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数学运算 数学基本思想 江苏2008 A 25 某企业的净利润y 单位 10万元 与产量x 单位 100万件 之间的关系为 问该企业的净利润的最大值是多少万元 A 5B 50C 60D 70 2009 106 当第29届奥运会于北京时间2008年8月8日20时正式开幕时 全世界和北京同一天的国家占 A 全部B C 以上D 以下 一 常识判断法 不通过具体计算 只运用一定常识 从而直接得到答案的方法 浙江2006 37 现有一种预防禽流感药物配置成的甲 乙两种不同浓度的消毒的消毒溶液 若从甲中取2100克 乙中取700克混合而成的消毒溶液的浓度为3 若从甲中取900克 乙中取2700克 则混合而成的消毒溶液的浓度为5 则甲 乙两种消毒溶液的浓度分别为 A 3 6 B 3 4 C 2 6 D 4 6 2002 A 6 1998年 甲的年龄是乙的年龄的4倍 2002年 甲的年龄是乙的年龄的3倍 问甲 乙二人2000年的年龄分别是多少岁 A 34岁 12岁B 32岁 8岁C 36岁 12岁D 34岁 10岁 河南法检2008 57 某工厂 三月比二月产量高20 二月比一月产量高20 则三月比一月高 A 40 B 44 C 48 D 52 湖南2008 36 某商品因滞销而降价20 后因销路不好又降价20 两次降价后的销售价比降价前的销售价低 20 36 40 44 山东2004 10 用同样长的铁丝围成三角形 圆形 正方形 菱形 其中面积最大的是 A 正方形B 菱形C 三角形D 圆形 2008 49 相同表面积的四面体 六面体 正十二面体及正二十面体其中体积最大的是 A 四面体B 六面体C 正十二面体D 正二十面体 二 直接代入法 直接代入法 广泛用于同余问题 多位数问题 不定方程等典型问题中 例1 2004B 43 一个小于80的自然数与3的和是5的倍数 与3的差是6的倍数 这个自然数最大是多少 A 32B 47C 57D 72 例3 安徽2007 86 一个最简分数 分子和分母的和是50 如果分子 分母都减去5 得到的最简分数是 这个分数原来是多少 A B C D 三 数字特性法 几大基本法则1 奇偶运算基本法则2 整除判定基本法则3 倍数关系核心判定特征 奇偶运算基本法则 基础 奇数 奇数 偶数 偶数 偶数 偶数 偶数 奇数 偶数 奇数 偶数 奇数 推论 一 任意两个数的和如果是奇数 那么差 如果和是偶数 那么差 二 任意两个数的和或差是奇数 则两数奇偶 和或差是偶数 则两数奇偶 奇 偶 不同 相同 例11 山东2004 12 某次测验有50道判断题 每做对一题得3分 不做或做错一题倒扣1分 某学生共得82分 问答对题数和答错题数 包括不做 相差多少 A 33B 39C 17D 16 整除判定基本法则能被2 4 8 5 25 125整除的数的数字特性能被3 9整除的数的数字特性能被7整除的数的数字特性能被11整除的数的数字特性 能被11整除的数 这个数奇数位的和与偶数位的和之差是11的倍数 倍数关系核心判定特征如果 则如果 则如果 则 a是m的倍数 b是n的倍数 a是m的倍数 b是n的倍数 a b是m n的倍数 例12 2002B 8 若干学生住若干房间 如果每间住4人则有20人没地方住 如果每间住8人则有一间只有4人住 问共有多少名学生 A 30人B 34人C 40人D 44人 例14 江苏2006 B 76 在招考公务员中 A B两岗位共有32个男生 18个女生报考 已知报考A岗位的男生数与女生数的比为5 3 报考B岗位的男生数与女生数的比为2 1 报考A岗位的女生人数是 A 15B 16C 12D 10 例15 云南2005 13 安徽2008 7 一个袋子里放着各种颜色的小球 其中红球占1 4 后来又往袋子里放了10个红球 这时红球占总数的2 3 问原来袋子里有球多少个 A 8B 6C 4D 2 安徽2008 7 A 8B 16C 12D 20 例24 一块金与银的合金重250克 放在水中减轻16克 现知金在水中重量减轻1 19 银在水中重量减轻1 10 则这块合金中金 银各占的克数为多少克 国2000 29 A 100克 150克B 150克 100克C 170克 80克D 190克 60克 数学计算问题 一 直接求值问题 例1 2002B 09 的值是 A 7 6B 8C 76D 80 凑整 例2 河南2007 41 83 83 A 1B 83C 2209D 6889 广州2005 7 计算 ABCD 裂项相消 北京应届2008 22 ABCD A A B B 整体相消 国2004B 37 1994 2002 1993 2003的值是 A 