中考“四边形” 热点题型分类解析(含解答)-.doc

2006年中考“四边形” 热点题型分类解析【专题考点剖析】 本专题只有四边形一章内容，它是平行线和三角形这两章知识的应用和深化试题所反映出的考点主要有： 1能根据多边形的内角和、外角和公式确定多边形的边数，会用分割法确定多边形的对角线数、三角形数等变化规律 2会借助平行四边形的性质定理解决线段相等、角相等和求值等问题 3能借助定义及判定定理判断四边形中的特殊四边形 4会根据性质定理确定特殊四边形具有性质，并结合定义和判定定理判断与四边形有关的真假命题 5能根据三角形中位线定理，梯形中位线定理证明有关线段平行及等量关系的问题 6既会作特殊四边形的图形，又会借助平行线等分线段定理等分已知线段 7利用特殊四边形的面积公式解决一类与面积有关的几何问题（包括应用问题），并会解答折叠问题 8本单元重点考查了方程思想、对称思想以及转化思想，而且考查了学生识别图形的能力、动手操作图形的能力、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力【解题方法技巧】 1平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的包含关系注意把握特殊平行四边形与一般平行四边形的异同点才能准确、灵活地运用，中考中以矩形为主，也可与相似、圆的知识综合运用 2梯形的运用有关梯形问题，常常用添加辅助线的方法把梯形转化成特殊四边形与三角形的问题来解决，常见的辅助线如图： 3三角形、梯形中位线的应用 （1）注意三角形的中位线与三角形中线的区别 （2）在实际问题中常过一边的中考作另一边的平行线，从而运用中位线定理解决问题【热点试题归类】题型1 平行四边形1（2006，南安）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n=_2（2006，浙江温州）如图1，在直线m上摆放着三个正三角形：ABC，HFG， DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FMAC，GNDC设图中三个平行四边形的面积依次是S1、S2、S3，若S1+S2=10，则S2=_ （1） （2） （3） （4）3（2006，攀枝花）如图2，AD=BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充的一个条件是：_4（2006，晋江）不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） AAB=CD，AD=BC BAB=CD，ABCD CAB=CD，ADBC DABCD，ADBC5（2006，广东课改区）如图3，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立的是（ ） AACBD BOA=OC CAC=BD DAO=OD （5）6（2006，苏州）如图4，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中A=130，B=110，那么BCD的度数等于（ ） A40 B50 C60 D707（2006，淄博）如图5，在MBN中，BM=6，点A、C、D分别在MB、NB、MN上，四边形ABCD为平行四边形，NDC=MDA，那么ABCD的周长是（ ）A24 B18 C16 D128（2006，海淀区）已知：如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC和AD上的点，且BE=DF求证：ABECDF9（2006，旅顺口）如图，在ABCD中，BEAC于点E，DFAC于点F求证：AE=CF10（2006，福建泉州）已知：如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上的两点， AE=CF求证：BE=DE11（2006，南京）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点求证： （1）AFDCEB；（2）四边形AECF是平行四边形12（2006，大连）如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可） （1）连结_；（2）猜想：_（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）题型2 矩形、菱形、正方形1（2006，深圳）如图1所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_ (1) (2) (3) (4)2（2006，陕西）如图2，矩形ABCG（ABCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结CE （1）求证：四边形CDCE是菱形；（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明8（2006，旅顺口区）如图，点E、D分别是正ABC、正四边形ABCM、 正五边形ABCMN中心C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点 （1）求图中APD的度数 （2）图中APD的度数为_，图中APD的度数为_（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由9（2006，南京）有矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图），AF=，求DE的长；（2）如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G（如图），AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长10（2006，绵阳）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BEPA、DFPA，垂足为E、F，如图（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点P在DC的延长线上（如图），那么这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图）？