2020届重庆铜梁县第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2020届重庆铜梁县第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1若集合A=，B=，则=（ ）ABCD【答案】B【解析】求出集合后，利用集合的交集运算的定义即可得到答案.【详解】,故选：B【点睛】本题考查了集合的交集运算的定义，理解交集的定义是关键，属于基础题.2若，则是第（ ）象限的角A一B二C三D四【答案】B【解析】根据二倍角的正弦公式以及，可得，由此可得是第二象限角.【详解】因为，且，所以，所以是第二象限角.故选：B【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了正弦函数与余弦函数的符号规则，属于基础题.3已知命题P：，则P是（ ）ABCD【答案】C【解析】“存在”改为“任意”，“小于”改为“大于等于”即可得到.【详解】因为命题P：，所以： 故选：C【点睛】本题考查了存在量词的命题的否定，属于基础题.4函数的定义域为（ ）ABCD【答案】C【解析】利用偶次根式的被开方非负以及对数的真数为正数列不等式组解得结果即可.【详解】由 解得，所以定义域为，故选：C【点睛】本题考查了求含偶次根式和对数符号的函数的定义域，偶次根式的被开方非负与真数为正数是求定义域时，经常碰到的，需要牢固掌握，属于基础题.5已知，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据诱导公式求得，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将化为正切的形式，代入正切值即可得到.【详解】因为，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了诱导公式，考查了二倍角的余弦公式以及同角公式，弦化切是解题关键，属于基础题.6函数 有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）ABCD或【答案】A【解析】先求充要条件为或，再根据充分不必要条件的概念以及四个选项可得答案.【详解】先求充要条件：因为当时，令，解得符合，所以当时，令，则此方程无解，因为时，所以或 ，所以 有且只有一个零点的充要条件是或，根据四个选项，结合充分不必要条件的概念可知选A.故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件，考查了函数的零点，属于基础题.7已知，则的值等于（ ）ABCD【答案】B【解析】分别根据诱导公式三，二，五转化为，结合已知可得答案.【详解】因为.故选：B【点睛】本题考查了诱导公式三，二，五，属于基础题.8已知，且，则实数的值为（ ）A12BCD6【答案】D【解析】将化为对数式，再倒过来，利用对数的运算法则即可得到答案.【详解】由得，所以，所以，所以，又，所以.故选：D【点睛】本题考查了指数式化对数式，考查了对数的运算性质，考查了对数的运算法则，属于基础题.9设实数，则的大小关系是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据对数函数的单调性可得，根据指数函数的性质可得，由此可得答案.【详解】因为，且在上是增函数，所以，又，故，故选：A【点睛】本题考查了对数函数的单调性，考查了指数函数的性质，属于基础题.10设有限集合A=，则称为集合A的和.若集合M=,集合M的所有非空子集分别记为，则=（ ）A540B480C320D280【答案】B【解析】求出后，分别求出含有的子集个数，然后可求得结果.【详解】，其中含有元素的子集共有个，含有元素的子集共有个，含有元素的子集共有个，含有元素的子集共有个，含有元素的子集共有个，所以.故选：B【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了集合的子集个数的计算公式，属于基础题.11设，且，则下列式子中为定值的是（ ）ABCD【答案】C【解析】将已知等式切化弦后，利用两角差的余弦公式以及诱导公式变为，再根据余弦函数在上为递减函数可得到结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，因为在上为递减函数，所以，即（定值），故选：C【点睛】本题考查了同角公式切化弦，考查了两角差的余弦公式，考查了诱导公式，考查了余弦函数的单调性，属于中档题.12已知函数，若且，则的值为（ ）A2B4C8D【答案】A【解析】不妨假设，作出函数的图像，根据图像可得，根据已知可得，进一步可得，再将所求式子化为，化简可得答案.【详解】不妨假设，作出函数的图像如下：由图可知，所以，因为，且，所以，所以，所以，所以 .故选：A【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用等基础知识，考查了函数图像的作法，考查了对数的运算性质，考查了运算求解能力，数形结合思想，转化划归思想，属于较难题.二、填空题13已知，则_.【答案】【解析】在中令即可求出结果.【详解】因为，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了求函数的函数值，不需要求函数解析式，在已知中令即可解决问题，属于基础题.14奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则_.【答案】【解析】根据已知条件推出周期为4，根据周期性将所求转化为即可得到结果.【详解】因为函数为上的奇函数，所以，且，因为为偶函数，所以，所以，所以，所以，所以的周期为4，所以 .