2013年高考数学试题(17)推理与证明.doc

2013年全国高考数学试题分类解析推理与证明部分1.（福建文科12）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k=5n+k丨nZ，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：20111-33；Z=01234;“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b0”.其中，正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4答案：C2.（广东理科8）设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集，且，有；，有，则下列结论恒成立的是A中至少有一个关于乘法是封闭的 B中至多有一个关于乘法是封闭的C中有且只有一个关于乘法是封闭的 D中每一个关于乘法都是封闭的（A）若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封闭的，排除B、 C，若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，此时只有关于乘法是封闭的，排除D3.（广东理科20）（本小题满分14分）设，数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，（1）解： 当时，则是以为首项，为公差的等差数列，即 当且时，当时，是以为首项，为公比的等比数列综上所述（2）方法一：证明： 当时，； 当且时，对于一切正整数，方法二：证明： 当时，； 当且时，要证，只需证，即证即证即证即证，原不等式成立对于一切正整数，4.（广东文科10）设是R上的任意实值函数，如下定义两个函数和；对任意，；=.则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D.解：，故A不成立；，故B成立。5.（广东文科20）（本小题满分14分）设，数列满足,（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，。解:(1)依题意得：，取倒数得：，当时，数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，则当时，令，则，用待定系数法得：，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，数列的通项公式是（2） 当时，不等式可以验证，显然成立； 当时，不等式等价于证明，即证明 又 6.(湖北理科15）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1n=2n=3n=4由此推断，当时，黑色正方形互不相邻着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有 种.（结果用数值表示）【答案】解析：设个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为，由图可知，由此推断，故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种着色方案，故分别填.7.（湖南理科16）对于，将表示为，当时，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则（1） （2）答案：（1）2；（2）解析：（1）因，故；（2）在2进制的位数中，没有0的有1个，有1个0的有个，有2个0的有个，有个0的有个，有个0的有个。故对所有2进制为位数的数，在所求式中的的和为：。又恰为2进制的最大7位数，所以。8.（湖南理科22）（本小题满分13分） 已知函数() =，g ()=+。 （）求函数h ()=()g ()的零点个数，并说明理由； （）设数列满足，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有.解析：（I）由知，而， 且，则为的一个零点， 且在内有零点，因此至少有两个零点解法1：，记，则。当时，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；所以，当时，单调递减，而，则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。解法2：，记，则。当时，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，综上所述，有且只有两个零点。（II）记的正零点为，即。（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：当时，显然成立；假设当时，有成立，则当时，由知，因此，当时，成立。故对任意的，成立。（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：当时，显然成立；假设当时，有成立，则当时，由知，因此，当时，成立。故对任意的，成立。综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.9.（江西理科7）观察下列各式:则的末四位数字为 ( ) A.3125 B. 5625 C.0625 D.8125答案：D 解析：又，所以的末四位数与的末四位数相同。10.（江西理科10）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )答案：A 解析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹是个大圆，而N点的轨迹是四条线，刚好是M产生的大圆的半径。11（江西文科6）.观察下列各式：则，则的末两位数字为（ ） A.01 B.43 C.07 D.49答案：B 解析： ，末两位数以4为周期，又，所以与的末两位数相同。12（江西文科10）.如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系轴上方，其“底端”落在原点处，一顶点及中心在轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）答案：A 根据中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M的位置会先变高，当C到底时，M最高，排除CD选项，而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B ,选A。13(浙江理10)设为实数，.记集合，若分别为集合的元素个数，则下列结论不可能的是 （A）且 （B）且 （C）且 （D）且 【答案】D 【解析】当时，注意到和的判别式相同，设当且时，则且 ；当且时，则且 ；当且，两个根不相同时有且 ；而当时，则欲使则，故必为的根，此时，又所以，即是方程的根，与矛盾。14（山东理15）设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， .【答案】【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.15（陕西理13）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第个等式为 .【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论行数、项数及其变化规律是解答本题的关键【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数， 行数 等号左边的项数1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7 所以，即【答案】16（陕西文13）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式应为_.【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出第五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数， 行数 等号左边的项数1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7则第5行等号的左边有9项，右边是9