高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理学案（有答案）.doc

高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理学案（有答案） 第五章 解三角形与平面向量 学案23 正弦定理和余弦定理导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题自主梳理 1三角形的有关性质(1)在ABC中，ABC_；(2)ab_c，ab c；(3)a b sin A_sin B A_B；(4)三角形面积公式：SABC12ah12absin C12acsin B_；(5)在三角形中有：sin 2Asin 2B AB或_ 三角形为等腰或直角三角形；sin(AB)sin C，sin AB2cos C2.2正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容_2Ra2_，b2_，c2_.变形形式a_，b_，c_；sin A_，sin B_，sin C_；abc_；abcsin Asin Bsin Casin Acos A_；cos B_；cos C_.解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.自我检测 1(2010 上海)若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC( )A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2(2010 天津)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b23bc，sin C23sin B，则A等于 ( )A30B60C120D1503(2011 烟台模拟)在ABC中，A60，b1，ABC的面积为3，则边a的值为( )A27B.21C.13D34(2010 山东)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2，b2，sin Bcos B2，则角A的大小为_5(2010 北京)在ABC中，若b1，c3，C23，则a_.探究点一 正弦定理的应用例1 (1)在ABC中，a3，b2，B45，求角A、C和边c；(2)在ABC中，a8，B60，C75，求边b和c.变式迁移1 (1)在ABC中，若tan A13，C150，BC1，则AB_；(2)在ABC中，若a50，b256，A45，则B_.探究点二 余弦定理的应用例2 (2011 咸宁月考)已知a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，且a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)若c3a，求tan A的值变式迁移2 在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B23，b13，ac4，求a.探究点三 正、余弦定理的综合应用例3 在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状变式迁移3 (2010 天津)在ABC中，ACABcos Bcos C.(1)证明：BC；(2)若cos A13，求sin4B3的值1解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用2在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍3在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2010 湖北)在ABC中，a15，b10，A60，则cos B等于 ( )A223B.223C63D.632.在ABC中AB3，AC=2，BC= ，则AB AC等于 ( )A32B23C.23D.323在ABC中，sin2A2cb2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为( )A正三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形4(2011 聊城模拟)在ABC中，若A60，BC43，AC42，则角B的大小为( )A30B45C135D45或1355(2010 湖南)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C120，c2a，则 ( )Aa bBa bCabDa与b的大小关系不能确定题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6在ABC中，B60，b2ac，则ABC的形状为_7(2010 广东)已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b3，AC2B，则sin C_.8(2011 龙岩模拟)在锐角ABC中，ADBC，垂足为D，且BDDCAD236，则BAC的大小为_三、解答题(共38分)9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ，ABAC=3.(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值10(12分)(2010 陕西)在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长11(14分)(2010 重庆)设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b23c23a242bc.(1)求sin A的值；(2)求2sinA4sinBC41cos 2A的值答案 自主梳理1(1) (2) (3) (4)12bcsin A (5)AB2 2.asin Absin Bcsin C b2c22bccos A a2c22accos B a2b22abcos C 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C a2R b2R c2R sin Asin Bsin C b2c2a22bc a2c2b22ac a2b2c22ab自我检测1C 2.A 3.C4.6 5.1课堂活动区例1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况具体判断方法如下：在ABC中已知a、b和A，求B.若A为锐角，当ab时，有一解；当absin A时，有一解；当bsin A a b时，有两解；当a bsin A时，无解若A为直角或钝角，当a b时，有一解；当ab时，无解解 (1)由正弦定理asin Absin B得，sin A32.a b，A B，A60或A120.当A60时，C180456075，cbsin Csin B622；当A120时，C1804512015，cbsin Csin B622.综上，A60，C75，c622，或A120，C15，c622.(2)B60，C75，A45.由正弦定理asin Absin Bcsin C，得ba sin Bsin A46，ca sin Csin A434.b46，c434.变式迁移1 (1)102 (2)60或120解析 (1)在ABC中，tan A13，C150，A为锐角，sin A110.又BC1.根据正弦定理得ABBC sin Csin A102.(2)由b a，得B A，由asin Absin B，得sin Bbsin Aa256502232，0 B 180B60或B120.例2 解 (1)a2c2b2ac，cos Ba2c2b22ac12.0 B ，B3.(2)方法一 将c3a代入a2c2b2ac，得b7a.由余弦定理，得cos Ab2c2a22bc5714.0 A ，sin A1cos2A2114，tan Asin Acos A35.方法二 将c3a代入a2c2b2ac，得b7a.由正弦定理，得sin B7sin A.由(1)知，B3，sin A2114.又b7a a，B A，cos A1sin2A5714.tan Asin Acos A35.方法三 c3a，由正弦定理，得sin C3sin A.B3，C(AB)23A，sin(23A)3sin A，sin23cos Acos23sin A3sin A，32cos A12sin A3sin A，5sin A3cos A，tan Asin Acos A35.变式迁移2 解 由余弦定理得，b2a2c22accos Ba2c22accos23a2c2ac(ac)2ac.又ac4，b13，ac3，联立ac4ac3，解得a1，c3，或a3，c1.a等于1或3.例3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系解 方法一 (a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB) a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正弦定理，得sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0，sin 2Asin 2B，由0 2A 2，0 2B 2，得2A2B或2A2B，即ABC是等腰三角形或直角三角形方法二 同方法一可得2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正、余弦定理，即得a2bb2c2a22bcb2aa2c2b22ac，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0，ab或c2a2b2，三角形为等腰三角形或直角三角形变式迁移3 解题导引 在正弦定理asin Absin Bcsin C2R中，2R是指什么？a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C的作用是什么？(1)证明 在ABC中，由正弦定理及已知得sin Bsin Ccos Bcos C.于是sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0.因为 BC ，从而BC0.所以BC.(2)解 由ABC和(1)得A2B，故cos 2Bcos(2B)cos A13.又0 2B ，于是sin 2B1cos22B223.从而sin 4B2sin 2Bcos 2B429，cos 4Bcos22Bsin22B79.所以sin4B3sin 4Bcos 3cos 4Bsin 3427318.课后练习区1D 2.D 3.B 4.B 5.A6等边三角形解析 b2a2c22accos B，aca2c2ac，(ac)20，ac，又B60，ABC为等边三角形71解析 由AC2B及ABC180知，B60.由正弦定理知，1sin A3sin 60，即sin A12.由a b知，A B，A30，C180AB180306090，sin Csin 901.8.4解析 设BAD，DAC，则tan 13，tan 12，tanBACtan()tan tan 1tan tan 1312113121.BAC为锐角，BAC的大小为4.9解 (1)因为cosA2255，所以cos A2cos2A2135，sin A45.(4分)又由AB AC3得bccos A3，所以bc5，因此SABC12bcsin A2.(8分)(2)由(1)知，bc5，又bc6，由余弦定理，得a2b2c22bccos A(bc)2165bc20，所以a25.(12分)10解 在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得，cosADCAD2DC2AC22AD DC10036196210612，(6分)ADC120，ADB60.(8分)在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得ABsinADBADsin B，ABAD sinADBsin B10sin 60sin 4510322256.(12分)11解 (1)3b23