的主要问题 考生的主要问题 审题不清 没有理解 11 个车站中包括起点站 盲目求解 如 错解 用或或或计算 这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率 6 6 6 11 A 6 11 6 6 C A 6 6 11 11 C 6 6 11 11 A 错解 用计算 这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率 33 3 6 11 1 1 11 1 C 弄不清楚基本事件 对基本事件的记数方法选择不当 同时 不能很好的理解和兼顾等 可能性事件概率的计算方法中 m 与 n 的匹配性 如 n m 错解 用或或或计算 这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率 6 6 6 10 A 6 10 6 6 C A 6 6 10 10 C 10 6 10 6 C 错解 用或或或计算 这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率 6 3 9 3 6 10 AC 3 10 3 9 3 6 C AC 6 3 6 10 C 6 3 9 10 A 错解 用或计算 这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率 6 3 6 10 1 C 3 10 3 6 1 C C 错解 用计算 这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率 33 3 6 10 6 1 10 6 C 对概率概念不清 如不少学生直接用或等计算结果作为概率 3 6 A 3 10 3 6A C 教学建议教学建议 概率这一部分教学中 应利用大量的具体实例 让学生理解基本事件 等可能事件 m 与 n 的匹配性 对概率或记数问题的讲解中 应重在分析对题目的理解 对事件的不同角度的正确表 述 以及对一些较复杂事件的基本拆分方法 在记数问题的教学中 应让学生对一些基本模型掌握清楚 如 有重复选取 不重复有顺序选取 不重复无顺序选取等等 19 理 如图 有一块半椭圆形钢板 其半轴长为 短半轴长为 计划2rr 将此钢板切割成等腰梯形的形状 下底是半椭圆的短轴 上底AB 的端点在椭圆上 记 梯形面积为 CD2CDx S I 求面积以为自变量的函数式 并写出其定义域 Sx II 求面积的最大值 S 命题意图 命题意图 本题表述简练 是一道解析几何 函数 导数的综 合题 将考查的多个知识点有机地融合在一起 考查了考生对于 相关知识的处理的基本方法 基本技能的掌握情况 同时 此 题 由于没有建立坐标系 自己设定变量 x 也对考生在思维严 谨 书写规范 数学能力等方面提出了较高要求 正确答案 正确答案 解 依题意 以 AB 的中点 O 为坐标原点建立 直角坐标系 如图 oxy 则点 C 的横坐标为 x 点 C 的纵坐标 y 满足方程 0 1 4 2 2 2 2 y r y r x 解得 0 x r 22 2xry S 22 2 22 2 1 xrrx 其定义域为 x 0 x r 22 2xrrx 记 f x 0 x r 4 222 xrrx 则 2 8 2 xrrxxf 令rxxf 2 1 0 得 0 2 0 2 0 xfrx r xf r x 时 时 4r C D A B2r C D ABO x y 2 33 S 2 33 2 1 S 2 1 2 1 2 2 r rrfrx xfrf 的最大值为即梯形面积 为也取得最大值 最大值时因此 当 的最大值是 其它解法 其它解法 方法一 同上 S 22 2xrrx rxrx rxrxrrxxxs rx xr rrxx xrrxxs 2 1 0 0 2 0224 0 0 224 2 22 22 22 22 即 得令 0 2 0 2 0 xsrx r xs r x 时 当 时 当 2 33 S 2 1 2 rrx最大值为时因此 当 方法二 同上 2 4 4 2222 2 33 2 33 4 27 4 6 3 4 33 3 4 4 rs r xxrrx rr xrrxrxrx xrrxs 时取等号 时 即 当且仅当 2 33 S 2 1 2 rrx最大值为时因此 当 方法三 同上 设则cos 0 2 xr 22 2 sin0 2 cos sin 2sinsin2 rxr srr r r 设 2cos2cos2 2sinsin2 y y 2 33 23 0 2 1 cos 3 0 2 1 cos 0 23 01cos 2 1 3 0 0cos 2 0 2 0 1cos2 1 cos2 2cos2cos4 2 取得最大值时时 即当 时当 得时当 得时当 y r x y y y 2 33 S 2 1 2 