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22 3三角形的中位线 第二十二章四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1 理解中位线的概念和性质 重点 2 能够利用中位线解决相关问题 重点 难点 学习目标 如图 有一块三角形的蛋糕 准备平均分给两个小朋友 要求两人所分的大小相同 请设计合理的解决方案 若平均分给四个小朋友 要求他们所分的大小都相同 请设计合理的解决方案 导入新课 情境引入 讲授新课 问题1 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗 合作探究 问题2 连接每两边的中点 看看得到了什么样的图形 四个全等的三角形 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 D E 两层含义 如果DE为 ABC的中位线 那么D E分别为AB AC的 如果D E分别为AB AC的中点 那么DE为 ABC的 中位线 中点 2 画出三角形的所有中线并说出中位线和中线的区别 D E F 问题3 你能通过剪拼的方式 将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗 小明的做法 将 ADE绕点E按顺时针方向旋转180 到 CFE的位置 如图 这样就得到了一个与 ABC面积相等的平行四边形DBCF 猜一猜 三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系 能证明你的猜想吗 DE和边BC的关系 数量关系 位置关系 平行 DE是BC的一半 能说出理由吗 请同学们测量 ADE ABC度数 DE BC长度 已知 如图 在 ABC中 DE是 ABC的中位线 求证 DE BC DE BC 证明 如图 延长DE至F 使EF DE 连接CF AE CE AED CEF ADE CFE AD CF A ECF CF AB AD BD 四边形DBCF是平行四边形 BD CF DF BC DF BC DE BC 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半 用符号语言表示 DE是 ABC的中位线 DE BC 定理的理解 1 从条件看 以后我们看到中点 尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理 2 从结论看 它既可以得到线段的位置关系 平行 又可以得到线段的数量关系 倍分关系 大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用 1 如左图 MN为 ABC的中位线 若 ABC 61 则 AMN 若MN 12 则BC 61 24 2 如右图 ABC中 D E分别为AB AC的中点 当BC 10 时 则DE 5 1 图中有几个全等三角形 你是怎么知道的 你能证明吗 2 图中有几个平行四边形 你能证明吗 3 1 已知 三角形的各边分别为6cm 8cm 12cm 则连接各边中点所成三角形的周长为 cm 13 2 已知 三角形的周长为64cm 则连接各边中点所成三角形的周长为 cm 32 3 ABC的周长为a D E F分别为 ABC各边中点 DEF的周长为 G H I分别为 DEF各边中点 GHI的周长为 C A B D F E 像这样下去 第3个三角形的周长为 第n个三角形的周长为 你发现了什么 你还有什么想法 4 1 如图 D E F分别是 ABC三边的中点你能发现 DEF的面积与 ABC的面积有什么关系吗 为什么 A B C D E F 2 已知 ABC的面积为s 连接各边中点得 A1B1C1 再连接 A1B1C1各边中点得 A2B2C2 则 第1次连接所得 A1B1C1面积 第2次连接所得 A2B2C2面积 第3次连接所得 A3B3C3面积 第n次连接所得 AnBnCn面积 A C B C3 A3 B3 3 如图 已知 ABC中 AB 3 BC 3 4 AC 4 且D E F分别为AB BC AC边的中点 则 DEF的周长是 5 2 4 如下图 在Rt ABC中 A 90 D E F分别是各边中点 AB 6cm AC 8cm 则 DEF的周长 cm 12 E F B A C D 例1已知 如图 在四边形ABCD中 E F G H分别为各边的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 分析 将四边形ABCD分割为三角形 利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明 证明 连接AC E F G H分别为各边的中点 EF HG EF HG EF AC HG AC 四边形EFGH是平行四边形 你觉得四边形EFGH的形状和什么有关 1 如图 EF是 ABC的中位线 BC 20 则EF 10 当堂练习 2 在 ABC中 中线CE BF相交点O M N分别是OB OC的中点 则EF和MN的关系是 平行且相等 3 A B两村相隔一座大山 你能想办法测出A B两村的直线距离AB的大小吗 若MN 360m 则AB A B C 测出MN的长 就可知A B两点的距离 M N 解析 在AB外选一点C 使C能直接到达A和B 连结AC和BC 并分别找出AC和BC的中点M N 720m 如果 M N两点之间还有阻隔 你有什么解决办法 两次利用中位线 分别取CM和CN的中点