高等数学 平面及其方程.ppt

7 7平面及其方程 一 平面的点法式方程 二 平面的一般方程 三 两平面的夹角 法线向量 平面的点法式方程 特殊的平面 平面的一般方程 截距式方程 两平面的夹角 两平面夹角的余弦 两平面平行与垂直的条件 点到平面的距离公式 一 平面的点法式方程 法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 或者叫法矢 唯一确定平面的条件 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就电做该平面的法线向量 过一定点M0 x0 y0 z0 的平面有无穷个 一 平面的点法式方程 法线向量 唯一确定平面的条件 法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就电做该平面的法线向量 过一定点M0 x0 y0 z0 的平面有无穷个 一 平面的点法式方程 唯一确定平面的条件 一 平面的点法式方程 法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就电做该平面的法线向量 过一定点M0 x0 y0 z0 的平面有无穷个 唯一确定平面的条件 一 平面的点法式方程 法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就电做该平面的法线向量 过一定点M0 x0 y0 z0 并有确定 法向量 A B C 的平面只有一个 过一定点M0 x0 y0 z0 的平面有无穷个 唯一确定平面的条件 一 平面的点法式方程 法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就电做该平面的法线向量 过一定点M0 x0 y0 z0 并有确定 法向量 A B C 的平面只有一个 过一定点M0 x0 y0 z0 的平面有无穷个 平面方程的建立 设M x y z 是平面 上的任一点 必与平面 的法线向量n垂直 设M0 x0 y0 z0 为平面 上一点 n A B C 一个法线向量 为平面 的 即它们的数量积等于零 由于 n A B C 所以A x x0 B y y0 C z z0 0 这就是平面 的方程 此方程叫做平面的点法式方程 即x 2y 3z 8 0 例1求过点 2 3 0 且以 n 1 2 3 为法线向量的平 面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为 x 2 2 y 3 3z 0 解先求出这平面的法线向量n 例2求过三点M1 2 1 4 M2 1 3 2 和M3 0 2 3 的平面的方程 可取 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为14 x 2 9 y 1 z 4 0 即14x 9y z 15 0 14i 9j k 解先求出这平面的法线向量n 例2求过三点M1 2 1 4 M2 1 3 2 和M3 0 2 3 的平面的方程 可取 方法二 设平面方程为A x 2 B y 1 C Z 4 0点M2 M3满足方程 代入方程 解之得 因此有 二 平面的一般方程 所以任一三元一次方程Ax By Cz D 0的图形总是一个平面 任一平面都可以用它上面的一点 x0 y0 z0 及它的法线向量 方程的一组数x0 y0 z0 即Ax0 By0 Cz0 D 0 反过来 设有三元一次方程Ax By Cz D 0 任取满足该 由于方程Ax By Cz D 0与方程A x x0 B y y0 C z z0 0同解 n A B C 来确定 平面的点法式方程是三元一次方程 A x x0 B y y0 C z z0 0 则有A x x0 B y y0 C z z0 0 这是平面的点法式方程 方程Ax By Cz D 0称为平面的一般方程 考察下列特殊的平面 指出法线向量与坐标面 坐标轴的关系 平面与坐标面 坐标轴的关系 平面通过的特殊点或线 例如 方程3x 4y z 9 0表示一个平面 n 3 4 1 是这平面的一个法线向量 讨论 D 0 Ax By Cz 0 A 0 By Cz D 0 B 0 Ax Cz D 0 C 0 Ax By D 0 A B 0 Cz D 0 B C 0 Ax D 0 A C 0 By D 0 将其代入所设方程并除以B B 0 便得所求的平面方程为y 3z 0 例3求通过x轴和点 4 3 1 的平面的方程 解由于平面通过x轴 从而它的法线向量垂直于x轴 于是法线向量在x轴上的投影为零 即A 0 又由于平面通过x轴 它必通过原点 于是D 0 因此可设这平面的方程为By Cz 0 又因为这平面通过点 4 3 1 所以有 3B C 0 或C 3B 例4设一平面与x y z轴的交点依次为P a 0 0 Q 0 b 0 R 0 0 c 三点 求这平面的方程 其中a 0 b 0 c 0 解设所求平面的方程为Ax By Cz D 0 因P a 0 0 Q 0 b 0 R 0 0 c 三点都在这平面上 所以点P Q R的坐标都满足所设方程 即有 解得 将其代入所设方程并除以D D 0 便得所求的平面方程为 此方程称为截距式方程 而a b c依次叫做 例4设一平面与x y z轴的交点依次为P a 0 0 Q 0 b 0 R 0 0 c 三点 求这平面的方程 其中a 0 b 0 c 0 平面在x y z轴上的截距 三 两平面的夹角 两平面的夹角 两平面的法线向量的夹角 通常指锐角 称为两平面的平角 q 来确定 设平面 1和 2的法线向量分别为 n1 A1 B1 C1 n2 A2 B2 C2 那么平面 1和 2的夹角 应是 n1 n2 和 n1 n2 p n1 n2 两者中的锐角 因此 cos cos n1 n2 按两向量夹角余弦的坐标表示式 平面 1和 2的夹角 可由 cos 从两向量垂直 平行的充分必要条件立即推得下列结论 1 平面 1和 2互相垂直当且仅当A1A2 B1B2 C1C2 0 2 平面 1和 2互相平行或重合当且仅当 例5求两平面x y 2z 6 0和2x y z 5 0的夹角 解 n1 A1 B1 C1 1 1 2 n2 A2 B2 C2 2 1 1 cos 例6一平面通过两点M1 1 1 1 和M2 0 1 1 且垂直于 平面x y z 0 求它的方程 解设所求平面的法线向量为 n A B C 1 0 2 已知另一平面的法线向量为 所以可取 2i j k 从而所求平面方程为2 x 1 y 1 z 1 0 即2x y z 0 n1 1 1 1 由已知条件 有n n n1 n n1 设P0 x0 y0 z0 是平面Ax By Cz D 0外一点 求P0到这平面的距离 点到平面的距离 在平面上任取一点P1 x1 y1 z1