《振动模式》PPT课件.ppt

wangcl 1 其它振动模式 薄圆片压电振子的径向伸缩振动 其它压电振子 薄圆环的径向振动 薄球壳的径向振动 薄片的厚度伸缩振动能陷振动模 wangcl 2 振动模式 材料参数 等效电路 器件设计 阻抗 导纳 wangcl 3 薄圆片压电振子的径向振动 对于压电常数d31 d32和弹性柔顺常数s11 s22的压电晶体 例如钛酸钡 铌酸锂等晶体 可用它的z切割薄圆片的径向振动 用柱坐标 O r z 圆片面与z轴垂直 因为是薄圆片 所以可以近似认为垂直于圆片面方向的应力Xz 0 wangcl 4 薄圆片压电振子的压电方程组 因为薄圆片只有径向伸缩形变 所以沿r方向和方向的Xr 0 X 0 而切应力Xr Xrz X z 0 因为电极面就在圆片面上 所以只有沿z方向的电场强度分量Ez 0 而沿r和 方向的电场强度分量Er E 0 wangcl 5 又因电极面是等位面 故有 Ez r 0 选X E为自变量 并注意到弹性柔顺常数s11 s22以及压电常数d31 d32 于是薄圆片压电振子的压电方程组为 5 37 wangcl 6 第二类压电方程组 若以 x E 为自变量 有 5 37 式可得 wangcl 7 实验上常用杨氏模量Y和泊松比 代替弹性柔顺常数sE11 sE12 将Y 1 sE11 sE12 sE11关系代入上式得 wangcl 8 5 38 式就是以应变和电场 x E 为自变量 用柱坐标表示的薄圆片压电方程组 其中沿r方向的伸缩应变xr ur r 沿 方向的伸缩应变x ur r u r 因为薄圆片的径向伸缩振动具有圆对称性 所以 u 0 在此情况下 沿 方向的伸缩应变简化为x ur r wangcl 9 薄圆片压电振子的振动方程 若圆片密度为 则小的质量为 见图5 7 若为小块bcde沿径向的位移 rd dr 则小块沿径向加速度为 2ur t2 小块的运动方程为 wangcl 10 薄圆片压电振子的质量元 图5 7 wangcl 11 由于dr和d 都很小 故有 wangcl 12 忽略X 与X 的差别 即认为X X 将这些结果代入到上式后 即得小块的运动微分方程式为 即 5 39 wangcl 13 将压电方程组 5 38 式代入上式 并注意到 Ez r 0 即得 wangcl 14 利用关系 代入 wangcl 15 薄圆片压电振子的波动方程 5 40 其中波速 wangcl 16 波动方程式的解 薄圆片压电振子的波动方程式的解为 其中 k c J1 kr 为一阶贝塞尔函数 FirstorderBesselfunction 5 41 wangcl 17 现在来求满足边界条件的解 若薄圆片的边界为机械自由 则在边界上的应力Xr等于零 即 由 5 38 式的第一式 时 5 38 式 wangcl 18 若电场强度分量为 并注意到 代入到上式得 5 42 wangcl 19 利用边界条件r a时 Xr a 0 即可确定任意常数A 由 即得 5 43 wangcl 20 将 5 43 式代入到 5 41 式即得满足自由边界条件的解为 5 44 由 5 44 式代表的波形 如图5 8所示 wangcl 21 图5 8自由圆片的径向伸缩振动 a 自由圆片中的波形 b 自由圆片的伸缩情况 a b wangcl 22 wangcl 23 将 5 43 式代入到 5 42 式即得沿r方向的伸缩应力为 5 45 wangcl 24 沿 方向的伸缩应力为 5 46 wangcl 25 沿r方向和 方向的伸缩应变为 5 47 wangcl 26 电位移为 wangcl 27 薄圆片压电振子的等效电阻 通过压电振子电极面的电流I为 而电极面上的电荷Q为 wangcl 28 积分时注意到 即得 wangcl 29 于是得到电流为 5 48 wangcl 30 薄圆片压电振子的等效阻抗 压电振子的等效阻抗Z为 将 5 48 式代入上式的 wangcl 31 因为薄圆片压电振子的机电耦合系数kp为 以及 将这些关系代入上式得 wangcl 32 5 49 薄圆片压电振子的等效阻抗 k c wangcl 33 谐振频率和机电耦合系数 谐振时压电振子的等效阻抗Z 0 即 G 1 Z 这就要求 即 wangcl 34 或 其中 r 2 fr fr 谐振频率 5 50 wangcl 35 钛酸钡的泊松比约为 0 30 代入上式 wangcl 