北京市各区2012届高三上学期期中、期末考试分类解析(3)：导数及其应用.doc

拥有学而优 轻松高考我无忧北京市各区2012届高三上学期期中、期末末数学分类解析三、导数及其应用xo1. （2012年昌平区高三期末考试理8）已知定义在上的函数满足= 1，为的导函数.已知的图象如图所示,若两个正数满足，则的取值范围是（ A ）A. ( B. C. D.2.（2012年西城区高三期末考试文11）若曲线在原点处的切线方程是，则实数_答案：。3. （2011年海淀区高三年级第一学期期中练习理9）曲线在处的切线的斜率为 。答案：。考点：8个基本函数的导数的求法；导数的几何意义。4.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示10）设函数在内导数存在，且有以下数据：12342341342131422413则曲线在点处的切线方程是 ；函数在处的导数值是 。答案：，12。考点：导数的几何意义；复合函数的求导。5.（2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)文3）定义在上的函数同时满足以下条件：在上是减函数，在上是增函数；是偶函数； 在处的切线与直线垂直. （）求函数的解析式；（）设，求函数在上的最小值. 解：（）. .1分由题意知即解得 4分所以函数的解析式为. .5分（）， .令得，所以函数在递减，在递增. . 7分当时，在单调递增，. 9分当时，即时，在单调递减，在单调递增，. 10分当时，即时，在单调递减，.12分综上，在上的最小值 . 13分6.（2011年海淀区高三年级第一学期期中练习文17）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式已知每日的利润，且当时，.（）求的值；（）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值。解：（）由题意可得： 2分因为时，所以. 4分所以. 5分（）当时，.所以.当且仅当，即时取得等号.10分当时，. 12分所以当时，取得最大值. 所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元.13分7. （2011年海淀区高三年级第一学期期中练习理17）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额R（单位：元）与日产量x的函数关系式，已知每日的利润，且当时，.（）求的值；（）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.解：（）由题意可得：2分因为时，所以.4分所以. 5分（）当时，.6分. 8分由可得：（舍）.9分所以当时，原函数是增函数，当时，原函数是减函数.所以当时，取得最大值. 11分当时，. 12分所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元.13分8.（2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)理17）已知.（I）求函数在上的最小值；（II）对一切恒成立，求实数的取值范围.解：（1）定义域为，当,单调递减，当，单调递增. 2分当无解；3分当，即时，； 4分当即时，在上单调递增，；5分所以 6分（2），则，对一切恒成立.7分设，则，当单调递减，当单调递增. 10分在上，有唯一极小值，即为最小值.所以，因为对一切恒成成立，所以. 13分9.（2011年海淀区高三年级第一学期期中练习文19）已知函数.（）当时，求的单调递增区间；（）求证：曲线总有斜率为的切线；（）若存在，使成立，求的取值范围.解：（）当时，函数. . 2分 令，解得或. 3分所以，函数的单调递增区间是，.4分（）令，即.因为，所以恒成立. 6分所以方程对任意正数恒有解.7分所以 曲线总有斜率为的切线. 8分（）由（）可知：.令，解得.9分因为，所以当时，的变化情况如下表+0-0+因为，所以，对于任意，.即此时不存在，使成立.11分当时，的变化情况如下表+0-因为，所以，函数在上的最小值是. 因为存在，使成立，所以，. 所以，. 13分所以的取值范围是. 14分10.（2011年海淀区高三年级第一学期期中练习理18）已知函数（）若是函数的极值点，求的值；（）求函数的单调区间.解：（）函数的定义域为. 1分 3分 . 因为是函数的极值点，所以. 5分 所以或. 经检验，或时，是函数的极值点. 所以的值是或. 6分（）由（）知：.若，. 所以函数的单调递增区间为； 8分 若，令，解得. 9分 当时， 的变化情况如下表+0-极大值函数的单调递增区间是，单调递减区间是；11分当时，的变化情况如下表+0-极大值函数的单调递增区间是，单调递减区间是.13分11.（2011年朝阳区高三年级第一学期期中统一考试理20） 已知函数（且）.（）求函数的单调区间；（）记函数的图象为曲线.设点,是曲线上的不同两点.如果在曲线上存在点，使得：；曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.解：()显然函数的定义域是. 1分 由已知得，. 2分 当时, 令,解得; 令,解得. 所以函数在上单调递增,在上单调递减. 3分 当时， 当时，即时, 令,解得或; 令,解得. 所以，函数在和上单调递增,在上单调递减4分 当时，即时, 显然，函数在上单调递增；5分 当时，即时, 令,解得或; 令,解得. 所以，函数在和上单调递增,在上单调递减.6分综上所述，当时,函数在上单调递增,在上单调递减； 当时,函数在和上单调递增,在上单调递减； 当时,函数在上单调递增； 当时,函数在和上单调递增,在上单调递减. 7分 ()假设函数存在“中值相依切线”. 设,是曲线上的不同两点，且， 则，. 8分曲线在点处的切线斜率， 9分依题意得：.化简可得： ，即=. 11分 设 ()，上式化为：, 即. 12分 令,. 