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2 2 1函数的单调性 1 单调增区间 函数值y随着自变量x的增大而增大 大的自变量 大的函数值 函数图象特征 向右的同时在向上 下图是某市一天24小时气温y随时间x的变化图 观察气温变化图 从图中你能获取哪些信息 单调减区间 函数值y随着自变量x的增大而减少 大的自变量 小的函数值 函数图象特征 向右的同时在向下 下图是函数y f x 的图象 你能说说这个函数的单调性吗 你知道函数在区间 0 1 上的单调性如何吗 你能从 数 的角度对函数的单调性加以刻画吗 思考 1 对于函数y f x 若在区间 0 上 当x 1时 y 1 当x 2时 y 3 能否说y f x 在该区间上y随x的增大而增大呢 2 若x 1 2 3 4 时 相应地y 1 3 4 6 能否说函数y f x 在区间 0 上单调增呢 3 若有n个正数x1 x2 x3 xn 它们的函数值满足 y1 y2 y3 yn 能否说函数y f x 在区间 0 上单调增呢 若x取无数个呢 任意 一般地 设函数y f x 定义域为A 区间如果对于区间I内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说y f x 在区间I上是单调增函数 I称为y f x 的单调增区间 如果对于区间内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说y f x 在区间I上是单调减函数 I称为y f x 的单调减区间 如果函数y f x 在区间I上是单调增函数或单调减函数 那么就说函数y f x 在区间I上具有单调性 单调增区间和单调减区间统称为单调区间 x1 x2 y1 y2 x2 x1 y1 y2 小结 单调函数的图象特征与数量特征 自左至右 图象上升 自左至右 图象下降 y随x的增大而增大 当x1 x2时 y1 y2 y随x的增大而减小 当x1 x2时 y1 y2 函数单调性反映的是函数在定义域内某个区间上y随x变化的趋势 是函数的局部性质 1 定义在R上的函数f x 满足f 3 f 2 则函数f x 是R上的增函数 2 函数f x 是R上的增函数 则必有f 3 f 2 3 定义在R上的函数f x 满足f 3 f 2 则函数f x 在R上不是减函数 练习 判断正误 完成例1 例2 函数 单调区间 k 0 k 0 k 0 k 0 增函数 减函数 减函数 增函数 单调性 例3求证 函数在区间 上是单调减函数 证明 取值 判号 下结论 作差变形 是单调减函数 函数在区间 证明函数单调性的步骤 第一步 取值 即任取区间内的两个值 且x1 x2 第二步 作差变形 将f x1 f x2 通过因式分解 配方等方法 向有利于判断符号的方向变形 第三步 判号 确定差的符号 第四步 下结论 根据定义作出结论 小结 1 函数
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