直线与圆锥曲线的位置关系

1 / 5 直线与圆锥曲线的位置关系 目的要求 1、能从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系，并会用方程法讨论直线与两类（封闭与非封闭）曲线的位置关系。 2、弦长公式的理解与灵活运用。 3、通过曲线焦点的弦的弦长问题的处理，能运用圆锥曲线的第二定义以求简化运算，使解题过程得到优化。 本节重点： 1、直线与曲线的位置关系； 2、数形结合思想的渗透。 本节难点： 1、非封闭曲线，尤其是双曲线与直线位置关系的讨论； 2、充分运用新旧知识的迁移，从数与形 两方面深刻理解相关结论，构建完整的知识体系； 3、在掌握共性的（方程法）基础上，注意个性（距离法），防止负迁移，做到特殊问题能特殊处理。 教学过程 一、要点归纳： 如何解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，方程法是通用的方法， 相应方程组的解的个数就是二者交点的个数，若有两个交点，则交点连线的长度就是相应的弦长。基本内容包括： 2 / 5 （一）、位置关系的分类讨论： 1、直线与封闭曲线（圆与椭圆）： 以直线与椭圆为例： 因为，所以可 以直接讨论判别式： 直线与曲线相离（ 0 个交点）； 直线与曲线相切（ 1 个交点）； 直线与曲线相交（ 2 个交点）。 注意：对于直线与圆的位置关系的讨论，除此之外，我们常 通过圆心和直线的距离与半径的大小关系来判定。 2、直线与非封闭曲线（双曲线与抛物线）： 以直线与双曲线为例： (1)、即时，方程有唯一解，直线与渐近线平行，位置关系是相交，且只有一个交点。 （ 2）、时，讨论判别式： 直线与曲线相离（ 0 个交点）； 直线与曲线相切（ 1 个交点）； 直线与曲线相交（ 2 个交点）。 归纳指出：对于非封闭曲线，直线与其仅有一个交点，只是二者相切的一个必要条件，而非充分条件！ （二）、直线与曲线相交 弦长问题： 设直线与曲线相交于，两交点坐标的唯一来源 是方程组，下面的弦长公式很显然： 3 / 5 （消元后是关于 x 的方程） 或（消元后是关于 y 的方程） 结合图象，弄清楚公式的导出方法，是为至要！ 特别指出：抛物线的焦点弦性质丰富多彩，以为例，若直 线过焦点，关键是注意两点： （ 1）、巧设直线方程： （ 2）、根据定义求弦长： 同时指出：对于圆的弦长，用直角三角形求解更为简便。 二、解题研究： a)直线的斜率，过抛物线焦点 F，与抛物线交于 A、 B 两点，则弦长。（ 20） 2、直线：与椭圆交于 A、 B 两点， 则弦长。 3、直线，双曲线，求 k 的取值范围，使双曲线与直线：（ 1）、没有交点； （ 2）、有一个交点； （ 3）、有两个交点。 析解 ： 1）、，即时，有唯一交点； 2）、，即时，： ，即或时，无交点； ，即时，有唯一交点，相切； 4 / 5 ，即，且时，有两个交点。 综上：或时，没有交点； 或时，有一个交点； ，且时，有两个交点； 讨论 ： 1）、画出图象表示上述关系； 2）、何时交于左支、右支、左右各一支； 3）、归纳得出结论： 或时，直线与双曲线相离； 时，直线与双曲线交于右支两点； 时，直线与渐近线平行，交于左支一点； 时，直线与双曲线交于左、右支各一点； 时，直线与渐近线平行，交于右支一点； 时，直线与双曲线交于左支两点； 三、信息反馈：留下几分钟，让学生提问并整理思路。简而言之就一句话：先看方程，再看判别式，一切顺其自然！同时指出：方程法作为一种最基本的方法，亦可以讨论直线与直线、曲线与曲线之间的位置关系，只是前者较简，后者较繁而已，原理不变！ 课后回顾： 1、直线与曲线的位置关系的讨论，不管高考 当中以何种方式出题，哪怕是不直接考查，都是学生所必须掌握的基础知识，也不管题目的难易，其基本原理与解题思路是不会改变的； 2、师者，传道、授业、解惑也，如何解数学之惑？在下以为：关键在于把最基本的原理告诉学生。象本节课，为什么直线与5 / 5 双曲线、抛物线的位置关系变得复杂，从形上看是因为曲线不封闭（封闭这一名词高中教材中没有出现，但因为其直观性，学生并不难理解），从数上看是因为消元后方程的形式不确定； 3、本节课内容较多，也是解析几何当中的一个难点，我之所以将每一步都深深地植根于韦达定理、求 根公式、勾股定理