高三物理总复习：《有关行星运动的几个小专题》.docVIP

有关行星运动的几个小专题（一）应用万有引力定律的一些解题技巧应用万有引力定律解决有关天体运动问题时，往往要涉及到牛顿运动定律和圆周运动的知识，是较为典型的力学综合，解决问题过程较为繁琐，且易出错。如果我们能掌握一些推论并能灵活运用，将会化繁化简，变难为易，解决问题的思路和方法清晰明了，方便快捷。下面浅谈一孔之见，与大家共同商讨。题型一：关系在质量为M的某天体上空，有一质量为的物体，距该天体中心的距离为，所受重力为万有引力：由上式可得常量或推论一：在某天体上空物体的重力加速度与成反比。即或 例1：设地球表面重力加速度为，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的重力加速度为，则为（ ）A. 1 B. C. D. 解析：由式得答案应选D。题型二：关系有一质量为的物体（卫星或行星等）绕质量为M的天体做匀速圆周运动，其轨道半径为，线速度为，万有引力提供向心力：由上式可得常量或推论二：绕某天体运动物体的速度与轨道半径的平方根成反比。即或 例2：已知人造地球卫星靠近地面运行时的环绕速度约为，则在离地面的高度等于地球半径处运行的速度为（ ）A. B. C. D. 解析：由式得答案应选C题型三：关系有一质量为的物体（卫星或行星等）绕质量为M的天体做匀速圆周运动，其轨道半径为，角速度为，万有引力提供向心力：由上式可得：常量或推论三：绕某天体运动的物体的角速度的二次方与轨道半径的三次方成反比。即或 例3：两颗人造地球卫星，它们的轨道半径之比为，它们角速度之比 。解析：由式可得题型四：T关系有一质量为的物体（卫星或行星等）绕质量为M的天体做匀速圆周运动，其轨道半径为，周期为T，万有引力提供向心力：，由上式可得：常量或推论四：绕某天体运动的物体的周期T的二次方与其轨道半径的三次方成正比。即或 这就是开普勒第三定律。例4：两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，卫星距地面的高度等于R，卫星距地面的高度等于3R，则、两卫星周期之比 。 解析：由式得（二）利用的有关计算 1. 有关同一物体在不同星体表面重力加速度的计算 （1）比较两不同星体表面的重力加速度例1：一卫星绕某行星做圆周运动，已知行星表面的重力加速度为，行星的质量与卫星的质量之比，行星的半径与卫星的半径之比，行星与卫星之间的距离与行星的半径之比。设卫星表面的重力加速度为，则在卫星的表面有。经计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的三千六百分之一。上述结论是否成立？说明理由。解析：看结论是否正确，只需求出卫星表面的重力加速度与行星表面的重力加速度之比。紧紧抓住万有引力提供重力，则在卫星表面的物体：在行星表面的物体：所以其重力加速度之比为即结论不对。其比值应为。（2）与平抛运动联系求水平射程例2：某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的，若在地球上高处平抛一物体，水平射程为60m，则在该星球上从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，水平射程为多少？解析：由平抛运动知识知，水平射程取决于竖直方向的时间和初速度。当从同样高度以同样的初速度在不同的星体表面平抛同一物体，由于不同星体表面的重力加速度不同，因而下落同样的高度所用的时间不同，即以同样的初速度抛出时，水平射程不同。故此题转化为求星球和地球表面的重力加速度之比。在星球表面的物体：在地球表面的物体：则加速度之比为：平抛物体时，所以。则水平射程之比为星球表面的水平射程（3）与竖直上抛运动联系求最大高度例3：已知月球质量是地球质量的，月球的半径是地球半径的，那么在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，忽略空气阻力，上升的最大高度之比是多少？解析：在忽略空气阻力的情形下，上升的高度与初速度的关系为，当以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，高度与加速度成反比。设月球的质量、半径和表面的重力加速度分别为、；地球的质量、半径和表面的重力加速度分别为、，由万有引力提供重力得，于是上升的最大高度之比为2. 利用黄金代换，架起“天”与“地”的桥梁例4：已知地球的半径为，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算从月球到地心的距离为 m。（结果保留一位有效数字）解析：设月球到地心的距离为，由万有引力提供向心力有 月球绕地球的公转周期为T=27.3d在地球表面万有引力提供重力则 其中M为地球的质量，R为地球的半径，为地球表面的重力加速度取由得例5：2002年3月25日，我国自行研制的新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神州3号”送入预定轨道，飞船绕地球遨游太空后又顺利返回。飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验，获得圆满成功。设飞船轨道离地高度为，地面重力加速度，地球半径为，则“神舟3号”飞船绕地球正常运转多少圈？解析：飞船运行，要求飞船绕地球正常运转的圈数，只需求出飞船在离地高度时飞行的周期，由万有引力提供向心力则 其中在地球表面万有引力提供重力，则有，所以 由得则飞船环绕地球正常运转的圈数代入数据得圈（三）万有引力定律常见试题举例自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比，表达式是。设天体和卫星的运动是匀速圆周运动，那么万有引力提供其做圆周运动的向心力，即有。应用万有引力定律，可以解决有关天文和地球卫星问题。1. 估算太阳的平均密度例1：利用万有引力定律、小孔成像原理和生活常识，就可以估算出太阳的平均密度。用长L=80cm的不透光圆筒，在其一端封上厚纸，纸的中间用针扎一个直径0.5mm左右的小孔，筒的另一端封上一张白纸，把有小孔的一端对准太阳，在另一端可看到太阳的像。