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习题课 二 三个线面问题 三 线面关系实例 机动目录上页下页返回结束 矢量代数与 第八章 一 矢量代数 空间解析几何 一 矢量代数 1 数量积 设矢量 的夹角为 称 数量积 点积 2 矢量积 定义 矢量 方向 叉积 记作 且符合右手规则 模 矢量积 机动目录上页下页返回结束 3 典型例题 解 由已知条件得 得 令 则 方向余弦 机动目录上页下页返回结束 解 例2 已知 且满足 都是单位向量 求 只能考虑 应用向量的运算规律来求解 机动目录上页下页返回结束 解 例3 已知 并求以 求与 同时垂直的单位向量 机动目录上页下页返回结束 为两邻边的平行四边形之面积 与之同时垂直的单位向量 面积为 解 例4 在 并与向量 坐标平面上求向量 使它垂直与向量 机动目录上页下页返回结束 有相等的模 由题设知 又因为 而 则 于是 解 例5 已知向量 成相等锐角 求 轴上的投影 轴与三坐标轴正向构 机动目录上页下页返回结束 在 设u轴上的方向余弦分别是 由题设 以及 得 所以 即u轴上的正向单位向量 解 例6 设向量 1 k为何值时 其中 机动目录上页下页返回结束 1 当 且 问 2 k为何值时 即 有 解 机动目录上页下页返回结束 2 平行四边形面积 例6 设向量 1 k为何值时 其中 且 问 2 k为何值时 二 三个重点问题 1 过直线 的平面束 方程 机动目录上页下页返回结束 2 点 的距离为 到平面 Ax By Cz D 0 机动目录上页下页返回结束 到直线 的距离 为 3 点 机动目录上页下页返回结束 三 实例分析 例1 求与两平面x 4z 3和2x y 5z 1的交线 提示 所求直线的方向向量可取为 利用点向式可得方程 平行 且过点 3 2 5 的直线方程 机动目录上页下页返回结束 例2 假设给定两条直线 和 证明 利用向量的混合积来证明 机动目录上页下页返回结束 证明此两直线异面 例3 求过点 2 1 3 且与直线 垂直相交的直线方程 提示 先求二直线交点P 化已知直线方程为参数方程 代入 式 可得交点 最后利用两点式得所求直线方程 的平面的法向量为 故其方程为 过已知点且垂直于已知直线 机动目录上页下页返回结束 例4 求直线 在平面 上的投影直线方程 提示 过已知直线的平面束方程 从中选择 得 这是投影平面 即 使其与已知平面垂直 从而得投影直线方程 机动目录上页下页返回结束 例5 设一平面平行于已知直线 且垂直于已知平面 求该平面法线的 的方向余弦 提示 已知平面的法向量 求出已知直线的方向向量 取所求平面的法向量 机动目录上页下页返回结束 所求为 例6 求过直线L 且与平面 夹成 角的平面方程 提示 过直线L的平面束方程 其法向量为 已知平面的法向量为 选择 使 从而得所求平面方程 机动目录上页下页返回结束 思路 先求交点 例7 求过点 且与两直线 都相交的直线L 提示 的方程化为参数方程 设L与它们的交点分别为 再写直线方程 机动目录上页下页返回结束 三点共线 机动目录上页下页返回结束 因为 例8 直线 绕z轴旋转一周 求此旋转 转曲面的方程 提示 在L上任取一点 旋转轨迹上任一点 则有 得旋转曲面方程 机动目录上页下页返回结束 截线方程为 解 如图 例9 机动目录上页下页返回结束 空间的圆周 求其中心坐标和半径 过球心且与已知平面垂直的直线方程 解 故球的中心坐标为 3 2 0 因为 则球心到平面的距离 机动目录上页下页返回结束 表示一个 例10 方程组 将直线的标准式化为参数式 代入已知的平面方程解得 所以圆的中心坐标为 圆的半径为 机动目录上页下页返回结束 上的投影直线l0的方程 并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程 解 方法一 由于所做平面垂直与已知平面 故有 先将直线l的标准式化为一般式 机动目录上页下页返回结束 在平面 例11 求 过直线l作平面束方程 即 即过直线l垂直平面 的平面方程为 机动目录上页下页返回结束 故所求直线l0的方程为 再求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程 将直线l0化为标准式 上的投影直线l0的方程 并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程 在平面 例11 求 解 方法一 此时y不变 机动目录上页下页返回结束 直线l0上点 绕y轴旋转到 由于M1为直线l0上的点 即 而 所以有 整理得 上的投影直线l0的方程 并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程 在平面 例11 求 解 方法一 机动目录上页下页返回结束 设经过直线l点且垂直于平面 的平面 1 的方程为 则由条件可知 由此解得 于是平面 1的方程为 从而l0的方程为 上的投影直线l0的方程 并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程 在平面 例11 求 解 方法二 机动目录上页下页返回结束 由一般的空间曲线 消去参数t即可得到曲面方程 绕y轴旋转所形成的旋转曲面方程为 上的投影直线l0的方程 并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程 在平面 例11 求 解 方法二 机动目录上页下页返回结束 由于l0的参数表达式为 消去参数t 得 绕y轴旋转所形成的旋转曲面方程为 上的投影直线l0的方程 并求l0绕y轴