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1 1矩阵的概念与几种常见的变换 高中数学选修4 2矩阵与变换 何为矩阵 一 知识引入 O 1 P 1 3 y x 3 某电视台举行的歌唱比赛 甲 乙两选手初赛 复赛成绩如表 通常用大写黑体的字母A B C 表示组成矩阵的每一个数 或字母 称为矩阵的元素同一横排中的一行数 或字母 叫做矩阵的行 同一竖排中的一列数 或字母 叫做矩阵的列 一 矩阵的概念 的阵列称为矩阵 二 新课讲解 特殊的矩阵 0 矩阵的概念 例 练一练 等腰梯形 例 解 城市A城市B城市C甲矿区乙矿区 已知甲 乙 丙三人中 甲 乙相识 甲 丙不相识 乙 丙相识 若用0表示两个人之间不相识 1表示两个人之间相识 请用一个矩阵表示他们之间的相识关系 规定每个人都和自己相识 练一练 矩阵的相等 例 练一练 二 矩阵的乘法 实数的乘法运算满足交换律 结合律 消去律 思考 实数的乘法运算有哪些性质 问题1 矩阵的乘法满足这些性质吗 例 1 已知A B 计算AB BA 举例说明 BA 解 1 AB 1 说明矩阵乘法不满足交换律 矩阵的乘法满足结合律吗 问题2 2 说明矩阵乘法满足结合律 C 2 AB C A BC 3 已知A B C 计算AB AC 解 3 AB AC 3 说明矩阵乘法不满足消去律 举例说明 归纳 矩阵乘法满足结合律 通常不满足交换律与消去律 AB C A BC AB BA 例4 计算 探究点1二阶矩阵的运算 7 三 线性变换与矩阵 用矩阵可表示为 像 原像 写出下列各矩阵变换下的新旧坐标关系 恒等变换 x轴方向的伸缩变换 纵坐标不变 横坐标变为原来的k倍 横坐标不变 纵坐标变为原来的k倍 y轴方向的伸缩变换 几种常见的矩阵变换 根据下列新旧坐标关系写出相应矩阵变换 关于y轴的反射变换 关于x轴的反射变换 关于直线y x的反射变换 关于直线y x的反射变换 几种常见的矩阵变换 8 旋转变换 矩阵通常叫做旋转变换矩阵 其中的角 做旋转角 点O叫做旋转中心 旋转变换只改变几何图形的位置 不会改变其形状 图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定 将点A绕原点O逆时针旋转 角得A 写出对应的变换矩阵 当旋转角 1800时 即原点中心对称 9 投影变换 x轴上的投影变换 y轴上的投影变换 类似地 将平面内图形投影到某条直线 或某个点上的矩阵 我们称之为投影变换矩阵 相应的变换称做投影变换 探究点 平面图形的变换 思路 用矩阵变换的意义来解题 思路 用变换和矩阵的相互之间的关系来确定解题的思路 点评 要理解二阶矩阵变换的定义 熟悉五种常见的矩阵变换 明确矩阵变换的特点 探究点3矩阵变换的应用 思路 利用变换和矩阵之间的对应关系 点评 本题较好地体现了矩阵的工具性作用 思路 先用旋转变换 再用转移代入法 小结 1 矩阵的概念 零矩阵 行矩阵 列矩阵 2 矩阵的表示 3 相等的矩阵 4 用
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