请分别直接写出结论（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明11（2006，陕西）如图，D为ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF （1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；（2）求证：MAE=NCF12（2006，温州）如图，在ABCD中，对角线ACBC，AC=BC=2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PMAB交BC于M，PNAD交DC于N连结AM，设AP=x （1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由（2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与ABM的面积相等？13（2006，陕西）观察如图所示网格中的图形，解答下列问题： （1）将网格中左图沿水平方向向右平移，使点A移至点A处，作出平移后的图形；（2）（1）中作出的图形与右边原有的图形组成一个新的图形，这个新图形是中心图形还是轴对称图形？14（2006，陕西）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子，另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点 （1）求FC的长 （2）利用图求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm2）最大？最大面积是多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长 15（2006，广安）已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E是底边BC的中点，连结AE、DE，求证：ADE是等腰三角形16（2006，重庆）如图，在梯形ABCD中，ABCD，BCD=90，且AB=1，BC=2，tanADC=2 （1）求证：DC=BC； （2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且EDC=FBC，DE=BF，试判断ECF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）条件下，当BE：CE=1：2，BEC=135时，求sinBFE的值17如图所示，有一张三角形纸片ABC，ACB=90，AC=8，BC=6沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形（如图所示）将纸片AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、B2C2分别交于点F、P （1）当AC1D1平移到如图所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想； （2）设平移距离D2D1为x，AC1D1与BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围（3）对于（2）的结论是否存在这样的x的值，使得重叠部分面积为ABC面积的？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由 18（2006，上海市）已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE=GF=GC （1）求证：四边形AEFG是平行四边形（2）当FGC=2EFB时，求证：四边形AEFG是矩形题型5 中考新题型1下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的图形是_（请填图形下面的代号）2（2006，浙江）小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）3（2006，海淀区）在55方格纸中将图中的图形N平移后的位置如图所示，那么下面平移中正确的是（ ） A先向下移动1格，再向左移动1格 B先向下移动1格，再向左移动2格 C先向下移动2格，再向左移动1格 D先向下移动2格，再向左移动2格4（2006，温州）如图，在边长为1的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形，第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是12，则第n个“L”形图形的周长是_5（2006，广州）下图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，ABDC，BCDF，从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是BDAE，路线2是BCFE，请比较两条路线路程的长短，并给出证明6（ 2006，浙江）现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一次操作），如图（虚线表示折痕）除图外，请你再给出三种不同的操作，分别将折痕画在图至图中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图和图表示相同的操作） 7（2006，浙江台州）善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形，他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？ 问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？ （1）从特殊梯形入手探究假设梯形ABCD中，ADBC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位线（如图），根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似？ （2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形_（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明） 问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？ （1）从特殊平行线入手探究，梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形_（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明） （2）从特殊梯形入手探究同上假设，梯形ABCD中，ADBC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P、Q在梯形的两腰上，如图），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由（3）一般结论：对于任意梯形（如图），一定_（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似若存在，则确定这条平行线位置的条件是=_（不妨设AD=a，BC=b，AB=c，CD=d，不要求证明） 8（2006，晋江）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，A=60，BDAD，一动点P从A出发，以1cm/s的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD （1）当点P运动2s时，设直线PM与AD相交于点E，求APE的面积； （2）当点P运动2s时，另一动点Q也从A出发沿AB的路线运动，且在AB上以1cm/s的速度匀速运动（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动），过Q作直线QN，使QNPM，设点Q运动的时间为ts（0t8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2） 求S关于t的函数关系式；求S的最大值【热点试题详解】题型116 点拨：（n-2）180=3602，解得n=624 点拨：设SABC=S， 则S1=SABC -2SBMF =S-2S=S， S2=S-S-S=S， S3=4S-2S=2S S1+S3=10，即S+2S=10， 解得S=4 S2=S=43答案不唯一，如ADBC，AB=CD，A+B=180，C+D=180等4C 5B 6C7D 点拨：四边形ABCD是平行四边形， DCAB，NDC=NMB NDC=MDA，NMB=MDA， AD=AM ABCD的周长=2AD+2AB=2（AM+AB）=2BM=128证明：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD，B=D， 在ABE和CDF中， ABECDF9证明：四边形ABCD是平行四边形， ABCD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等） BAE=DCF（两直线平行，内错角相等） BEAC于E，DFAC于F， AEB=CFD=90（垂直定义） ABE=CDF（等角的余角相等） ABECDF（ASA）， AE=CF（全等三角形的对应边相等）10证明：如图， ABCD是平行四边形， AB=CD，ABCD， 1=2 又AE=CF， ABECDF BE=DF11证明：（1）ABCD中， AD=CB，AB=CD，D=B E、F分别是AB、CD的中点， DF=CD，BE=AB， DF=BE AFDCEB （2）在ABCD中，AB=CD，ABCD 由（1）得BE=DF，AE=CF 四边形AECF是平行四边形12解：（1）CF；（2）CF=AE； （3）证明：ABCD是平行四边形（已知）， ADCB（平行四边形的对边平行且相等） ADB=CBD（两直线平行，内错角相等） ADE=CBF（等角的补角相等） 在CBF和ADE中， CBFADE（SAS） CF=AE（全等三角形的对应边相等）题型21答案不唯一，如AC=BD或BAD=90，2C 3C4D 点拨：EF是ABC的中位线， BC=2EF=4， ABCD的周长=4BC=165B 点拨：EMF=EMB+FMB =BMC+CMC=180=906C 点拨：S菱形=68=24（cm2）7D 8D 9D 10A11答案不唯一，如AE=CF或DE=BF或BEDF等12C13证明：四边形ABCD、EFGC是正方形， ECB=GCD=90，BC=DC，EC=GC， BCEDCG， BE=DG14证明：EF垂直平分AC， OA=OC，AOE=COF=90 ABCD是平行四边形， EAO=FCO， AOECOF AE=CF，AECF， 四边形AFCE是平行四边形 又EFAC， 四边形AFCE是菱形15证明：四边形ABCD为正方形， AB=AD=CD，D=BAE=90， AHBE，AHB=90， ABH+BAH=90， DAF=ABE 在ADF与BAE中， AE=DF， AD-AE=CD-DF，即DE=CF16解：如图17（1）证明：AFCE， FAD=ECD 在ADF和CDE中， ADFCDE AF=CE （2）解：AF=CE，AFCE， 四边形AFCE是平行四边形 AC=EF， 四边形AFCE是矩形题型31100，80，80 2321，25，4n+1 4D5A 点拨：选项A，=3； 选项B，应为等腰梯形同一底上的两个角相等； 选项C，应为过直线一点； 选项D，应为两条平行直线6C 点拨：A=D，B=C， 四边形ABCD是等腰梯形7B 点拨：等边三角形、正五边形、等腰梯形仅是轴对称图形8D 点拨：EM=FN=（EF-MN）=5cm，CD=2EM=10cm， AB+CD=2EF=36cm， AB=36-CD=26cm9B 点拨：ADBC，DAC=ACB， CA平分BCD，ACD=ACB， DAC=ACD，AD=CD=510A11B 点拨：如图，过点D作DEAB，交BC于E， 则DEC是等边三角形，C=6012（1）证明：ADBC，AB=DC=AD， ABCD是等腰梯形， BAD=ADC=120， ADB=ABD=（180-BAD）=30 BDC=ADC-ADB=90， BDDC （2）解：过点D作DEBC于E，过A作AFBC于F 在RtDCE中，DC=AB=4，C=60， DE=DCsinC=4sin60=2， BC=2CE+EF=22+4=8 S梯形ABCD=（4+8）2=12题型41A2C 点拨：每一个重叠部分的面积为正方形面积的3解：矩形MFGN矩形ABCD， ， AB=2AD，MN=x， MF=2x EM=EF-MF=10-2x S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2（x-）2+ 当x=时，S有最大值为4解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y， 