9B 19C 29D 39 二 尾数问题 国2002B 10 3 999 8 99 4 9 8 7的值是 A 3840B 3855C 3866D 3877 国2005二 38 173 173 173 162 162 162 A 926183B 936185C 926187D 926189 乘方尾数问题核心口诀 1 底数留个位 2 指数除以4留余数 余数为0则看作4 除0 1 5 6四个尾数不变的数之外 其余皆可使用以上口诀 无需考虑周期为2或者4 浙江2006 31 9的个位数是 A 1B 2C 8D 9 2006 例4 浙江2007A 11 1 3 5 7 9的值的个位数是 A 5B 6C 8D 9 2007 2007 2007 2007 2007 三 比较大小问题 传统方法有作差法和作商法 实际应用较多的是平方法 参照比较法和放缩法等等 例1 2000 26 大于且小于的数是 A B C D 初等数学模块 一 多位数问题 例1 山东2006 7 一个三位数 百位上的数比十位上的数大4 个位上的数比十位上的数大2 这个三位数恰好是后两个数字组成的两位数的21倍 那么 这个三位数是 A 532B 476C 676D 735 掌握多位数问题必须要掌握多位数的基本概念 1位数从1到9共个2位数从10到99共个3位数从100到999共个4位数从1000到9999共个 9 90 900 9000 例1 2008 51 编一本书的书页 用了270个数字 重复的也算 如页码115用了2个1和1个5共3个数字 问这本书一共有多少页 A 117B 126C 127D 189 例3 2000 27 河南高速招警2007 47 最大的四位数比最大的两位数大的倍数是 A 99B 100C 101D 102 二 余数相关问题 常见题型余数问题 利用余数基本恒等式解题 被除数 除数 商 余数同余问题 给出一个数除以几个不同的数的余数 反求这个数 称作同余问题 余同取余 和同加和 差同减差 公倍数作周期 题1 自然数P满足下列条件 P除以4余1 P除以5余1 P除以6余1 则满足条件的最小的P是 题2 自然数P满足下列条件 P除以4余3 P除以5余2 P除以6余1 则满足条件的最小的P是 题3 自然数P满足下列条件 P除以4余1 P除以5余2 P除以6余3 则满足条件的最小的P是 60n 1 60n 7 60n 3 题1 自然数P满足下列条件 P除以4余1 P除以5余1 P除以6余1 如果 100 P 300 则这样的P有几个 A 不存在B 1个C 2个D 3个 题2 自然数P满足下列条件 P除以4余3 P除以5余2 P除以6余1 如果 100 P 200 则这样的P有几个 A 不存在B 1个C 2个D 3个 题3 自然数P满足下列条件 P除以4余1 P除以5余2 P除以6余3 则满足条件的最小的P是 A 57B 117C 53D 62 例1 一堆苹果 5个5个的分剩余3个 7个7个的分剩余2个 问这堆苹果的个数最少为 山东2003 A 31B 10C 23D 41 同余问题 例3 国家2006 34 一个三位数除以9余7 除以5余2 除以4余3 这样的三位数有 A 5个B 6个C 7个D 8个 同余问题 三 星期日期问题 例1 2003年7月1日是星期二 那么2005年7月1日是 国2005一类 41 A 星期三B 星期四C 星期五D 星期六 例2 浙江2009 44 已知2008年的元旦是星期二 问2009年元旦是星期几 A 星期二B 星期三C 星期四D 星期五 四 等差数列相关问题 求和公式 项数公式 平均数 中位数 首项 末项 2第N项 第M项 N M 公差 例3 北京2009 11 有一堆粗细均匀的原木 最上面一层有六根 每向下一层增长一根 共堆了25层 这堆原木共有多少根 A 175B 200C 375D 450 例5 某一天节秘书发现办公桌上的台历已经有9天没有翻了 就一次翻了9张 这9天的日期加起来 得数恰好是108 问这一天是几号 A 14B 13C 17D 19 比例模块 一 工程问题 工程问题是从效率的角度研究工作总量 工作时间和工作效率三个量之间的关系 它们有如下关系 工作效率 工作时间 工作总量 工作总量 工作效率 工作时间 工作总量 工作时间 工作效率 若求总量则设为 x 若求其他则一般设总量为 1 例1 国2003B 11 一个浴缸放满水需要30分钟 排光水需要50分钟 假如忘记关上出水口 将这个浴缸放满水需要多少分钟 A 65B 75C 85D 95 例2 国2002A 7 一项工作 甲单独做10天完成 乙单独做15天完成 问 两人合作3天完成工作的几分之几 A 1 2B 1 3C 1 5D 1 6 二 浓度问题 公式多次混合问题原浓度为 原来总重为M克 