2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法.ppt

用二分法求方程的近似解 主讲人 何永香 复习旧知 零点概念 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 讨论 有十二个小球 质量均匀 只有一个球是比其它的球重 你用天平称几次可以找出这个球 要求次数越少越好 第一次 两端各放六个 低的那一端一定有重球 第二次 两端各放三个球 低的那一端一定有重球 第三次 两端各放一个球 如果平衡 剩下的就是重球 否则低的那端是重球 一元二次方程可以用公式求根 但是没有公式可以用来求方程lnx 2x 6 0的根 那么我们怎样去求这个方程的根呢 提出问题 求方程的根等价于求相应函数的零点 研讨新知 我们已经知道 函数f x lnx 2x 6在区间 2 3 内有零点 进一步的问题是 如何找到这个零点呢 如果能够将零点的范围尽量缩小 那么在一定精确度的要求下 我们可以得到零点的近似值 如何缩小零点所在的的范围 我来说 通过取中点的方法缩小零点所在的的范围 我要问 我要说 f 2 5 0 084 0 0 215 0 f 2 75 0 512 0 2 75 2 625 2 5 3 2 5 2 75 0 009 0 0 066 0 2 5625 2 53125 2 5 2 625 2 5 2 5625 2 3 借助计算机作函数的图象 请借助于计算器填下表 当精度为0 1时 2 53125 2 5625 0 03125 0 1 1 0 5 0 25 0 125 0 0625 2 5 f 2 0 f 2 5 0 f 2 5 0 f 2 5 0 f 2 5 0 2 3 给这种方法取个名字 I 二分法的定义 对于在区间 a b 上连续不断且满足的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 思考 是否所有存在零点的函数都可以用二分法求得零点 请思考 利用二分法求函数零点的关键条件是什么 1 函数y f x 在 a b 上连续不断 2 y f x 满足f a f b 0 则在 a b 内必有零点 C 练习 探究归纳 1 确定零点所在区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 3 计算f c 2 求区间 a b 的中点c 1 若f c 0 则c就是函数的零点 2 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 3 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 4 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复步骤2 4 用二分法求函数f x 的零点的近似值的步骤 近似数x与真实值x0之差的绝对值 x x0 就是近似值x的精确度 即精确度是近似数x与真实值x0之间的接近程度 用数轴上对应的点描述 近似值x在以真实值x0为中心 精确度为半径的邻城中的任一数 找到的区间的两个端点差的绝对值必须小于题中所给精确度的数值 则该区间就是满足题中条件的零点区间 该闭区间上的任一数值就是零点的近似值 例4 利用计算器求方程2x 3x 7的近似解 精确度0 1 解 原方程即为2x 3x 7 0 令f x 2x 3x 7 因为 1 375 1 4375 0 0625 0 1所以原方程的近似解可取1 4375 f x 2x 3x 7 1012 通过计算得下表 可知f 1 f 2 0 说明在区间 1 2 内有零点 作出函数的对应值表与图象 y x y 例2 设函数 用二分法求方程在内近似解的过程中取区间中点 那么下一个有根区间为 AC或都可BD不能确定 想一想 为什么由 a b 便可判断零点的近似值为a或b 答 设函数零点为x0 则a x0 b 则 0 x0