2014年湖南高考数学理工试题解析(word)小题也有详解.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1满足( i为虚数单位)的复数z= ( )A B C D 2对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是p1, p2, p3，则( )Ap1= p2p3 Bp2= p3p1 Cp1= p3p2 Dp1= p2=p3 3已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+ 1，则f(1)+g(1)= ( )A3 B1 C1 D34的展开式中x2y3的系数是( )A20 B5 C5 D20开始ty，则-xy，则x2y2。在命题pq；pq；p(q)；(p)q中，真命题是( )A B C D 6执行如图所示的程序框图，如果输入的t-2,2，则输出的属于( )A-6,-2 B-5,-1 C-4,5 D-3,6 7一块石材表示的几何何的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A1 B2 C3 D4612正视图8俯视图侧视图8某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为， 第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均 增长率为( )A B C D9已知函数f(x)=sin(x-)，且，则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )A B C D10已知函数f(x)= x2+ex(x0)与g(x)= x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )A B C D 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.（一）选做题(请在第10,11,12三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分) 11在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：交于A，B两点，则|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是 12如图，已知AB,BC是O的两条弦，AOBC，AB=，BC=，则O的半径等于 13若关于x的不等式|ax-2|3的解集为，则a= （二）必做题（12-16题）14若变量x,y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为6，则k= 15如图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点， 则= 16在平面直角坐标系中，O为原点，A(-1,0)，B(0,)，C(3,0)， 动点D满足的最大值是 三、解答题：本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B设甲、乙两组的研发相互独立()求至少有一种新产品研发成功的概率；()若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列和数学期望DBCA18（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=.()求cosCAD的值；()若cosBAD=，求BC 的长OO1CBD1C1B1A1DA19（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形()证明：O1O底面ABCD；()若CBA=60，求二面角C1-OB1-D的余弦值.20（本小题满分13分） 已知数列an满足a1 =1，|an+1- an|=pn，nN*. () 若an是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；()若p=，且a2n-1是递增数列，a2n是递减数列，求数列an的通项公式21（本小题满分13分）yABMQF1F2OxF4F3P如图，O为坐标原点，椭圆C1：(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为e1；双曲线C2：的左、右焦点分别为F3,F4，离心率为e2已知e1e2=.()求C1，C2的方程；()过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P,Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值22（本小题满分13分）已知常数a0，函数f(x)=ln(1+ax). ()讨论f(x)在区间(0,+)上的单调性；()若f(x)存在两个极值点x1,x2，且f(x1)+f(x2)0，求a的取值范围2014年湖南高考数学理工试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1满足( i为虚数单位)的复数z= ( B )A B C D 2对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是p1, p2, p3，则( D )Ap1= p2p3 Bp2= p3p1 Cp1= p3y，则-xy，则x2y2。在命题开始t0?是结束输出S否S=t-3t=2t2+1输入tpq；pq；p(q)；(p)q中，真命题是( C )A B C D 6执行如图所示的程序框图，如果输入的t-2,2，则输出的属于( D )A-6,-2 B-5,-1 C-4,5 D-3,6 7一块石材表示的几何何的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( B )A1 B2 C3 D4612正视图8俯视图侧视图8某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为， 第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均 增长率为( )A B C D9已知函数f(x)=sin(x-)，且，则函数f(x)的图象的一条对称轴是( A )A B C D10已知函数f(x)= x2+ex(x0)与g(x)= x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( B )A B C D二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.（一）选做题(请在第10,11,12三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分) 11在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：交于A，B两点，则|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是 (cos-sin)=1。 12如图，已知AB,BC是O的两条弦，AOBC，AB=，BC=，则O的半径等于 1.513若关于x的不等式|ax-2|3的解集为，则a= -3.（二）必做题（12-16题）14若变量x,y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为6，则k= -215如图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则= 16在平面直角坐标系中，O为原点，A(-1,0)，B(0,)，C(3,0)，动点D满足的最大值是 三、解答题：本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B设甲、乙两组的研发相互独立()求至少有一种新产品研发成功的概率；()若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列和数学期望解：()设甲、乙两组研发新产品成功的事件分别为E、F，依题，则，故所求的概率为P=.