36 查贝塞尔函数的数值表 可得上式最小的根为 5 51 由此得到薄圆片压电振子的谐振频率为 5 52 wangcl 37 同理可得 当 时 当 时 wangcl 38 反谐振时 压电振子的等效阻抗Z 即G 1 Z 0 这就要求 5 53 wangcl 39 因为反谐振频率fa稍大于谐振频率fr 故可假设 或者 即 或者 wangcl 40 将J0和J1在谐振频率处用泰勒级数展开得 5 54 wangcl 41 将 5 54 式代入 5 53 式后 5 53 式分子为 wangcl 42 5 55 5 53 式分母为 wangcl 43 由 5 50 式知 或者 wangcl 44 将这些关系代入到 5 55 式得 wangcl 45 最后得到 wangcl 46 即 5 56 wangcl 47 由上式可解出薄圆片压电振子的机电耦合系数kp为 wangcl 48 或者 5 57 wangcl 49 5 58 wangcl 50 谐振频率关系式 5 52 式以及机电耦合系数关系式 5 57 式对压电陶瓷也成立 实验上常用 5 52 式确定材料的杨氏模量Y 5 57 式确定材料的机电耦合系数kp 通过低频电容Clow的测量 确定介电常数 wangcl 51 以及压电常数 至于泊松比 则可通过下式确定 5 59 wangcl 52 其中 fr0 薄圆片压电振子的基频 fr1 薄圆片压电振子的一次谐波频率 确切的说法是fr0为薄圆片的基音频率 fr1为薄圆片的一次泛音频率 对于压电陶瓷fr0 2 61fr1左右 5 59 式的适用范围是 5 60 wangcl 53 薄圆片压电振子的径向伸缩振动 小结 介电常数 半径a 厚度lt 低频电容Clow fr0 薄圆片压电振子的基频 fr1 薄圆片压电振子的一次谐波频率 wangcl 54 杨氏模量的确定 wangcl 55 压电常数 平面机电耦合系数 wangcl 56 其它压电振子 薄圆环压电振子的径向振动薄球壳的球径向振动薄片的厚度伸缩振动 wangcl 57 薄圆环压电振子的径向振动 如图5 9所示 薄圆环的极化方向与z轴平行 即轴向极化 平均半径为r 厚度为lt 宽度为lw 并有r lt以及r lw 设圆环的方向为2方向 极化方向为3方向 增加的方向为1方向 因为圆环的半径远大于圆环的宽度和厚度 所以圆环在外加电场的作用下 可以认为只产生轴对称的径向振动 除了沿圆周 即切向 的应力X1 即x 外 其余的应力 切应力皆等于零 wangcl 58 图5 9薄圆环的径向振动 wangcl 59 又与3方向垂直的电极面是等位面 所以可以认为E1 E2 0 选应力和电场 X E 为独立变量 即得薄圆环的压电方程组为 5 61 wangcl 60 考虑薄圆环上的一小块 如图5 9所示 作用在小块上的径向力分量为 5 62 wangcl 61 由牛顿第二定律可得径向运动的微分方程式为 5 63 其中 为薄圆片的密度 ur为环的径向位移 wangcl 62 将 5 61 式中第一式代入 5 63 式 并注意到xr ur r 即得 5 64 wangcl 63 若外加电场为E3 E0ej t 在此电场作用下 薄圆环产生受迫振动 这时 5 64 式的解为 5 65 其中 wangcl 64 将 5 65 式代入 5 61 式得电位移为 5 66 其中 wangcl 65 自由介电常数与夹持住介电常数之间的关系为 通过电极面的电流为 wangcl 66 因为电压V E3lt 故得薄圆环压电振子的导纳为 5 67 wangcl 67 当G 时 薄圆环产生谐振 谐振频率fr为 5 68 或 wangcl 68 当G 0时 薄圆环产生反谐振 反谐振频率为 5 69 或 wangcl 69 由此得到机电耦合系数k31与fr fa的关系为 5 70 wangcl 70 薄球壳的球径向振动 薄球壳的极化方向与径向平行 球壳内外表面为电极面 球壳厚度为lt 平均半径为r 并有r lt 选球的径向为3方向 的增加方向为1 2方向 其边界条件为 E1 E2 0 E3 0 X3 X4 X5 X6 0 X1 0 X2 0 wangcl 71 图5 10薄球壳的径向振动 wangcl 72 选应力和电场 X E 为独立变量 即得薄球壳的径向振动的压电方程组为 5 71 wangcl 73 对于压电陶瓷的弹性性质和压电性质在与极化垂直的面上是各向异性的 