数学人教版九年级上册一元二次方程根与系数关系.doc

21.2.4 一元二次方程根与系数关系 教学设计一、教材分析 本节课选自新人教版数学九年级上册第二十一章第二节，是一节选学内容，课标中要求学生了解一元二次方程根与系数的关系，因此在利用根与系数关系解决问题时需要酌情控制难度。 一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的，它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程的有力工具，也是方程理论的重要组成部分，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用，具有承上启下的作用。二、学情分析本课的教学对象是初中三年级学生，学生处于形象思维向抽象思维过渡阶段，且具有一定的合作探究自主学习能力。从学生的认知发展水平来看，一元二次方程根与系数关系是在学生学习了一元二次方程解法的基础上，对一元二次方程根与系数之间的关系进行再探究，这些内容的学习为顺利完成本课学习任务奠定基础，但是如果让学生思考一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根的关系，学生会回答求根公式，而不会想到两根之和，两根之积与系数之间的关系，因此在教学中，运用从特殊到一般的问题探索规律，利用教科书中的思考栏目，引导学生从直观入手得到两根之和，两根之积与系数关系的猜想，再通过学生自主探索，合作交流，探索一元二次方程根与系数的关系。三、教学目标1.知识技能：了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用。2.数学思考： 在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，体验转化的数学思想，发展符号意识，提高观察、分析、归纳、推理能力。3.问题解决：初步学会从数学角度发现问题，提出问题，获得利用根与系数关系解决问题的一些基本方法。4.情感态度：积极参与数学活动，经历由特殊到一般的认识事物的规律，感受数学探索的乐趣。四、教学重难点重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用难点：发现一元二次方程根与系数关系五、教学方式 探索发现式，引导式学习方式六、教学过程（一）创设情境，激发欲望（利用多媒体展示图片）【教师活动】：我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如：抛出的重物总会落下，牛顿发现这个现象，得到了伟大的万有引力定律；再比如欧姆发现了电路中电流、电压、电阻之间的规律，得到了欧姆定律；而我们数学中更蕴藏着大量的规律，例如在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这是由毕德哥拉斯发现的著名的勾股定理。那么，二元一次方程中是否也存在着某些规律呢？今天就让我们共同探究，体验一次当科学家的感觉。 设计意图：让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律等待我们去探索，激发学生的学习兴趣、探究欲望。活动一：解下列方程并填写表格（ppt出示表格）方程x1x2，x1+x2，x1 x2x2-2x=0x2+3x-4=0x2-5x+6=0【教师活动】：提问：（1）方程的两个根与系数之间有什么关系呢？（2）一般的，关于x的方程x2+px+q=0（p，q为常数，p2-4q0）的两根设为x1，x2，那么 x1，x2 与p，q之间有什么关系？（3）你能证明这个规律吗？【学生活动】：观察尝试发现规律，探索证明方法，学生代表回答，学生点评。设计意图：通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透从特殊到一般的思考方法。活动二：口答：不解方程，求下列方程两根之和，两根之积 x2-5x+3=0 x2+ 32x-1=0 x2-4x-2=0设计意图：及时巩固知识，为探索新知做准备（二）类比探索，拓展思维活动三：填写表格并探究规律（ppt出示表格，学生代表利用投影展示证明方法）方程x1x2x1+x2x1 x2-baca2x2-3x+2=03x2-4x+1=05x2+4x-1=0【教师活动】提问：（1）观察表格，你发现什么规律？（2）你能证明这个规律吗？【学生活动】观察尝试发现规律，小组合作探索证明方法，学生代表利用投影展示证明方法并讲解，学生点评。设计意图：通过讨论，让学生经历从特殊到一般的探究过程，明确一元二次方程根与系数关系。（三）运用新知，巩固提升（ppt与投影结合）1. 不解方程，求出下列方程的两根之和与两根之积（1）3x2+7x-9=0 （2）5x-1=4x2 （3）x (x-4)=2-8x 例1 已知：关于x的方程：x2-（k+1）x+3k=0的一个根是2。求它的另一个根以及k的值。例2 方程2x2-4x+1=0的两根记作x1， x2。求：1x1+1x2 （x1+1）（x2+1） x12+ x22 x1- x2【教师活动】巡视，深入各小组，引导学生探究【学生活动】自主学习与小组合作相结合，完成练习，学生代表板书，学生评价拓展训练1 设x1、x2是方程x2-2（k-1）x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。拓展训练2 若一元二次方程x2-6x+5-m=0的两实数根都大于2，求m的取值范围。设计意图：进一步巩固对一元二次方程根与系数关系的认识，体会“整体代入”的数学思想，同时注重一题多解，提高学生思维的广阔性，灵活性。（四）课堂小结，升华认识教师与学生一起回顾本节课主要内容，回答问题：（1） 一元二次方程根与系数关系是什么？（2） 你还有哪些收获？设计意图：通过小结，梳理本节