则矩形PNDM的面积S=xy（2x4）， 易知CN=4-x，EM=4-y 且有 即=，y=-x+5 S=xy=-x2+5x（2x4） 此二次函数的图象开口向下， 对称轴为x=5 当x5时，函数值是随x的增大而增大， 对2x4来说，当x=4时，S有最大值， S最大=-42+54=125解：梯形ABCD中，ADBC， AMDBMC， AD=10，BC=20， SAMD=50010=50（平方米）， SBMC=200平方米 还需要资金20010=2 000（元）， 而剩余资金为2 000-500=1 500（元）2 000（元）， 资金不够用6解：（1）图形略 （2）图形略 （3）A（-3，-4），B（-1，-1），C（-3，-1） AC=3，BC=2， AB= ABC的周长为 AC+BC+AB=5+7（1）证明：根据题意可得： CD=CD，CDE=CDE，CE=CE， ADBC，CDE=CED CDE=CED，CD=CE， CD=CD=CE=CE， 四边形CDCE为菱形 （2）解：当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形， 理由：（1）知CE=CD， 又BC=CD+AD，BE=AD， 又ADBC， 四边形ABED为平行四边形8解：（1）ABC是等边三角形， AB=BC，ABE=BCD=60 BE=CD，ABEBCD BAE=CBD APD=ABP+BAE=ABP+CBD=ABE=60 （2）90，108 （3）能点E、D分别是正n边形ABCM中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，BD与AE交于点P，则APD的度数为9解：（1）在矩形ABCD中， AB=2，AD=1，AF=，D=90， 根据轴对称的性质，得EF=AF=， DF=AD-AF= 在RtDEF中，DE=（2）如图，设AE与FG的交点为O， 根据轴对称的性质，得AO=EO 取AD的中点M，连结MO 则MO=DE，MODC， 设DE=x，则MO=x 在矩形ABCD中，C=D=90 AE为AED的外接圆的直径，O为圆心， 延长MO交BC于点N，则ONCD， CNM=180-C=90， ONBC，四边形MNCD是矩形， MN=CD=AB=2， ON=MN-MO=2-x AED的外接圆与BC相切， ON是AED的外接圆的半径， OE=ON=2-x， AE=2ON=4-x 在RtAED中，AD2+DE2=AE2， 12+x2=（4-x）2， 解这个方程，得x= DE=，OE=2-x= 根据轴对称的性质，得AEFG， FOE=D=90 又FEO=AED， FEOAED， AD 可得FO= 又ABCD， EFO=AGO，FEO=GAO， FEOGAO， FO=GO， FG=2FO= 折痕FG的长是10解：（1）图中，BE=DF+EF； 图中，BE=DF-EF； 图中，BE=EF-DF （2）证明：如图题，ABCD是正方形， AB=AD BEPA，DFPA， AEB=AFD=90，ABE+BAE=90 DAF+BAE=90， ABE=DAF， RtABERtDAF BE=AF，AE=DF， 而AF=AE+EF， BE=DF+EF11解：（1）有4对全等三角形，分别为 AMOCNO，OCFOAE，AMECNF，ABCCDA （2）证明：OA=OC，1=2，OE=OF， OAEOCE，EAO=FCO 在ABCD中，ABCD， BAO=DCO，MAE=NCF12解：（1）四边形PMCN不可能是菱形 理由是：PMABCD，PNADBC， PMCN是平行四边形 AC=BC，ACBC， ABC=BAC=45， CMP=MPC=45， PC=CMPM， 四边形PMCN不可能是菱形 （2）S四边形PMCN=CMPC=PC2=（2-x）2， SABM=ACBM=2x=x （2-x）2=x， 解得x1=1，x2=5（舍） 所以当x=1时，四边形PMCN的面积与ABM的面积相等13略14解：（1）由题意，得DEFCGF， ， FC=40（cm） （2）如题图，矩形顶点B所对顶点为P，则 当顶点P在AE上时，x=60， y的最大值为6030=1 800（cm2） 当顶点P在EF上时， 根据题意，得GFCGPN， ，NG=x， BN=120-x， y=x（120-x）=-（x-40）2+2 400 当x=40时，y的最大值为2400（cm2） 当顶点P在FC上时，x=40， y的最大值为6040=2 400cm2 综合，得x=40cm时，矩形的面积最大， 最大面积为2 400cm2 （3）根据题意，正方形的面积y（cm2）与边长x（cm）满足的函数表达式为 y=-x2+120x， 又正方形的最大面积为x2， x2=-x2+120x， 解得x1=0（舍），x2=48（cm）15证明：ABCD是等腰梯形， B=C E是BC中点， BE=CE 又AB=CD， ABEDCE AE=DE， ADE是等腰三角形16（1）证明：过A作DC的垂线AM交DC于M， 则AM=BC=2，又tanADC=2， DM=1，即DC=BC （2）解：ECF是等腰直角三角形 理由：DE=BF，EDC=FBC，DC=BC， DECBFC CE=CF，ECD=BCF， ECF=BCF+BCE=ECD+BCE=BCD=90 即ECF是等腰直角三角形 （3）设BE=k，则CE=2k，EF=2k， BEC=135，又CEF=45， BEF=90， BF=3k， sinBFE=17解：（1）D1E=D2F C1D1C2D2，C1=AFD2 又ACB=90，CD是斜边上的中线， DC=DA=DB， 即C1D1=C2D2=BD2=AD1， C1=A，AFD2=A， AD2=D2F同理：BD1=D1E 又AD1=BD2，AD1=BD1， D1E=D2F （2）在RtABC中，AC=8，BC=6， 由勾股定理，得AB=10 即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5 又D2D1=x， D1E=BD1=D2F=AD2=5-x C2F=C1E=x 在BC2D2中，C2到BD2的距离就是ABC的AB边上的高，为 设BED1的BD1边上的高为h， 由探究，得BC2D2BED1， ，h= SBED1=BD1h=（5-x）2 又C1+C2=90，EPC1=90 又C2=B，sinB=，cosB= PC2=x，PF=x， SFC2P=PC2PF=x2， 而y=SBC2D2 -SBED1 -SFC2P =SABC -（5-x）2-x2 y=-x2+x（0x5） （3）存在 当y=SABC时，即-x2+x =6 整理，得3x2-20x+25=0， 解得x1=，x2=5 即当x=或x=5时，重