福师1203考试批次《数学分析选讲》复习题及参考答案.doc

福师1203考试批次数学分析选讲复习题及参考答案本课程复习题所提供的答案仅供学员在复习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。本复习题页码标注所用教材为：教材名称单价作者版本出版社数学分析41华东师范大学数学系第三版高等教育出版社如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点福师1203考试批次数学分析选讲复习题及参考答案一一、（12分）选择题（将符合要求的结论题号，填在题末的括号内，每题至多选两个题号）：1. 与的定义等价的是：（ ）A、 总有；B、 至多只有的有限项落在之外；C、存在自然数N，对当，有；D、存在自然数N，对有；答案：B,D2下列命题中正确的是：（ ）A、若函数在内无界，则在上不可积； B、若函数在上不连续，则在上不可积； C、若函数在上可积，则; D、若函数在上可积，则在上也可积，反之不然.答案：AD3.函数在a,b上可积的必要条件是( )A、有界 B、连续 C、单调 D、存在原函数答案：A二、填空题：（共10分，每题2分）1.设收敛，则= 。考核知识点：级数的收敛性。参见教材（下册）P1-5提示：利用P3页的推论进行计算。2. 。考核知识点：二元函数的极限。参见教材（下册）P93-96.提示：3.设，则 。考核知识点：原函数与不定积分。参见教材（上册）P177-180.提示：4.已知幂级数在处收敛，则它的收敛半径为_。考核知识点：幂级数的收敛半径。参见教材（下册）P44-45.提示：收敛半径为2.5.函数的麦克劳林展开式为_.考核知识点：麦克劳林展开式。参见教材（下册）P52-57.提示：泰勒展式中使处的展开式即是麦克劳林展开式。可利用的展式来求。三、（40分）计算题1. 求考核知识点：求函数的极限。参见教材（上册）P127-128提示：，2.考核知识点：求函数的极限。变限积分。参见教材（上册）P127-130，P2213.考核知识点：求不定积分。参见教材（上册）P182-188.提示：利用分步积分法来求解。4.考核知识点：求定积分。参见教材（上册）P225-229.提示：利用换元积分法来求解。可令，四、（10分）指出函数的不连续点，并判定不连续点的类型。考核知识点：间断点，参见教材(上册)P71提示：不连续点为0， 2， -2。具体类型参照两类间断点的判定说明。五、（10分）证明不等式。当时，考核知识点：中值定理及函数的单调性。参见教材（上册）P119-124提示：利用拉格朗日中值定理来证明。六、（10分）求函数在闭区间上的最大值与最小值。考核知识点：最大值与最小值，参见教材(上册)P145提示：先画出f(x)的图像，注意：关于y轴对称的图像。然后找到目标区间。标出y轴的大值与小值即可。七、（8分）设 证明在（0，0）点连续考核知识点：二元函数连续，参见教材(下册)P100提示：根据二元函数在某点连续的定义即可。福师1203考试批次数学分析选讲复习题及参考答案二一、（12分）选择题（将符合要求的结论题号，填在题末的括号内，每题至多选两个题号）：1.下列级数中条件收敛的是（ ）A、 B、 C、 D、答案：B2. 下列命题中错误的是：（ ）A、若，则是的不定积分，其中为任意常数； B、若在上无界，则在上不可积； C、若在上有界，则在上可积； D、若在上可积，则在上可积。答案:C3. 若不是无穷大量，则（ ）A、必存在收敛子列； B、任一子列均不是无穷大量；C、任一子列均有界； D、必存在有界子列；答案：A.D.二、填空题：（共10分，每题2分）1.若数项级数的第个部分和，则其通项_，和_.考核知识点：数项级数。参见教材（下册）P1-5.提示：2.曲线与直线及轴所围成的曲边形面积为_。考核知识点：定积分的应用。参见教材（上册）P239-243.提示：利用239页的公式（1）进行计算。3.已知由定积分的换元积分法可得，则。考核知识点：定积分的换元积分法。参见教材（上册）P224.提示：4. 积分的值为 。考核知识点：定积分，参见(上册)P200提示：根据定积分的有理式与三角函数的变换求解5. 设，则当x和y均趋向于0时，的极限为_。考核知识：二元函数的极限，参见(下册)P96提示：正无穷三、（40分）计算题1. 考核知识点：不定积分，参见(上册)P176-199提示：。2. 考核知识点：不定积分，参见(上册)P176-199提示：3.考核知识点：洛必达法则。参见教材（上册）P127-130提示：对分子分母分别求导，分子是一个变限积分。4.考核知识点：定积分的计算。参见教材（上册）P224-229.提示：，当，当四（10分）讨论函数项级数在区间上的一致收敛性。考核知识点：函数项级数的一致收敛性。参见教材（下册）P32-35.提示：利用P33页的M判别法来判断。，而是收敛的。五（10分）求幂级数的收敛域以及收敛区间内的和函数。考核知识点：幂级数及和函数。参见教材（下册）P44-47.提示：收敛半径为。六（10分）设函数满足，求考核知识点：不定积分。参见(上册)P176-199提示：令，则七（8分）证明考核知识点：定积分的计算。参见教材（上册）P126提示：可参考教材P126页的例5.福师1203考试批次数学分析选讲复习题及参考答案三一、（12分）选择题（将符合要求的结论题号，填在题末的括号内，每题至多选两个题号）：1、设的一个原函数为，则=( )A、 B、 C、 D、考核知识点：原函数。参见教材（上则）P176-177提示：C2、已知反常积分收敛于1，则=( )A、 B、 C、 D、考核知识点：反常积分。参见教材（上册）P265.提示：利用反常积分的概念。D3、若函数f在闭区间上连续，则它在此闭区间上()A、不一定一致连续B、一致连续C、肯定不一致连续D、性质未定考核知识点：一致连续性定理，参见(上册)P80提示：B二、填空题：（共10分，每题2分）1.。考核知识点：数列极限。参见教材（上册）P23-35.提示：先进行通分。利用等差数列的求和公式。2. 设,求其导数_。考核知识点：导数的四则运算，参见教材(上册)P95，101提示：-sin x lnx+(1/x)cos x3. 设收敛于S，则收敛于 。考核知识点：数项级数，参见教材(下册)P1-5提示:3S4.函数的周期是_。考核知识点：函数的周期。参见教材（上册）P19提示：的周期是。5.=_。考核知识点：数列极限。参见教材（上册）P23-28提示：0三、（40分）计算题1. 考核知识点：求函数的极限。参见教材（上册）P56.2. 考核知识点：求不定积分。参见教材（上册）P176-187.提示：3.设z=x+y+，求.考核知识点：偏导数提示：4. 考核知识点：定积分的计算。参见教材P224-226.提示：利用分步积分法四（10分）计算二重积分I=，其中D是由x=0，y=1及y=x所围成的区域.考核知识点：二重积分。参见教材（下册）218-222.提示：五（10分）求曲线的凸性和拐点考核知识点：函数的凸性与拐点。参见教材P148-153.提示：曲线在上为上凸，在上为下凸，为