因为,显然，所以在上递增, 显然有恒成立. 所以在内不存在,使得成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”. 14分12.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示16）现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发当投入广告宣传和产品开发的资金分别为和时，得到的回报是求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.解：由于，所以4分考虑，由得， -8分由于当时，；当时， -10分所以是的极大值点，从而也是的极大值点-12分故当投到产品开发的资金为元时，得到的回报最大. -13分13.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示文19）已知，函数， .（）当时,求函数在点的切线方程；（）求函数在的极值;（）若在区间上至少存在一个实数，使成立，求正实数的取值范围解: 由求导得，. 1分（）当时, 3分 所以在点的切线方程是 4分 （）令, 。 (1)当即时(-1,0)0+0-0+极大值极小值 6分故的极大值是;极小值是; 7分 (2) 当即时 在上递增, 在上递减, 8分 所以的极大值为,无极小值. 9分 （）设 . 对求导，得， 10分因为，所以，在区间上为增函数，则. 12分依题意，只需，即，即，解得或（舍去）.所以正实数的取值范围是. 14分14.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示18）已知函数， （）若时，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（）令，是否存在实数，当（是自然对数的底）时，函数 的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：（）当时， 1分所以，又 2分所以曲线在点处的切线方程为；3分（）因为函数在上是减函数，所以：在上恒成立， 4分令 ，有 得 6分得 7分 （）假设存在实数，使（）有最小值3， 当时，所以：在上单调递减，（舍去），当时，在上恒成立所以在上单调递减，（舍去）10分 当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增，满足条件 12分综上，存在实数，使得当时有最小值3 14分15（2011年朝阳区高三年级第一学期期中统一考试理19）设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：；对一切实数，不等式恒成立.（）求函数的表达式；（）求证：.（）解：由已知得：. 1分由为偶函数，得为偶函数， 显然有. 2分 又，所以，即. 3分 又因为对一切实数恒成立，即对一切实数，不等式恒成立. 4分 显然，当时，不符合题意. 5分 当时，应满足 注意到 ，解得. 7分 所以. 8分（）证明：因为，所以.9分要证不等式成立,即证. 10分 因为, 12分 所以 .所以成立. 14分16.（2012年西城区高三期末考试文18）已知函数，其中.（）求的单调区间；（）若在上的最大值是，求的值.（）解：. 3分当时，从而函数在上单调递增. 4分当时，令，解得，舍去. 5分此时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是.7分（） 当时，由（）得函数在上的最大值为.令，得，这与矛盾，舍去. 9分 当时，由（）得函数在上的最大值为.令，得，这与矛盾，舍去. 10分 当时，由（）得函数在上的最大值为.令，解得，适合. 12分综上，当在上的最大值是时，. 13分17.（2012年昌平区高三期末考试文18）已知函数（为实数）.（I）当时， 求的最小值；（II）若在上是单调函数，求的取值范围.解：() 由题意可知： 1分当时 .2分当时， 当时， .4分故. .5分() 由 由题意可知时，,在时，符合要求 .7分 当时，令故此时在上只能是单调递减 即 解得 .9分当时，在上只能是单调递增 即得 故 .11分综上 .13分18.（2012年丰台区高三期末考试文19）已知函数（）若函数在，处取得极值，求，的值；（）若，函数在上是单调函数，求的取值范围解：（）， 2分由 ， 4分可得 6分（）函数的定义域是， 7分因为，所以 8分所以， 9分要使在上是单调函数，只要或在上恒成立 当时，恒成立，所以在上是单调函数； 11分当时，令，得，此时在上不是单调函数； 12分当时，要使在上是单调函数，只要，即 13分综上所述，的取值范围是 14分19.（2012年朝阳区高三期末考试文18）设函数.（）当时,试求函数在区间上的最大值;（）当时,试求函数的单调区间.解: （）函数的定义域为. 1分当时, ，因为， 3分所以函数在区间上单调递增，则当时,函数取得最大值 . 5分（）. 6分当时,因为，所以函数在区间上单调递减；7分当时，当时，即时，所以函数在区间 上单调递增； 9分当时，即时，由解得， ，或. 10分由解得； 11分所以当时，函数在区间上单调递增；在上单调递减，单调递增. 13分20.（2012年西城区高三期末考试理19）已知函数，其中.（）若是的极值点，求的值；（）求的单调区间；（）若在上的最大值是，求的取值范围.（）解：. 2分依题意，令，解得 . 3分经检验，时，符合题意. 4分 （）解： 当时，.故的单调增区间是；单调减区间是. 5分 当时，令，得，或.当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和. 6分当时，的单调减区间是. 7分 当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和. 8分 当时，的单调增区间是；单调减区间是. 