高考数学总复习：第十篇-第3讲-二项式定理.ppt

第3讲二项式定理 2014年高考会这样考 1 能用计数原理证明二项式定理 2 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 考点梳理 1 二项式定理 二项展开式 通项 1 项数为 2 各项的次数都等于二项式的幂指数n 即a与b的指数的和为 3 字母a按 排列 从第一项开始 次数由n逐项减1直到零 字母b按 排列 从第一项起 次数由零逐项增1直到n 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数 即 2 增减性与最大值 2 二项展开式形式上的特点 3 二项式系数的性质 n 1 n 降幂 升幂 相等 增大 2n 2n 1 助学 微博 一个防范 一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明 也可根据次数 项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理 因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续 两种应用 1 通项的应用 利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等 2 展开式的应用 证明与二项式系数有关的等式 证明不等式 证明整除问题 做近似计算等 A 42B 35C 28D 21答案DA 9B 8C 7D 6解析令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 0令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 16 a0 a2 a4 8 答案B 考点自测 1 2012 四川 1 x 7的展开式中x2的系数是 2 教材习题改编 若 x 1 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 则a0 a2 a4的值为 A 6B 7C 8D 9答案B 3 2011 重庆 1 3x n 其中n N且n 6 的展开式中x5与x6的系数相等 则n 答案 160 5 2012 陕西 a x 5展开式中x2的系数为10 则实数a的值为 答案1 1 求n 2 求含x2的项的系数 3 求展开式中所有的有理项 审题视点 准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键 考向一二项展开式中的特定项或特定项的系数 r Z k应为偶数 k 2 0 2 即r 2 5 8 第3项 第6项 第9项为有理项 它们分别为405x2 61236 295245x 2 求二项展开式中的指定项 一般是利用通项公式进行 化简通项公式后 令字母的指数符合要求 求常数项时 指数为零 求有理项时 指数为整数等 解出项数k 1 代回通项公式即可 训练1 2012 福建 a x 4的展开式中x3的系数等于8 则实数a 答案2 1 二项式系数的和 2 各项系数的和 3 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和 4 奇数项系数和与偶数项系数和 审题视点 求二项式的系数的和 常用赋值法求解 解设 2x 3y 10 a0 x10 a1x9y a2x8y2 a10y10 各项系数和即为a0 a1 a10 奇数项系数和为a0 a2 a10 偶数项系数和为a1 a3 a5 a9由于 是恒等式 故可用 赋值法 求出相关的系数和 考向二二项式定理中的赋值 例2 在 2x 3y 10的展开式中 求 4 令x y 1 得到a0 a1 a2 a10 1 令x 1 y 1 或x 1 y 1 得a0 a1 a2 a3 a10 510 得2 a0 a2 a10 1 510 1 对形如 ax b n ax2 bx c m a b R 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 对形如 ax by n a b R 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 A 1B 64C 243D 729解析 a0 a1 a6 即为 1 2x 6展开式中各项系数的和 在原题中令x 1 则 a0 a1 a6 1 2 6 36 729 答案D 训练2 2013 九江质检 1 2x 6 a0 a1x a2x2 a6x6 则 a0 a1 a2 a6 的值为 审题视点 求多个二项式积的某项系数 要会转化成二项式定理的形式 答案2 考向三二项式的和与积 例3 1 2x 3 1 x 4展开式中x项的系数为 对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题 要注意排列 组合知识的运用 还要注意有关指数的运算性质 对于三项式问题 一般是通过合并其中的两项或进行因式分解 转化成二项式定理的形式去求解 A 3B 2C 2D 3答案D 命题研究 通过对近三年高考试题的研究可以看出 二项式定理的应用及二项式系数的性质是高考的必考内容之一 二项式定理揭示了二项式的幂展开式在项数 系数以及各项中的指数等方面的联系 试题相对独立 是高考中多年来最缺少变化的题型之一 预测2014年高考仍将以考查二项展开式中的常数项或求展开式中某一项或某一项的系数为主 考查题型主要是选择题和填空题 热点突破26 二项式定理的常考题型 一 求常数项 教你审题 求二项展开式中的常数项 首先应正确写出通项公式 然后令所含参数的指数为零 确定项数 再代入通项公式求解 答案 160 答案B 二 求特定项的系数 教你审题 由二项式系数相等 可以确定n的值 然后进一步借助于通项公式 分析项的系数 答案56 备考 求二项展开式中的特定项或特定项的系数是高考考查