数学人教版九年级上册24.4.1弧长和扇形面积.doc

24.4.1弧长和扇形面积【教学目标】知识与技能：1、理解弧长和圆周长的关系，能用比例的方式推导弧长公式，并能用弧长公式进行相关计算。 2、类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式，并能用扇形面积公式进行相关计算.过程与方法：1、经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想。 2、通过应用弧长和扇形面积解决问题，培养学生的计算能力和解决问题的能力，发展学生的应用意识。情感态度与价值观：1、经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。2、通过应用弧长和扇形面积解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性。【教学重点】 弧长和扇形面积公式的推导及应用。【教学难点】 应用公式解决实际问题。【教具准备】 多媒体课件PPT【教学过程】教师活动学生活动设计意图一、创设情境，激发求知情境：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计算弧长的问题引入：如何求弧AB的长度呢？学习了今天弧长的计算，你就能求出弧AB的长度了二、探究新知，建立模型（一）探求弧长公式问题1:我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分。想一想，半径为R的圆，周长为 ；问题2:圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？问题3:在同圆或等圆中，每一个1的圆心角所对的弧长有怎样的关系？问题4: 1的圆心角所对的弧长是多少？（是周长的，为。）问题5: n的圆心角所对的弧长是多少？（是1的圆心角所对的弧长的n倍，即乘n,就可以得到n的圆心角所对的弧长为）教师强调：公式中的n表示1的圆心角的倍数，它是不带单位的，公式中180也是表示倍分关系，也不带单位。问题6:公式中一共有几个变量？（强调：在三个变量中，已知任意两个，都可以求出第三个。）思考回答思考并回答 思考、猜想、归纳。让学生自主学会对公式进行演变。温故引新，联系已学知识。激发学生思考，进一步培养学生由特殊到一般的思维意识。培养学生解决问题和知识迁移能力。引起学生思考，激发学生学习积极性。【板书】： 1、弧长公式：（二）弧长公式的运用过渡：现在你能根据弧长公式求出这段弯形管道的“展直长度”吗？例1：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果取整数）。分析：（1）管道由几部分组成？分别是哪些部分？（2）哪些部分的长度是已知的，哪些部分的长度是未知的？(AB和CD的长度是已知的，只需求弧AB的长度。)（3）要求弧AB的长度，需要知道什么？（弧AB所在圆的半径和弧AB所对的圆心角的度数）解：弧AB的长管道的展直长度：过渡：下面我们就利用弧长公式来进行相关的计算。练习1：1、在半径为1的圆中，圆心角为1200，则弧AB的长是 问：把圆心角和半径，直接带入公式就可以求出弧长。你还有更简便的方法吗？指出：（1）对特殊在圆心角(600 9001200),可以直接算出它占周角在几分之几，然后去乘整个圆的周长。（2）题目若没有写明精确度，则结果保留。2、一圆弧的半径为2cm，弧长为，则弧长所对的圆心角是 3、已知1000的圆心角所对的弧长为 5，则该圆的半径为 问：通过这组题目的学习，你有什么收获？小结：在弧长公式中， l、n、R 三个量中已知任意两个，都可以求出第三个。（直接带入，左右约分）4、如图，一块有30角的直角三角板ABC，在水平桌面上BCAA绕点C按顺时针方向旋转到ABC的位置若BC=15，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为 .分析：（1）三角板在旋转过程中，顶点A所经过的路径是什么图形？ （2）要求这段弧长，需要知道哪些量？小结：（1）图形旋转的过程中，每一个点所经过的路径都是一条圆弧。（2）求弧长需要两个条件：弧所在圆的半径弧所对的圆心角。当题目中没有直接给出这两个条件时，需要利用圆的相关知识求出圆的半径或弧所对的圆心角。师生一起回答完成学生独立回答，其他同学点评。