函数的单调性(公开课课件)

1 3 1函数的单调性 教师 XXX 1 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯 对人类的记忆牢固程度进行了有关研究 他经过测试 得到了以下一些数据 2 思考1 观察 艾宾浩斯遗忘曲线 你能发现什么规律 函数的单调性 思考2 我们发现随着时间t的增加 记忆保留量y在不断减少 从图象上来看 从左至右图象是在逐渐下降的 3 x y o 1 x O y 1 1 2 4 1 2 1 1 从左至右图象 2 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 2 0 上从左至右图象上升 当x增大时f x 随着增大 1 上升 增大 下降 减小 思考1 画出下列函数的图象 根据图象思考当自变量x的值增大时 相应函数值是如何变化的 4 x y o 1 x O y 1 1 2 4 1 2 1 1 在某一区间内 当x的值增大时 函数值y也增大 图象在该区间内逐渐上升 当x的值增大时 函数值y反而减小 图象在该区间内逐渐下降 函数的这种性质称为函数的单调性 思考2 通过上面的观察 如何用图象上动点P x y 的横 纵坐标的变化来说明上升或下降趋势 5 思考3 如何用数学符号语言定义函数所具有的这种性质 6 图象在区间D逐渐上升 x 0 y 7 方案二 8 对区间D内任意x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 图象在区间D逐渐上升 x 0 x1 y 9 对区间D内x1 x2 当x1 x2时 有f x1 f x2 都 设函数y f x 的定义域为I 区间DI 定义 任意 区间D内随着x的增大 y也增大 图象在区间D逐渐上升 0 x1 f x1 f x2 y 10 那么就说在f x 这个区间上是单调减函数 D称为f x 的单调减区间 类比单调增函数的研究方法定义单调减函数 x 设函数y f x 的定义域为I 区间DI 如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 设函数y f x 的定义域为I 区间DI 如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 那么就说在f x 这个区间上是单调增函数 D称为f x 的单调区间 增 当x1 x2时 都有f x1 f x2 单调区间 如果函数y f x 在区间D是单调增函数或单调减函数 那么就说函数y f x 在区间D上具有单调性 11 1 函数单调性是针对某个区间而言的 是一个局部性质 注意 判断1 函数f x x2在是单调增函数 2 x1 x2取值的任意性 判断2 定义在R上的函数f x 满足f 2 f 1 则函数f x 在R上是增函数 12 解 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 例1 如图是定义在闭区间 5 5 上的函数y f x 的图象 根据图象说出函数的单调区间 以及在每一单调区间上 函数是增函数还是减函数 其中y f x 在区间 2 1 3 5 上是增函数 说明 1 区间端点处若有定义写开写闭均可 2 图象法判断函数的单调性 从左向右看图象的升降情况 13 练一练根据下图说出函数的单调区间 以及在每一单调区间上 函数是增函数还是减函数 2 5 4 4 x y O 1 3 2 1 解 函数y f x 的单调区间有 1 0 0 2 2 4 4 5 其中y f x 在区间 0 2 4 5 上是增函数 在区间 1 0 2 4 上是减函数 14 例2证明函数f x 3x 2在区间R上是增函数 15 例2证明函数f x 3x 2在区间R上是增函数 设x1 x2是R上任意两个实数 且x1 x2 证明 则f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 3 x1 x2 由x1 x2 得x1 x2 0 于是f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 3x 2在R上是增函数 作差 设值 变形 定号 下结论 16 用定义证明函数单调性的四步骤 1 设值 在所给区间上任意设两个实数 2 作差 3 变形 作差 常通过 因式分解 通分 配方 等手段将差式变形为因式乘积或平方和形式 判断的符号 4 结论 并作出单调性的结论 17 1 两个定义 增函数 减函数的定义 3 一个数学思想 数形结合 2 两种方法 18 例2 物理学中的玻意耳定律告诉我们 对于一定量的气体 当其体积V减小时 压强p将增大 试用函数的单调性证明之 19 证明 1 2 3 4 1 设值 2 作差变形 3 定号 4 下结论 20 画出函数图象 写出定义域并写出单调区间 讨论 根据函数单调性的定义 21 y O x 在 0 上任取x1 x2当x1 x2时 都有f x1 f x2 22