考研数学数二十年真题答案.docx

考研资料2012年考研数学二答案 2011年考研数学二答案选择题：CBCC ABDD填空题：9. 10. 11. 12. 13 14. 解答题：15. 解：18. 解：19.解：20. 解：21. 解：22. 解：23. 解： 2010年考研数学二答案答案：BACD BDAD9. 10.y=2x 11.12. 13.3cm/s 14. 315.列表讨论如下：x-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)-0+0-0+极小极大极小16.17. S2S1xy18解： 19解：20解：21.解：22.23. 2009年考研数学二答案 (1) 【答案】【解析】由于,则当取任何整数时,均无意义.故的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是的解.故可去间断点为3个,即.(2) 【答案】【解析】 ,故排除.另外,存在,蕴含了,故排除.所以本题选.(3) 【答案】【解析】因可得.,又在处,故为函数的一个极小值点.(4) 【答案】【解析】的积分区域为两部分：,将其写成一块,故二重积分可以表示为,故答案为.(5) 【答案】【解析】由题意可知,是一个凸函数,即,且在点处的曲率,而,由此可得,.在上,即单调减少,没有极值点.对于,(拉格朗日中值定理)而,由零点定理知,在上,有零点.故应选.（6）【答案】 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：时，且单调递减。时，单调递增。时，为常函数。时，为线性函数，单调递增。由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为。（7）【答案】 B 【解析】根据若分块矩阵的行列式即分块矩阵可逆（8）【答案】 A【解析】，即：二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）【答案】【解析】所以 所以 切线方程为（10）【答案】【解析】 因为极限存在所以， ，。（11）【答案】0【解析】令 所以 即 （12）【答案】【解析】对方程两边关于求导有，得对再次求导可得，得 当时，代入得（13）【答案】【解析】因为，令得驻点为。又，得，故为的极小值点，此时，又当时，；时，故在上递减，在上递增。而，所以在区间上的最小值为。(14)【答案】【解析】因为相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值是，而是一个常数，是矩阵的对角元素之和，则。（15）【解析】（16）【解析】方法一：令得方法二： 即（17）【解析】 （18）【解析】微分方程得其通解为任意常数令，则，微分方程变形为得到其中为任意常数即得到其中为任意常数又因为通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2，于是可得，从而，于是，所求非负函数，又由可得，在第一象限曲线表示为于是D围绕轴旋转所得旋转体的体积为，其中 （19）【解析】由得，（20）【解析】由题意，当时，即，得，又代入得，从而有，当时，得 的通解为，令解为，则有，得，故，得的通解为，由于是内的光滑曲线，故在处连续，于是由，故时，在处连续，又当 时，有，得，当时，有，得，由得，即 ，故 的表达式为或，又过点，所以。（21）【解析】（）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且。根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（）任取，则函数满足；在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：故存在，且。（22）【解析】（）解方程 故有一个自由变量，令，由解得， 求特解，令，得 故 ，其中为任意常数 解方程 故有两个自由变量，令，由得令，由得求特解 故 ，其中为任意常数（）证明：由于 故 线性无关.（23）【解析】（） （） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则1) 若，则 ， ，不符题意2) 若 ，即，则，符合3) 若 ，即，则 ，不符题意综上所述，故 2008考研数学二答案 (1) 【答案】应选(D).【详解】令，可得有三个零点故应选(D).(2) 【答案】 应选(C).【详解】，其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形ACD的面积故应选(C).(3)【答案】 应选(D).【详解】由，可知其特征根为，故对应的特征值方程为所以所求微分方程为应选(D).(4) 【答案】 应选(A).(5) 【答案】 应选(B).【详解】若若单调，则由函数在内单调有界知，若单调有界，因此若收敛故应选(B).(6) 【答案】 应选(A).【详解】利用极坐标，得，所以故应选(A).(7) 【答案】应选(C).【详解】，故，均可逆故应选(C).(8) 【答案】 应选(D).【详解】则，记，则则，正负惯性指数相同.故选D.(9) 【答案】 应填(10)【答案】 应填(11)【答案】 应填 (12)【答案】 (13)【答案】 (14)【答案】应填(15)【详解1】(或，或)【详解2】（或）(16) 【详解1】由得，积分得由条件，得，即，故 方程组两端同时对求导得所以，从而（17）【详解1】 由于，故是反常积分令，有，【详解2】 令，有，所以(18)【详解】将区域分成如图所示得两个子区域和于是(19) 【详解】根据题意，因为旋转体体积，侧面积所以上式两边同时对求导得解得，由，得所以 或 (20) (I) ；(II) 若函数具有二阶导数，且满足，则至少存在一点，使得【证法1】若函数在闭区间上连续，则必存在最大值和最小值即，于是有即根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得因此而的证（II）存在，使得由，知由，利用微分中值定理，存在，使得由，利用微分中值定理，存在，使得存在存在，使得（21）【详解1】作拉格朗日函数令解之得故所求得最大值为72,最小值为6【详解2】由题意知，在条件下的最值令解之得故所求得最大值为72,最小值为6(22) 【详解】（I）【证法1】数学归纳法记以下用数学归纳法证明当时，结论成立当时，结论成立假设结论对小于的情况成立将按第一行展开得故 【注】本题（1）也可用递推法由得，于是（I）【证法2】消元法记（II）【详解】当时，方程组系数行列式，故方程组有惟一解由克莱姆法则，将得第一列换成，得行列式为所以，（III）【详解】 当时，方程组为此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为，所以方程组有无穷多组解，其通解为，其中为任意常数 (23)【详解】(I)【证明】设有一组数，使得 用左乘上式，得因为 , ，所以 ，即由于是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此，从而有故 线性无关（II）由题意，而由（I）知，线性无关，从而可逆故 2007考研数学二答案BACDD DCBAB（11）.（12）.（13）.（14）.（15）.（16）.（17）.（18）.（19）.（20）.（21）.