高二数学导数在实际生活中的应用.ppt

1 最值的概念 最大值与最小值 如果在函数定义域I内存在x0 使得对任意的x I 总有f x f x0 则称f x0 为函数f x 在定义域上的最大值 最值是相对函数定义域整体而言的 如果在函数定义域I内存在x0 使得对任意的x I 总有f x f x0 则称f x0 为函数f x 在定义域上的最小值 知识回顾 2 将y f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 1 求f x 在区间 a b 内极值 极大值或极小值 利用导数求函数f x 在区间 a b 上最值的步骤 注意 若函数f x 在区间 a b 内只有一个极大值 或极小值 则该极大值 或极小值 即为函数f x 在区间 a b 内的最大值 或最小值 新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应用 利用导数求最值的方法 可以求出实际生活中的某些最值问题 1 几何方面的应用 2 物理方面的应用 3 经济学方面的应用 面积和体积等的最值 利润方面最值 功和功率等最值 楚水实验学校高二数学备课组 导数在实际生活中的应用 例 在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的方底箱子 箱底的边长是多少时 箱子的容积最大 最大容积是多少 由题意可知 当x过小 接近0 或过大 接近60 时 箱子容积很小 因此 16000是最大值 答 当x 40cm时 箱子容积最大 最大容积是16000cm3 解法一 设箱底边长为xcm 则箱高cm 得箱子容积 令 解得x 0 舍去 x 40 并求得V 40 16000 解 设圆柱的高为h 底半径为R 则表面积 例 圆柱形金属饮料罐的容积一定时 它的高与底的半径应怎样选取 才能使所用的材料最省 S 2 Rh 2 R2由V R2h 得 则 令 解得 从而 答 当罐的高与底直径相等时 所用材料最省 即h 2R因为S R 只有一个极值 所以它是最小值 练习 1 求内接于半径为R的圆的矩形面积的最大值 2 求内接于半径为R的球的圆柱体积的最大值 高考链接 年江苏卷 请你设计一个帐篷 它的下部的形状是高为 m的正六棱柱 上部的形状是侧棱长为 m的正六棱锥 试问 当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时 帐篷的体积最大 O O1 帐篷的体积为 单位 m3 V x 解 设OO1为xm 则1 x 4 由题设可得正六棱锥底面边长为 单位 m 于是底面正六形的面积为 单位 m2 求导数 令V x 0解得x 2 不合题意 舍去 x 2当1 x 2时V x 0 V x 为增函数当2 x 4时V x 0V x 为减函数所以当x 2时V x 最大答 当OO1为2m时帐篷的体积最大 例 在如图所示的电路中 已知电源的内阻为r 电动势为 外电阻R为多大时 才能使电功率最大 最大电功率是多少 强度分别为a b的两个点光源A B 它们间的距离为d 试问在连接这两个光源的线段AB上 何处照度最小 试就a 8 b 1 d 3时回答上述问题 照度与光的强度成正比 与光源距离的平方成反比 A B P X 3 X 在经济学中 生产x单位产品的成本称为成本函数 记为C x 出售x单位产品的收益称为收益函数 记为R x R x C x 称为利润函数 记为P x 1 设C x 10 6x3 0 003x2 5x 1000 生产多少单位产品时 边际成本 x 最低 2 设C x 50 x 10000 产品的单价p 100 0 01x 怎样定价可使利润最大 某产品制造过程中 次品数y依赖于日产量x 其函数关系为y x 101 x x 100 又该产品售出一件可以盈利a元 但出一件次品就损失a 3元 为获取最大利润 日产量应为多少 生产某塑料管的利润函数为P n n3 600n2 67500n 12