9分综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和.10分（）由（）知 时，在上单调递增，由，知不合题意. 当时，在的最大值是，由，知不合题意. 12分当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意. 所以，在上的最大值是时，的取值范围是. 14分21.（2012年昌平区高三期末考试理19）已知函数（）. （I）当时，求函数的单调区间；（II）若不等式对恒成立,求a的取值范围.解: 对函数求导得: 2分()当时, 令解得 或 解得所以, 单调增区间为和,单调减区间为 (-2 ,1) . 5分() 令,即,解得或 6分当时,列表得：x1+00+极大值极小值8分对于时，因为,所以，0 10 分对于时，由表可知函数在时取得最小值所以，当时， 11分由题意，不等式对恒成立，所以得，解得 13分22.（2012年丰台区高三期末考试理19）设函数在处取得极值（）求与满足的关系式；（）若，求函数的单调区间；（）若，函数，若存在，使得成立，求的取值范围解：（）， 2分由 得 3分 （）函数的定义域为， 4分由（）可得令，则， 6分因为是的极值点， 所以，即 7分所以当时，x1+0-0+所以单调递增区间为，单调递减区间为 8分当时，所以单调递增区间为，单调递减区间为 9分 （）当时，在上为增函数，在为减函数，所以的最大值为 10分因为函数在上是单调递增函数，所以的最小值为11分所以在上恒成立 12分要使存在，使得成立，只需要，即，所以13分又因为， 所以的取值范围是 14分23.（2012年朝阳区高三期末考试理18）已知函数（，为正实数）.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数的最小值为，求的取值范围.解：（）当时，则. 2分 所以.又，因此所求的切线方程为. 4分（）. 5分 （1）当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增. 6分 （2）当，即时，令，则（）， 所以.因此，当时，当时，.所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为. 10分（）当时，函数在上单调递增，则的最小值为，满足题意. 11分 当时，由（）知函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为，则的最小值为，而，不合题意.所以的取值范围是. 13分24.（2012年海淀区高三期末考试文18）已知函数，其中是常数.（）当时，求在点处的切线方程；（）求在区间上的最小值.解：（）由可得 . 2分当时, ,. 4分所以 曲线在点处的切线方程为，即. 6分 （）令，解得或. 8分当，即时，在区间上，所以是上的增函数.所以的最小值为; 10分当，即时, 随的变化情况如下表 由上表可知函数的最小值为.13分25.（2012年海淀区高三期末考试理18）已知函数，其中是常数.()当时，求曲线在点处的切线方程；（）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围.解：()由可得 . 2分当时, ,. 4分所以 曲线在点处的切线方程为，即. 5分（） 令，解得或. 6分当，即时，在区间上，所以是上的增函数.所以 方程在上不可能有两个不相等的实数根.8分当，即时，随的变化情况如下表 由上表可知函数在上的最小值为.10分因为 函数是上的减函数，是上的增函数，且当时，有. 11分所以 要使方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是. 13分26.（2012年东城区高三期末考试文18）已知函数.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围解：（）当时，. ， 3分 所以所求切线方程为即 5分 （）. 令，得. 7分由于，的变化情况如下表：+00+单调增极大值单调减极小值单调增所以函数的单调递增区间是和. 9分 要使在区间上单调递增，应有 或 ， 解得或 11分 又 且， 12分 所以 即实数的取值范围 13分27.（2012年东城区高三期末考试理18）已知函数，其中（）求证：函数在区间上是增函数；（）若函数在处取得最大值，求的取值范围证明：（） 因为且，所以 所以函数在区间上是增函数 6分（）由题意. 则. 8分令，即. 由于 ，可设方程的两个根为，由得，由于所以，不妨设，当时，为极小值，所以在区间上，在或处取得最大值；当时，由于在区间上是单调递减函数，所以最大值为，综上，函数只能在或处取得最大值 10分又已知在处取得最大值，所以，即，解得，又因为，所以（ 13分28.（2012年昌平区高三期末考试理20）已知函数是奇函数，函数与的图象关于直线对称，当时， (为常数).（I）求 的解析式；（II）已知当时，取得极值，求证：对任意恒成立；（III）若是上的单调函数，且当时，有，求证：.解:() 当时，必有，则而若点在的图象上，则关于的对称点必在的图象上，即当时，由于是奇函数，则任取有且又当时，由 必有综上，当 时. 5分（）若时取到极值，则必有当时，即又由知，当时，为减函数， . 9分（）若在 为减函数，则对任意皆成立，这样的实数不存在若为增函数，则可令 .由于在上为增函数，可令，即当时，在上为增函数由， 设，则与所设矛盾若则 与所设矛盾。故必有 14分我们精挑细选推荐“品牌家教”你来优中选优“名师辅导”品牌家教名称及办学特色联系电话及办学地点精锐教育对家教办学特色：6对1服务+心理辅导北京400-690-3425转10364杭州400-690-3425转19734上海400-690-3425转19707南京400-690-3425转19739广州400-690-3425转16161苏州400-690-3425转19737京翰教育对家教办学特色：“N对1”教学模式提高快办学点多北京400-6