（22）.（23）.（24） 2006考研数学二答案一、填空题（1）曲线的水平渐近线方程为。（2）设函数 在x=0处连续，则a=。（3）广义积分。（4）微分方程的通解是（5）设函数确定，则 当x=0时，y=1，又把方程每一项对x求导， 二、选择题(6) 解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B|A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.（7）A 。由严格单调增加，是凹的，即知。（8）B 。（9）C 。 ，（10）D 。 特征根为1和-2，故特征方程为（11）C 。（12）D 。 今 代入(1) 得 今 故选D。(13)A本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若a1,a2,as线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0,用A左乘等式两边,得c1Aa1+c2Aa2+csAas=0,于是Aa1,Aa2,Aas线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. a1,a2,as 线性无关 r(a1,a2,as )=s.2. r(AB) r(B).矩阵(Aa1,Aa2,Aas)=A( a1, a2,as ),因此r(Aa1,Aa2,Aas) r(a1, a2,as ).由此马上可判断答案应该为(A).1 -1 0(14) B。用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA , C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1.0 0 1三、解答题（15）解：泰勒公式代入已知等式得整理得比较两边同次幂函数得 B+1=AC+B+=0式-得代入得代入得（16）解：原式=（17）解：用极坐标系 ，。（18）证：（1）单调减少有下界根据准则1，存在在两边取极限得因此（2）原式 离散散不能直接用洛必达法则先考虑 用洛必达法则（19）证：令只需证明单调增加（严格） 单调减少（严格）又故单调增加（严格）得证（20）证：（I）（II）令（21）解：（I）（II）切线方程为，设，则得点为（2，3），切线方程为（III）设L的方程则由于（2，3）在L上，由 (22) 解: 设a1,a2,a3是方程组的3个线性无关的解,则a2-a1,a3-a1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)2.两个不等式说明r(A)=2. 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|b)= 4 3 5 -1 -1 0 1 1 5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0得同解方程组 x1=2-2x3+4x4， x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.(23) 解: 条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 a0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又a1,a2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于a1,a2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:ca0, c0.属于0的特征向量:c1a1+c2a2, c1,c2不都为0. 将a0单位化,得h0=(,)T.对a1,a2作施密特正交化,的h1=(0,-,)T, h2=(-,)T.作Q=(h0,h1,h2),则Q是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .0 0 0 2005考研数学二答案（1）【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： =，于是 ，从而=方法二： 两边取对数，对x求导，得，于是 ，故=（2） 。【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=，于是所求斜渐近线方程为（3） .【分析】 作三角代换求积分即可.【详解】 令，则 =（4） 【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式： ，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为，于是通解为 =，由得C=0，故所求解为（5） .【分析】 题设相当于已知，由此确定k即可.【详解】 由题设，=，得（6）2【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 =，于是有 （7）C 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】 当时，；当时，；当时，即 可见f(x)仅在x=时不可导。（8）A【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即 ，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=, 排除(D); 故应选(A).（9）A 【分析】 先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】 当x=3时，有，得（舍去，此时y无意义），于是 ，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：，令y=0, 得其与x轴交点的横坐标为：, 故应(A).（10）D【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性.【详解】 由轮换对称性，有 = =（11）B【分析】 先分别求出、，再比较答案即可.【详解】 因为， ，于是 ， ， ，可见有.（12）D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且，所以x=0为第二类间断点； ，所以x=1为第一类间断点.（13）B【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】 方法一：令，则，.由于线性无关，于是有 当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ，可见，线性无关的充要条件是（14）C【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 ，于是，即.（15）【分析】 此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形.【详解】 由于,于是 = =（16）【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积，再根据建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.