故有X1 X2 sE11 sE22 d31 d32 令 wangcl 74 代入到 5 71 式即得 5 72 wangcl 75 球壳中的情况与圆环相似 xc与径向位移ur之间的关系为 波动方程式为 5 73 wangcl 76 若外加电场为E3 E0ej t 在此电场作用下 上式的解为 5 74 其中 5 75 wangcl 77 球壳的导纳为 5 76 wangcl 78 其中平面机电耦合系数kp为 wangcl 79 当G 和G 0时可得 谐振频率 反谐振频率为 wangcl 80 由此得到平面机电耦合系数为 wangcl 81 薄片的厚度伸缩振动 薄片的极化方向与厚度方向平行 片面为电极面 片的长度为l 宽度为lw 厚度为lt 并有l lt lw lt 因为只考虑沿厚度方向传播的平面波 频率很高 故可以认为片的侧面被刚性夹住 即可认为 x1 x2 x4 x5 x6 0 x3 0 wangcl 82 薄片的厚度伸缩振动 图5 11 wangcl 83 设片的绝缘性能良好 没有漏电电流 故可认为D1 D2 0 D3 z 0 选应变和电位移x D为独立常数 可选用第四类压电方程组为 5 78 wangcl 84 波动方程为 5 79 其中uz为沿z方向的位移 wangcl 85 5 79 式的解为 5 80 wangcl 86 利用自由表面边界条件 确定系数A B的大小 时 时 wangcl 87 由 5 78 式以及 5 80 式可得 其中 wangcl 88 wangcl 89 薄片的导纳为 5 81 wangcl 90 厚度伸缩振动机电耦合系数的定义为 其中 为薄片的静态电容 5 82 wangcl 91 由 5 81 式可得反谐振频率和谐振频率为 5 83 wangcl 92 切变振动模式shearmode 面切变振动模式faceshearmode厚度切变振动模式thicknessshearmode 应用 高频器件 wangcl 93 面切变振动模式 x y d36 0 wangcl 94 面切变振动模式 又称为轮廓切变振动模式 当压电片做面切变振动模式时 其主平面的一条对角线伸长 另一条对角线缩短 对角线中点为节点 wangcl 95 对石英晶体来说 面切变的常用切型为CT切型和DT切型 它们的切型符号为 yxl 在CT切型中 37 38 即 yxl37 在DT切型中 52 53 即 yxl 52 wangcl 96 CT切型 DT切型 wangcl 97 厚度切变振动模式 wangcl 98 弯曲振动模式bendingmode 宽度弯曲振动模式widthbendingmode厚度弯曲振动模式thicknessbendingmode 应用 低频器件 wangcl 99 length width thickness 电极分割线 宽度弯曲振动模式 wangcl 100 电极面 厚度弯曲振动模式 wangcl 101 wangcl 102 能陷振动模式能阱振动模式 点振子振动和点电极振子振动 energy trapvibrationmode wangcl 103 采用厚度伸缩或者厚度切变 剪切 振动模式可以制成频率达到数十兆赫兹 107Hz 的振子 但是来源于径向或者纵向振动的高次泛音所形成的杂波干扰大 消除干扰的方法 调整振子几何尺寸 能陷模式 wangcl 104 能陷模式实际上是 厚度伸缩 厚度切变 厚度扭曲振动模式 只是振子电极面远小于压电陶瓷片的总面积 且与厚度有适宜的匹配关系 振动能量绝大部分集中在点电极范围内 形成 能量封闭 的振动模式 在交变电场作用下 沿厚度方向产生振动 其振幅随着至电极中心距离的增加 呈指数式衰减 wangcl 105 厚度伸缩TEn thicknessextension厚度切变TSn thicknessshear厚度扭曲TTn thicknesstorsion厚度切变和面切变的耦合波 wangcl 106 谐振频率与压电陶瓷片的厚度有关 为提高频率通常将压电陶瓷片磨得很薄 有时考虑到压电陶瓷自身强度太低 可用特制的陶瓷片作垫片来防止压电陶瓷片损坏 常用于高频场合 wangcl 107 设晶片沿x方向的尺寸无限大 研究位移沿x方向的切变波 在晶片上下主表面为自由机械边界条件下 位移的解为 x y z 式中 lt为片厚 为角频率 k为z方向的波数 wangcl 108 波数k