rrx最大值为时因此 当 方法四 以 AB 所在直线为 X 轴 AB 中点 O 为原点建立直角坐标系 设 F 为 椭圆的焦点 梯形高为 h DC 交 y 轴于 M 依题意 椭圆半长轴长为 a 2r 短半轴长 b r 半焦距 c 离心率 e r3 y 准线 2 3 r 3 4 D 点到准线距离为 h 根据椭圆定义得r 3 4 2 3 3 4 hr DF 所以hrDF 2 3 2 又 22 222 222 222 44 0 0 4 1 3 2 3 2 3 xrh hrhx hrxhr MFDMDF hrMFxDM 又即 S 22 2 22 2 1 xrrx 0 x0 y 或定义域写为 x 0 xr 0 S x 的导函数求错 没有研究 x 在左右的导数的符号 2 r 教学建议教学建议 落实三基 基本知识 基本方法 基本能力 注意细节 如坐标系的建立 实际问题变量的取值范围 书写规范 表述要清楚 如换元一定要换字母且前后不矛盾 普遍联系 在知识的交汇点上做题 可一题多解 也可多题一解 主意题后的总结 与反思 培养品质 此题虽是倒数第二题 但并不是一道难题 一部分学生没有得到一般的 分数 有时因为以上四点 还有的因为信心不足 没有勇气继续做下去 20 理 12 2 1 2 I 0 1 2 31 2 3 ki Aa aakaZ ikA Sa baA bA abATa baA bA abA a bSTmn aAaAAP PP 已知集合其中由中的元素 构成两个相应的集合 其中是有序数对集合和中的元素个数分别为和 若对于任意的总有则称集合具有性质 检验集合 与 是否具有性质 并对其中具有性质的集 1 2 III ST k k PAn mn 合 写 出相应的集合和 I I 对任何具有性质的集合 证明 判断和的大小关系 并证明你的结论 命题意图 命题意图 本题是今年高考的压轴题 有助于高校选拔新生和中学实施素质教育 本题考查 了集合的概念 表示及有关的术语 符号 并以集合为载体 结合排列 组合和映射的知识 重点考察对知识的理解和应用 特别是对知识的综合与灵活应用 较好地考察了学生理性思维 的广度和深度及进一步学习的潜力 正确答案 正确答案 I 解 集合不具有性质 P 3 2 1 0 集合具有性质 P 其相应的集合 S 和 T 是 3 2 1 S T 1 3 3 1 3 2 1 2 II 证明 首先 由 A 中元素构成的有序数对共有个 ji aa 2 k 因为 2 1 0kiTaaA ii 一一一 2 1 kjiTaaTaaAaAa ijji 一一一一一一一一一一一一一 从而 集合 T 中的元素个数最多为 2 1 2 1 2 kk kk 2 1 kk n一 III 解 一一一一一 nm a bSaA bAabAab bT 对于 根据定义 且从而 一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 Tddcbba dbdcba dbcaSdcba 可见 S 中的元素个数不多于 T 中的元素个数 即 nm SbbaAbaAbAaTba 一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 Sddcbba dbdcba dbcaTdcba 可见 T 中的元素个数不多于 S 中的元素个数 即 mn 由 可知 nm 本题解法 本题解法 II 解 因为 T 集合 A 具有性质 P 则 AbaAbAaba Taa ii 所以对 A 中任意一个元素都可与个元素构成形如的有 k aaa 21 1 k ba 序数对 即 121 312 321 kk k k aaabaa aaabaa aaabaa 2 1 1 kk nTqpaaaa AaaAaaAabAbabakk pqqp pqqp 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一 III 解 对任意 且若TabaAbaAbAaSba iiiiiiiii 一一一一 jjiijijijjii bababbaababa 一一一 nmababa iiiii 一一一一一一一一一一一一 nm mn SbbaAbaAbAaTba ttttttttt 一一 一一一一 一一一一一一一一 考生的主要问题 考生的主要问题 由于本题综合性强 题目中各相关因素的关系复杂 对阅读理解能力及分析 解决问题 的能 力要求高 加上考试时间有限 不少考生放弃了本题 部分考生对集合的概念 集合的语言运用不当 将集合 S 写成 或有考生思维欠严谨 丢掉集合中的一个元素 1 3 3 1 SS 第三问是一个开放型问题 关键要证明 S的映射均为单射 即论述不STT 一 能多对一 能完成的学生寥寥无几 事实上 也只有认真阅读 深入思考 且对题目中 各相关因素的关系把握准确 理性思维水平较高的的情况下才