故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性推出周期，根据周期性求函数值，属于中档题.15已知函数是偶函数，且对任意，都有成立，则的最小值是_.【答案】【解析】根据函数为偶函数可得，根据对任意，都有成立，可得时，函数取得最小值，从而可得结果.【详解】因为函数是偶函数，所以，即，所以，所以，又因为对任意，都有成立，所以时，函数取得最小值，所以，所以，所以，因为，所以（，）时，取最小值.故答案为：【点睛】本题考查了正弦型函数的奇偶性，考查了正弦型函数的最值，属于中档题.16已知函数，且是函数的极值点.给出以下几个结论： ； ； ； .其中正确的结论是_（填上所有正确结论的序号）.【答案】 【解析】求导后利用零点存在性定理可得不正确， 正确，利用为增函数可得不正确，正确.【详解】因为，所以，所以为上的递增函数，依题意有唯一零点，因为 ，所以根据零点存在性定理有，所以不正确，正确，又，所以不正确，所以，故正确.故答案为：【点睛】本题考查了函数的极值点，考查了零点存在性定理，考查了函数的单调性的应用，属于中档题.三、解答题17现代社会的竞争，是人才的竞争，各国、各地区、各单位都在广纳贤人，以更好更快的促进国家、地区、单位的发展.某单位进行人才选拔考核，该考核共有三轮，每轮都只设置一个项目问题，能正确解决项目问题者才能进入下一轮考核；不能正确解决者即被淘汰.三轮的项目问题都正确解决者即被录用.已知A选手能正确解决第一、二、三轮的项目问题的概率分别为、，且各项目问题能否正确解决互不影响.（1）求A选手被淘汰的概率；（2）设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】（1）根据对立事件的概率公式可求得；（2）由题知：可取值为0,1,2,3，计算出各个取值的概率后写出分布列和期望即可.【详解】（1）所求概率.（2）由题知：可取值为0,1,2,3， ，所以的分布列为：0123P所以.【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.18已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合.（1）若角的终边所在的方程为，求的值；（2）若角的终边经过点 ，且，求的最大值.【答案】（1）3；（2）.【解析】（1）在角的终边取一点，然后根据定义计算可得；（2）根据定义求得，然后求得，由可求得最大值.【详解】（1）在角的终边取一点，则，由三角函数的定义知 ，.（2）由三角函数的定义知 或 又，所以得最大值为 .【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了已知值求角，属于基础题.19已知二次函数满足的解集为，且在区间的最小值为.（1）求的解析式；（2）求函数的极值.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由题可设，根据最小值可求得，由此可得解析式；（2）求导后，利用导数的符号和极值的定义可求得.【详解】（1）由题可设，在区间单调递增，.（2），由 或 ，由 ，在单减，在单增，单减，.【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，考查了利用导数求函数的极值，属于中档题.20已知直线分别是函数与图象的对称轴.（1）求的值；（2）若关于的方程在区间上有两解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据正弦函数的对称轴列式可得，然后代入，利用诱导公式可求得；（2）将问题转化为在区间上有两解，根据正弦函数的图像列式可得答案.【详解】（1）由题知：，.（2）由+1-m，所以，在上有两个不同实数解，所以，.【点睛】本题考查了正弦函数的对称轴，考查了正弦函数的图像，考查了函数与方程思想，属于中档题.21已知，函数，.（1）求在区间的最大值；（2）若关于不等式在恒成立，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1） ，求导后知在（0,3）上递增，在单减，然后对和分类讨论可得结果；（2）将转化为在恒成立，对不等式右边构造函数求导求得最大值，可得恒成立，右边再构造函数求导即可解决.【详解】（1）=，由，由在（0,3）上递增，在单减，当即时，在上递增，当即时，在上递增，在单减，；当时，在上单减，（2）由在恒成立，令，在上单减，由，所以在（0,）上递增，在单减，令，在在上递增，令，且在（0,t）上递减，在单增，所以，又，又.【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了利用导数证明不等式，考查了转化划归思想，考查了分类讨论思想，属于难题.22在平面直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为 （为参数）；曲线是过点Q（1，0），斜率为2的直线，且与曲线相交于A、B两点.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的参数方程；（2）求的值.【答案】（1）， （为参数）；（2）.【解析】（1）先将的参数方程化为普通方程，再根据互化公式化为极坐标方程，设的倾斜角为，则，所以，则可得的参数方程；（2）将的参数方程代入，利用参数的几何意义可求得结果.【详解】（1）由，所以曲线的极坐标方程为：，设的倾斜角为，则，所以，所以曲线的参数方程为： (为参数)（2）将代入中得，设A、B两点对应的参数分别为，则，.【点睛】本题考查了参数方程化普通方程，普通方程化极坐标方程，考查了直线的参数方程及其几何意义，注意要用直线参数方程的标准形式，属于中档题23已知函数.（1）求不等式的解集；（2）已