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文档简介
1 / 5 直线与圆锥曲线的位置关系 目的要求 1、能从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系,并会用方程法讨论直线与两类(封闭与非封闭)曲线的位置关系。 2、弦长公式的理解与灵活运用。 3、通过曲线焦点的弦的弦长问题的处理,能运用圆锥曲线的第二定义以求简化运算,使解题过程得到优化。 本节重点: 1、直线与曲线的位置关系; 2、数形结合思想的渗透。 本节难点: 1、非封闭曲线,尤其是双曲线与直线位置关系的讨论; 2、充分运用新旧知识的迁移,从数与形 两方面深刻理解相关结论,构建完整的知识体系; 3、在掌握共性的(方程法)基础上,注意个性(距离法),防止负迁移,做到特殊问题能特殊处理。 教学过程 一、要点归纳: 如何解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,方程法是通用的方法, 相应方程组的解的个数就是二者交点的个数,若有两个交点,则交点连线的长度就是相应的弦长。基本内容包括: 2 / 5 (一)、位置关系的分类讨论: 1、直线与封闭曲线(圆与椭圆): 以直线与椭圆为例: 因为,所以可 以直接讨论判别式: 直线与曲线相离( 0 个交点); 直线与曲线相切( 1 个交点); 直线与曲线相交( 2 个交点)。 注意:对于直线与圆的位置关系的讨论,除此之外,我们常 通过圆心和直线的距离与半径的大小关系来判定。 2、直线与非封闭曲线(双曲线与抛物线): 以直线与双曲线为例: (1)、即时,方程有唯一解,直线与渐近线平行,位置关系是相交,且只有一个交点。 ( 2)、时,讨论判别式: 直线与曲线相离( 0 个交点); 直线与曲线相切( 1 个交点); 直线与曲线相交( 2 个交点)。 归纳指出:对于非封闭曲线,直线与其仅有一个交点,只是二者相切的一个必要条件,而非充分条件! (二)、直线与曲线相交 弦长问题: 设直线与曲线相交于,两交点坐标的唯一来源 是方程组,下面的弦长公式很显然: 3 / 5 (消元后是关于 x 的方程) 或(消元后是关于 y 的方程) 结合图象,弄清楚公式的导出方法,是为至要! 特别指出:抛物线的焦点弦性质丰富多彩,以为例,若直 线过焦点,关键是注意两点: ( 1)、巧设直线方程: ( 2)、根据定义求弦长: 同时指出:对于圆的弦长,用直角三角形求解更为简便。 二、解题研究: a)直线的斜率,过抛物线焦点 F,与抛物线交于 A、 B 两点,则弦长。( 20) 2、直线:与椭圆交于 A、 B 两点, 则弦长。 3、直线,双曲线,求 k 的取值范围,使双曲线与直线:( 1)、没有交点; ( 2)、有一个交点; ( 3)、有两个交点。 析解 : 1)、,即时,有唯一交点; 2)、,即时,: ,即或时,无交点; ,即时,有唯一交点,相切; 4 / 5 ,即,且时,有两个交点。 综上:或时,没有交点; 或时,有一个交点; ,且时,有两个交点; 讨论 : 1)、画出图象表示上述关系; 2)、何时交于左支、右支、左右各一支; 3)、归纳得出结论: 或时,直线与双曲线相离; 时,直线与双曲线交于右支两点; 时,直线与渐近线平行,交于左支一点; 时,直线与双曲线交于左、右支各一点; 时,直线与渐近线平行,交于右支一点; 时,直线与双曲线交于左支两点; 三、信息反馈:留下几分钟,让学生提问并整理思路。简而言之就一句话:先看方程,再看判别式,一切顺其自然!同时指出:方程法作为一种最基本的方法,亦可以讨论直线与直线、曲线与曲线之间的位置关系,只是前者较简,后者较繁而已,原理不变! 课后回顾: 1、直线与曲线的位置关系的讨论,不管高考 当中以何种方式出题,哪怕是不直接考查,都是学生所必须掌握的基础知识,也不管题目的难易,其基本原理与解题思路是不会改变的; 2、师者,传道、授业、解惑也,如何解数学之惑?在下以为:关键在于把最基本的原理告诉学生。象本节课,为什么直线与5 / 5 双曲线、抛物线的位置关系变得复杂,从形上看是因为曲线不封闭(封闭这一名词高中教材中没有出现,但因为其直观性,学生并不难理解),从数上看是因为消元后方程的形式不确定; 3、本节课内容较多,也是解析几何当中的一个难点,我之所以将每一步都深深地植根于韦达定理、求 根公式、勾股定理
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