互为反函数的函数图像之间的关系及应用ppt课件.ppt

高一数学多媒体演示课 天马行空官方博客 互为反函数的函数图像之间的关系及应用 江一中新校园 学生餐厅 1 叙述反函数的定义 一般地 函数y f x x A 中 设它的值域为C 我们根据这个函数中x y的关系 用y把x表示出来得到x y 如果对于y在C中的任何一个值 通过x y 在A中都有唯一的值和它对应 那么 x y 就表示y是自变量 x是自变量y的函数 这样的函数x y y C 叫做函数y f x x A 的反函数 记作x f 1 y 字母x y互换 得y f 1 x 一 复习提问 天马行空官方博客 求反函数的基本步骤 由y f x 出发 用y表示x 解出x f 1 y 将x y互换得到y f 1 x 指出反函数的定义域 即原函数的值域 反解 互换 写出定义域 2 求反函数有哪些基本步骤 解 函数y 2x2 3 x R 没有反函数 因为它不是由一一映射构成的函数 当把定义域改写为 0 或 0 时它才有反函数 4 函数y 2x2 3 x R 有没有反函数 为什么 如何改写定义域才能使其有反函数 3 点P a b 关于直线y x对称的对称点P 的坐标为 b a 即横坐标与纵坐标对换位置 例1 求函数y 3x 2 x R 的反函数 并且画出原来的函数和它的反函数的图象 解 y 3x 2 函数y 3x 2 x R 的反函数为y x 二 讲授新课 首先我们来研究互为反函数的函数图像间的关系 x R 互为反函数的两个函数的图象之间是否具有某种对称关系 它们的两个函数图象是以直线y x为对称轴的对称图形 给出定理 函数y f x 的图象与它的反函数y f 1 x 的图象关于直线y x对称 问题 回答 注 1 这个结论是由特殊到一般归纳出来的 并未经过严格证明 为不增加难度 现在不作证明 2 这个结论是在同一坐标系下 且横轴 x轴 与纵轴 y轴 长度单位一致的情况下得出的 3 函数y f x 与函数y f 1 x 互为反函数 图像关于直线y x对称 函数y f x 与函数x f 1 y 互为反函数 图像相同 4 如果两个函数的图象关于y x对称 那么这两个函数互为反函数 函数y f 1 x 与函数x f 1 y 是同一函数 图像关于直线y x对称 例2 求函数y x3 x R 的反函数 并画出原来的函数和它的反函数的图象 由函数 x R 得 所以函数 x R 的反函数是 解 注 当已知函数y f x 的图象时 利用所学定理 作出它关于直线y x对称的图象 就是反函数y f 1 x 的图象 练习1 画出函数y x2 x 0 的图象 再利用对称性画出它的反函数的图象 例3 若点P 1 2 在函数的图象上 又在它的反函数的图象上 求a b的值 解 由题意知 P 1 2 在函数的反函数的图象上 根据互为反函数的函数图象关于直线y x对称的性质知 点P1 2 1 也在函数的图象上 因此 得 解得 a 3 b 7 然后我们利用互为反函数的函数图像间的关系来解决相应问题 例4 求证 函数的图象关于直线y x对称 证明 yx y x y 1 x y 函数 的反函数为 即 函数的反函数是该函数自身 函数的图象关于直线y x对称 注 如果一个函数的反函数就是它本身 那么这个函数的图象关于y x对称 反之 如果一个函数的图象关于y x对称 那么这个函数的反函数就是它本身 例5 已知函数f x 1 求f x 的反函数 2 若这个函数图象关于y x对称 求a值 3 2 由题函数图象关于y x对称 可知f x 的反函数是它本身即 f x f 1 x a 3 解 练习2 如果y f x 的图象过点 1 2 那么y f 1 x 1的图象过点 分析 由y f x 的图象过点 1 2 知y f 1 x 的图像过点 2 1 而y f 1 x 1的图像是由y f 1 x 的图像向下平移1个单位得到的 故y f 1 x 1的图象过点 2 0 2 0 练习3 如果一次函数y ax 2与y 3x b的图象关于直线y x对称 求a b的值 解 据题意 y ax 2与y 3x b互为反函数 y 3x b的反函数为 比较系数得 练习4 已知函数的图像经过点 1 3 且它的反函数f 1 x 的图像过点 2 0 求f x 解 f x 的图像过点 1 3 a b 3 由f x 的反函数f 1 x 的图像过点 2 0 可知f x 的图像过点 0 2 1 b 2 由 得b 1 将b 1代入 中得a 2 解法一 由得反函数由令x 0得 m 1解法二 令x 0则 0 在f x 的图象上由已知f x 的反函数是自身 0 在f x 的图象上 5 0 m 1 练习5 已知函数 的图象关于直线y x对称 求m的值 三 课堂小结 1 函数y f x 的图象与它的反函数y f 1 x 的图象关于直线y x对称 2 函数y f x 与函数y f 1 x 互为反函数 图像关于直线y x对称 函数y f x 与函数x f 1 y 为互为反函数 图像相同 函数y f 1 x 与函数x f 1 y 是同一函数 图像关于直线y x对称 4 如果两个函数的图象关于y x对称 那么这两个函数互为反函数 5 如果一个函数的反函数就是它本身 那