学生分析归纳，教师指导。从知识走向生活，培养学生应用能力和综合分析能力。先思考再回答，培养学生独立回答问题的能力，并让其他同学点评，不断强化学生对知识的掌握。培养学生分析问题的能力，并利用圆规把问题直观化。（三）扇形面积引入：我们已经学会了求弧的长度，如图，由圆心角所对的弧和由组成圆心角的两条半径所围成的图形叫扇形。（1）定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形。（2）问题1：从定义看，扇形的周长由哪些部分组成？（两条半径和弧长）问题2：从图形看，扇形的面积跟哪些量有关？（圆的半径和圆心角）（四）探求扇形面积公式思考：我们知道，扇形是圆的面积的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分。类比弧长公式的推导过程，你能推导出扇形面积公式吗？（同桌讨论）学生推导得出：扇形面积公式为）教师强调：与弧长公式类似，公式中的n表示1的圆心角的倍数，它是不带单位的，公式中360也是表示倍分关系，也不带单位。问题1:公式中一共有几个变量？（强调：在三个变量中，已知任意两个，都可以求出第三个。）问题2:比较扇形面积公式和弧长公式，它们有什么不同点？（分母不同，分子中半径的指数也不同）问题3:你能用弧长公式表示扇形的面积吗？教师引导：（1）观察扇形面积公式，分子可以写成，分母中的360可以写成1802. 我们不难发现，扇形面积公式中包含弧长公式。所以，扇形面积也可以这样求：，其中，是扇形的弧长，为半径（2）从公式的结构看，这个公式跟哪一种图形的面积公式类似？（与三角形的面积公式类似。只要把扇形看作是一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高就可以了。）小结：扇形的两个面积公式在运用时，要根据题目条件灵活选用，已知扇形的圆心角和半径，求扇形面积时，用，如果已知扇形的弧长和半径，求扇形面积时，用。过渡：下面我们就利用扇形的面积公式来求相关的量。练习2：1、在半径为4的圆中，60的圆心角所对的扇形面积为 2、已知扇形的半径为2，面积为，扇形的圆心角为 。 3、如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为 。小结：1、在每一个公式中，已知任意两个变量，都代入求出第三个变量。2、已知l、S、n、R 中任意两个量，都可以求出另都外两个量。（五）扇形面积公式的运用过渡：我们已经学会了扇形面积的求法，但如果我们所遇到的图形是不规则的，要如何求面积呢？例2：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）分析：1、截面上有水部分是什么形状？我们可以用什么方法来求它的面积？（平时我们是如何求不规则图形的面积？常用割补法）2、如何用割补法求图中阴影部分（弓形）的面积？图中阴影部分可以看成哪些规则图形面积的和或差？（连半径构造扇形，用扇形面积减去三角形面积）3、要求扇形面积，需要知道哪些量？已知条件中有吗？还需要求哪个量？（圆心角度数）要求三角形的面积，需要求出哪些量？可以以那条边为底？图中有出现AB边上的高吗？怎么办？4、高OD知道，差底边AB，在圆中求弦AB，可以先求什么？（AD）AD能求吗？根据什么？（勾股定理）板书：解题过程小结：本题中求弓形的面积可转化为两个规则在基本图形（扇形、三角形）面积的和或差来解决。这是求阴影面积最常用在方法，也就是将所求面积转化为其他几个规则图形面积的和或差，在圆中经常转化为扇形和三角形。三、练习巩固，深化提高练习3：ACB1、如图, A ，B， C两两不相交，且半径都是0.5m，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为 。PAOB2、如图,PA，PB切O于A、B，若P=60, O的半径为3，求阴影部分的面积。 师生回顾并回答。同桌讨论探究出结果并交流学生自己发现老师指导学生独立回答，其他同学点评。利用演示，让问题变得更直观。让学生发表自己的见解，老师再指导修正。让学生谈谈自己的收获。学生谈思路 培养学生合作和分享及类比能力。培养学生大胆探索的精神。通过学生回答问题及其他学生点评，进一步巩固灵活运用公式，达到快速解决问题的目的。从知识走向生活，培养学生应用能力和综合分析能力。培养学生归纳能力。充分调动学生的积极性，体现学生的主体地位。四、总结反思，升华理解（