如图1所示，若测得太阳的像的直径为，试估算太阳的平均密度（保留二位有效数字）。图1解：设太阳半径为R，地日距离为，OA距离为D，由相似三角形可得：又，故设太阳、地球质量分别为M、，地球绕日周期为T万有引力提供向心力：又，所以代入数据：2. 估算地球的质量例2：某同学根据当地的重力加速度值，地球半径6370km，估算出地球质量，试问他是怎样估算的（万有引力恒量为，保留二位有效数字）？解：该同学是根据地球表面重力近似等于万有引力来估算的。由得 3. 求中子星表面的重力加速度及第一宇宙速度 例3：某中子星的质量大约与太阳的质量相等为。但是它的半径为10km，已知万有引力常量，求：（1）此中子星表面的重力加速度。（2）贴近中子星的表面，沿圆轨道运动的小卫星的速度。解：（1）设中子星表面的重力加速度为在中子星表面：（2）贴近中子星表面，小卫星的轨道半径由万有引力提供向心力，得得 4. 求行星的自转周期例4：某球形行星“一昼夜”时间为T=6h，在该行星上用弹簧秤称同一物体的质量，发现其“赤道”上的读数比其在“南极”处读数小9%，若设想该行星的自转速度加快，在其“赤道”上的物体会自动“漂浮”起来，这时该行星的自转周期多大？解：由万有引力定律，可得在南极：在赤道：又，代入数据 5. 关于地球自转问题例5：有一种说法广为流传，那就是“坐地日行八万里”，试用你所学的物理知识来解释一下这句话是否有道理。解：这句话有一定的科学道理。由于地球在围绕太阳公转的同时还在不停地绕地轴自转，对于地面上的人而言将随着地球一起绕地轴做圆周运动，一日内刚好绕地轴运动一周，相应的长度为圆周的周长，以赤道上的人为例，有所以里里若离开赤道，很显然相应的长度会变小。 6. 关于双星问题 例6：宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起，如图2所示，设二者的质量分别为和，二者相距。图2（1）证它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比；（2）试写出它们角速度的表达式。证明：（1）双星间的万有引力提供各自的向心力，由万有引力定律 得，（2）由，得 7. 一般人造地球卫星 例7：以第一宇宙速度运行的卫星也称为近地卫星，如果卫星离地面高度为几十甚至上百公里，相对于地球半径公里为小量，这些卫星都可看成近地卫星。已知地面上重力加速度，求第一宇宙速度。如有一颗卫星，质量，以绕地球做匀速圆周运动，由于受太空尘埃的影响，其运行轨道高度下降1公里，求其下降前后重力势能的改变量（保留二位有效数字）。解：万有引力提供向心力：又近地面物体位置的重力加速度为，即有，即所以重力势能减少量： 8. 地球同步卫星例8：2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经和北纬，已知地球半径为R，地球自转周期为T，把地球表面重力加速度和光速视为常量，试求：该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。解：设为卫星质量，M为地球质量，为卫星到地心的距离，T为卫星绕地心转动的周期，也就是地球自转周期，由万有引力定律得物体在地面上由以上两式得设嘉峪关到卫星的距离为L，如图3所示图3由余弦定理得故所求时间为【模拟试题】1. 在轨道上运行的人造卫星的天线突然折断，天线将（ ）A. 做自由落体运动B. 做平抛运动C. 沿原轨道的切线运动D. 和卫星一起在原轨道上绕地球运动2. 人造卫星环绕地球运动的速率，其中为地面处的重力加速度，R为地球半径，为卫星离地球中心的距离，下面哪些说法正确（ ）A. 从公式可见，环绕速率与轨道半径的平方根成反比B. 从公式可见，把人造卫星发射到越远的地方越容易C. 上面环绕速度的表达式是错误的3. 地球同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星（ ）A. 它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值B. 它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的C. 它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值D. 它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的4. 关于地球同步卫星，下列说法正确的是（ ）A. 它处于平衡状态，且具有一定的高度B. 它的加速度小于C. 它的周期是24h，且轨道平面与赤道平面重合D. 它的速度小于7.9km/s5. 地球的半径为R，地面重力加速度为，人造地球卫星的最小周期是（ ）A. B. C. D. 6. 关于人造卫星，下列说法中正确的是（ ）A. 发射时处于超重状态，落回地面过程中处于失重状态B. 由公式知，卫星离地面的高度越大，速度越大，发射越容易C. 同步卫星只能在赤道正上方，且到地心距离一定D. 第一宇宙速度是卫星绕地做圆周运动的最小速度7. 根据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，测出了环中各层的线速度的大小与该层至行星中心的距离R，则以下判断中正确的是（ ）A. 若与R成正比，则环是连续物B. 若与R成反比，则环是连续物C. 若与R成反比，则环是卫星群D. 若与R成正比，则环是卫星群8. 发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图1所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是（ ）A. 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B. 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C. 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D. 卫星在轨道2上经过P点时的加速度大小等于它在轨道3上经过P点时的加速度图19. 图2中的圆、，其圆心均在地球的自转轴线上，对环绕地球做匀速圆周