每次倒掉N克后加满清水 n次后浓度变成原浓度为 原来总重为M克 每次倒进N克清水后 再倒出N克溶液 n次后浓度变成 例1 浙江2007二类 19 浓度为70 的酒精溶液100克与浓度为20 的酒精溶液400克混合后得到的酒精溶液的浓度是多少 A 30 B 32 C 40 D 45 三 十字交叉法 重量为A与B的溶液 其浓度分别为a和b 混合后浓度为r 数量为A与B的人口 分别增长a和b 总体增长率为r Aa Bb A B rA B r b a r 例1 2005一类 40 某市现有70万人口 如果5年后城镇人口增加4 农村人口增加5 4 则全市人口将增加4 8 那么这个市现有城镇人口多少万 A 30万B 31 2万C 40万D 41 6万 行程模块 一 基本行程问题 1 等时间平均速度公式 则2 等距离平均速度公式 则特殊情况当n 2时 3 V相对 V1 V2取和 相遇问题 背离问题 从队头到队尾 顺风 顺水 顺电梯 取差 追及问题 从队尾到队头 逆风 逆水 逆电梯 例1 浙江2003 20 一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米 返回时速度为每小时20千米 则它的平均速度为多少千米 时 A 24千米 时B 24 5千米 时C 25千米 时D 25 5千米 时 例6 浙江2008 20 甲 乙两人沿直线从A地步行至B地 丙从B地步行至A地 已知甲 乙 丙三人同时出发 甲和丙相遇后5分钟 乙与丙相遇 如果甲 乙 丙三人的速度分别为85米 分钟 75米 分钟 65米 分钟 问AB两地距离为多少米 A 8000米B 8500米C 10000米D 10500米 计数问题 二 排列组合问题 例1 把4个不同的球放入4个不同的盒子中 每个盒子放一个球 有多少种放法 国2004B 44 A 24B 4C 12D 10 例2 林辉在自助餐店就餐 他准备挑选三种肉类中的一种肉类 四种蔬菜中的二种不同蔬菜 以及四种点心中的一种点心 若不考虑食物的挑选次序 则他可以有多少种不同的选择方法 国2004A 47 A 4B 24C 72D 144 例4 从1 2 3 4 5 6 7 8 9中任意选出三个数 使它们的和为偶数 则共有多少种不同的选法 国2005一类 48 A 40B 41C 44D 46 四 抽屉原理 例 河北选调2009 一个盒子里有8个红球 6个蓝球 4个绿球 2个白球 如果闭上眼睛 从盒子中摸球 每次只许摸一个球 至少要摸出几个球 才能保证找出的这几个球中至少有两个颜色相同 A 4B 5C 6D 8 构造 最不利 情况 B 例3 2007 49 从一副完整的扑克牌中 至少抽出多少张牌 才能保证至少6张牌的花色相同 A 21B 22C 23D 24 例4 一副扑克牌有四种花色 每种花色各有13张 现在从中任意抽牌 问最少抽几张牌 才能保证有4张牌是同一种花色的 浙江2005 20 A 12B 13C 15D 16 五 比赛计数问题 N支队伍的比赛所需场次 例1 2006二类 41 100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛 要产生男 女冠军各一名 则要安排单打赛多少场 A 90B 95C 98D 99 六 植树问题 线形植树 单边植树双边植树楼间植树 单边植树双边植树环形植树 单边植树双边植树 例1 有一条大街长20米 从路的一端起 每隔4米种一棵树 则共有多少棵树 A 5棵B 4棵C 6棵D 12棵 例2 某市一条大街长7200米 从起点到终点共设有9个车站 那么每两个车站之间的平均距离是多少 国2001 48 A 780米B 800米C 850米D 900米 例4 有两座塔间距140米 两塔间每隔20米种一棵树 则共有多少棵树 A 7棵B 6棵C 8棵D 5棵 七 方阵相关问题 方阵 问题提示 假设方阵最外层一边人数为N 则 一 实心方阵人数 二 方阵最外层人数 三 方阵相邻两层 外层人数比内层人数多8四 方阵最外M层人数 五 其它多边形的 阵 最外层人数可以类比推理得到 每边人数 1 边数 最外层人数六 多留意 不规则阵形 的割和补 外部人数 整个大阵人数 内部小阵人数 例2 浙江2003 18 某校的学生刚好排成一个方阵 最外层的人数是96人 问这个学校共有学生多少人 A 600人B 615人C 625人D 640人 八 过河问题 a M个人过河 船上能载N个人 由于一人划船 故共需过河b 过一次河 指的是单程 往返一次 指的是双程c 载人过河的时候 最后一次不再需要返回 例1 北京应届2006 24 49名探险队员过一条小河 只有一条可乘7人的橡皮船 过一次河需3分钟 全体队员渡到河对岸需要多少分钟 A 54B