【详解】 如图，有 ，由题设，得 ，而，于是，两边对y求导得，故所求的函数关系为：（17）【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部积分，知 = =（18）【分析】 先将转化为，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可.【详解】 ，代入原方程，得 .解此微分方程，得 ，将初始条件代入，有. 故满足条件的特解为（19）【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I） 令，则F(x)在0，1上连续，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在 使得，即.（II） 在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是 （20）【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值.【详解】 由题设，知 ，于是 ，且 ，从而 ，再由f(1,1)=2，得 C=2, 故 令得可能极值点为x=0,y=0. 且 ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点.再考虑其在边界曲线上的情形：令拉格朗日函数为，解 得可能极值点；代入f(x,y)得 ，可见z=f(x,y)在区域内的最大值为3，最小值为-2.（21）【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记，于是=+=（22）【分析】向量组可由向量组线性表示，相当与方程组：.均有解，问题转化为=是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可. 而向量组不能由向量组线性表示，相当于至少有一个向量不能由表示，即至少有一方程组，无解.【详解】 对矩阵作初等行变换，有 = ，当a=-2时，, 显然不能由线性表示，因此；当a=4时，然均不能由线性表示，因此.而当且时，秩，此时向量组可由向量组线性表示.又 ，设向量组不能由向量组线性表示，必有或，即a=1或. 综上所述，满足题设条件的a只能是：a=1.（23）【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.【详解】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且（1）若k, 则r(B)=2, 于是r(A), 显然r(A), 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：,不妨设,则其通解为 为任意常数. 2004考研数学二答案1. 02. 3. /24. 25. 6. 1/97. B8. C9. B10. C11. A12. D13. D14. A15. 解：16. 解：17. 解：18. 解：19. 解：20. 解：21. 解：22. 解：23. 2003考研数学二答案（1）-4【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】 时，.有 ，故a=-4.（2） x-y=0【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】 等式两边直接对x求导，得，将x=1,y=1代入上式，有 故过点(1,1)处的切线方程为，即（3） 【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值，则麦克劳林公式中项的系数是【详解】 因为 ，于是有 ，故麦克劳林公式中项的系数是（4） 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式即可.【详解】 所求面积为=.（5）3【分析】本题的关键是矩阵的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】 由=，知，于是（6） 【分析】 先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】 由知， ，即，易知矩阵A+E可逆，于是有再两边取行列式，得，因为, 所以 二、选择题（1）D【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限属型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取，则可立即排除(A),(B),(C).（2）B 【分析】 先用换元法计算积分，再求极限.【详解】 因为 = =，可见 =（3）A 【分析】 将代入微分方程，再令的中间变量为u，求出的表达式，可计算出.【详解】将代入微分方程，得，即 .令 lnx=u，有 ，故 =（4）C yO x 【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（5）B 【分析】 直接计算是困难的，可应用不等式tanxx, x0.【详解】 因为当 x0 时，有tanxx，于是 ，从而有 ， ，可见有 且，可排除(A),(C),(D).（6）D【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：可由向量组II：线性表示，则当时，向量组I必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I：可由向量组II：线性表示，且向量组I线性无关，则必有. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如，则，但线性无关，排除(A)；，则可由线性表示，但线性无关，排除(B)；，可由线性表示，但线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).三 、【分析】 分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即【详解】 =令，有 ，得或.当a=-1时，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，因而x=0是f(x)的可去间断点.四 、【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，可相应地确定参数t的取值.【详解】由，得所以=当x=9时，由及t1得t=2, 故五 、【分析】 被积函数含有根号，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx，同样可考虑作变换：arctanx=t，即 x=tant.【详解】 设，则=又=，故因此 =六 、【分析】 将转化为比较简单，=，关键是应注意：=.然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知 ，于是有=.代入原微分方程得 ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程的通解为设方程(