()设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220., , ,故所求的分布列与数学期望分别是X0100120220P. DBCA18（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=.()求cosCAD的值；()若cosBAD=，求BC 的长解：()如图，在ADC中，由余弦定理得，=.()由()知sinCAD=.于是sinBAC= 在ABC中，由正弦定理得，所以BC=.OO1CBD1C1B1A1DA19（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形()证明：O1O底面ABCD；()若CBA=60，求二面角C1-OB1-D的余弦值.解：()证：因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1AC，同理DD1BD。因为CC1/ DD1，故CC1BD。而ACBD=O，所以CC1底面ABCD.依题OO1/ CC1。所以O1O底面ABCD。zOO1CxByD1C1B1A1DA()解法一： 因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD。又O1O底面ABCD。如图建立空间直角坐标系O-xyz。不妨设AB=2，因为CBA=60，所以OC=1，OB=.则 O(0,0,0)，B1(,0,2)，C1(0,1,2).易知平面OB1D的一个法向量为=(0,1,0).设平面C1OB1的法向量为，则，即，取，解得。则于是。故二面角C1-OB1-D的余弦值为.HOO1CBD1C1B1A1DA解法二：如图过O1作O1HOB1于H，连接C1H. 由()知O1O底面ABCD，所以O1O底面A1B1C1D1，于是O1OA1C1.又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，因此A1C1B1D1。所以A1C1平面OB1D1D，所以A1C1OB1，于是OB1平面O1HC1，进而OB1HC1。故二面角C1-OB1-D的平面角是O1HC1。不妨设AB=2，则O1O=2，因为CBA=60，所以O1C1=1，O1B1=，OB1=。在Rt OO1B1中，由面积关系可得O1H=。 在RtO1HC1中，HC1=，所以cosO1HC1=为二面角C1-OB1-D的余弦值.20（本小题满分13分） 已知数列an满足a1 =1，|an+1- an|=pn，nN*. ()若an是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；()若p=，且a2n-1是递增数列，a2n是递减数列，求数列an的通项公式解：()因为an是递增数列，所以|an+1- an|=an+1- an=pn. 而a1=1，又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2=a1+3a3，所以4(1+p)=1+3(1+p+p2)，即3p2-p=0，解得p=0，p=，当p=0时，an+1=an，这与an是递增数列矛盾。故p=.()由于a2n-1是递增数列，因而a2n+1a2n-10，于是(a2n+1- a2n)+(a2n- a2n-1)0 ，因为|an+1- an|=，又，所以|a2n+1- a2n |0，因此a2n- a2n-1= 又因为a2n是递减数列，同理可得a2n+1- a2nb0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为e1；双曲线C2：的左、右焦点分别为F3,F4，离心率为e2已知e1e2=.()求C1，C2的方程；()过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P,Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值解()因为e1e2=，所以，即，因此a2=2b2，从而，于是，所以b2=1，a2=2。故C1，C2的方程分别为.()因AB不垂直于y轴，且过点F1(-1,0)，故可设直线AB的方程为x=my-1.联立x2+2y2=2消去x得：(m2+2)y2-2my -1=0. 0恒成立. 设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 则，所以x1+x2= m(y1+y2)-2 =，于是AB的中点为，故直线PQ的斜率为，PQ的方程为，即mx+2y =0. 联立x2-2y2=2消去y得：(2-m2)x2=4. 依题02-m22，所以，从而.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，ABMQF1F2OxdF4F3Pd且。因为点A、B在直线mx+2y=0的异侧，所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)0，函数f(x)=ln(1+ax). ()讨论f(x)在区间(0,+)上的单调性； ()若f(x)存在两个极值点x1,x2，且f(x1)+f(x2)0，求a的取值范围解：() f (x)=( 1+ax0)当a1时，f (x)0，f(x)在区间(0,+)上单调递增；当0a1时，由f (x)=0解得.在(0, x1)上，f (x)0，f(x)单调递增. 综上：当a1时，f(x)在区间(0,+)上单调递增；当0a1时，f(x)在(0, ) 上单调递减；在(, +)上单调递增. ()由()知，当a1时，f(x)不存在极值点，因而必有0a且x-2，所以，解得a.此时，x1,x2分别是f(x)的极小值点和极大值点，而f(x1)+f(x2)= ln(1+ax1)+ln(1+ax2) = ln1+a(x1+x2)+a2x1x2 . 令2a-1=x，由0a1且a知，当0a时，-1x0；当a1时，0x1.记g(x). (1)当-1x0时，g(x)，所以0，因此，g(x)在区间(-1,0)上单调递减，从而g(x)g(-1)=-40，故当0a时，f(x1)+f(x2)0，不合题意. (2)当0x1时，g(x)，所以g(1)=0，故当a0， 综上满足条件的a的取值范围为(,1).附:小题详解1满足( i为虚数单位)的复数z= ( )A B C D 解析：依题，z=。故选B2对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是p1, p2, p3，则( )Ap1= p2p3 Bp2= p3p1 Cp1= p3p2 Dp1= p2=p3 解析：抽样共同特征是等概率抽取。故选D3已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+ 1，则f(1)+g(1)= ( )A3 B1 C1 D3解析：依题，f(1)+g(1)= f(-1)-g(-1)=-1+1+1=1。故选C4的展开式中x2y3的系数是( )A20 B5 C5 D20解析：系数为= -20。故选A开始ty，则-xy，则x2y2。在命题pq；pq；p(q)；(p)q中，真命题是( )A B C D 解析：p真，q假，所以pq真，p(q)真，故选C 6执行如图所示的程序框图，如果输入的t-2,2，则输出的属于( )A-6,-2 B-5,-1 C-4,5 D-3,6 解析：若0t2，则不满足条件输出S=t-3-3,-1，若-2t0，则满足条件，此时t=2t2+1(1,9，612正视图8俯视图侧视图此时不满足条件，输出S=t-3(2,6，综上：S=t-3-3,6，故选D7一块石材表示的几何何的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A1 B2 C3 D4解析：依题，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则(6+8+10)r=68，解得r=2故选B8某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A