量子力学初步(电子工业出版社new).ppt

第5篇 量子物理基础 Planck普朗克 Einstein爱因斯坦 Compton康普顿 Davisson戴维孙 Wein维恩 Rutherford卢瑟福 Bohr玻尔 Sommerfeld索末非 lenard勒纳德 Thomson汤姆孙 chadwick查德威克 becquerel贝克勒尔 Frank夫兰克 Hertz赫兹 whbragg布拉格 wlbragg布拉格 bothe玻色 Zeeman塞曼 pauli泡利 Stark斯达克 Stern斯特恩 李政道 杨振林 weinberg温伯格 wigner魏格纳 Willson威尔孙 braun布劳恩 Salam萨拉姆 Born波恩 Heisenberg海森伯 Schrdinger薛定谔 deBroglie德布罗易 Feynman费曼 Dirac狄拉克 Landau郎道 吴健雄 fermi费米 Mayer梅耶 glashow格拉肖 jensen吉孙 丁肇忠 Cooper库伯 霍金 FirstSolvayConference1911辐射和量子 1927年索耳威第五届会议主题是电子与光学 1933第七届索耳威会议原子核的构造和性质 SolvayPhysicsCongress 1921 第17章量子力学基础 1 量子力学发展线索 17 0章序 黑体辐射研究 能量子观念 康普顿实验 光量子观念 德布罗易假设 波粒二象性 量子力学体系 2 本章内容结构 1 实物粒子的波粒二象性与不确定关系 2 薛定谔方程的建立及初步应用 3 原子中电子的存在状况 17 1微观粒子的波粒二象性 一德布罗易物质波观念 1 德布罗易物质波观念的提出 光的波动学说 光的波粒二象性 2 德布罗易物质波观念的数学表述 结论 实物粒子不仅具有粒子性 同时也具有波动性实物粒子的波粒二象性是其内禀属性 实物粒子的波粒二象性数学表述是通过类比光的波粒二象性得到的 讨论 I 德布罗易关系式的物理意义II 对实物粒子 德布罗易关系式的两个公式互相独立 III 物质微粒的能量是指其总能量 而不是粒子的动能粒子低速运动时 可用粒子动能代替其总能量求解波长 例 电子的总能量可写为 推算 物质波波长计算公式 并得到低速近似计算公式 解 由狭义相对论 文献查阅 文先俊 简述建立量子力学基本原理的思想方法 高等函授学报 1997 vol 4 p29 33 3 由德布罗易关系得到的若干结论 I宏观粒子的波长极小 仅显示出极其微弱的波动性 例 已知 微尘 m1 10 15kg v1 10 2m s 小球 m2 10 3kgv2 10 1m s 电子 m3 9 11 10 31kg v3 5 107m s求 它们各自的德布罗意波长 解 微尘 小球 II由德布罗易关系得到玻尔量子条件 驻波条件 电子回转一周的周长应为其波长整数倍 即 讨论作用量 称与mrv有相同量纲的物理量为系统作用量结论 当微观粒子的作用量与h可相比拟时 该系统称量子系统 思考题 无限深势阱中粒子能量量子化 III由德布罗易关系得到氢原子基态能量 解 氢原子能量 E对r求极值 可得 小结 由德布罗易关系推导出的若干结论与已有理论或实验结果是一致的 初步检验了它的合理性 二德布罗意波的实验验证 1 戴维逊 革末实验 实验装置 实验现象集电器电流强度随电压单调增加作周期性变化周期变化满足布拉格公式 理论分析 对镍单晶 d 0 91 实验时 65 V 54V理论波长 1 67 实验波长 1 65 三实物粒子波粒二象性的物理图象 1 波包 解释 2 鬼场 解释 约束粒子的导波产生机制问题 3 实物粒子波粒二象性的统计解释例 分析电子的双缝衍射实验 并说明玻恩统计解释的观点思考 从实验现象中总结波函数的物理意义 18 2 不确定关系 一不确定关系的内涵 1 不确定关系的引入 由于粒子的波粒二象性 描述粒子经典轨道运动的参量 已经不能描述量子粒子的运动状况描述量子粒子运动时 继续沿用轨道参量 但它们不再具有经典物理中的轨道物理图像 2 不确定关系的特例说明 以单电子单缝衍射中 电子坐标与动量的不确定关系为例 忽略次极大时 电子在x方向动量范围 电子在x方向动量不确定度 有 3 不确定关系 典型特例表示方法 讨论不确定关系是微观粒子的内禀属性 是波粒二象性的结果任何一对广义动量与广义坐标之乘积都满足不确定关系不确定关系的本质含义是 任何一对广义动量与广义坐标在理论上不可能同时具有确定值不确定关系只有在量子系统中才明显表现出来利用不确定关系估算物理参量时应注意的问题 二不确定关系的应用举例 例 小球质量m 10 3kg 速度v 0 1m s 位置不确定度 x 10 6m求 1 小球的作用量 2 小球动量 速度不确定度 解 1 作用量 2 由可得 对作用量远大于h的经典物理系统 广义动量与广义坐标是可以被同时精确测定 1 不确定关系适用的条件 例 电子的质量me 9 1 10 31kg 氢原子的半径为10 10m数量级求 1 电子的作用量 2 测量电子速度时的不确定度 解 1 作用量 2 由可得 作用量与h相当的量子系统 不确定关系将起很重要作用 此时 不能再用经典理论讨论物理系统的运动规律 例 显象管中电子运动速度为107m s数量级 电子束横截面尺寸为10 4m数量级求 1 显象管中电子的作用量 2 电子横向速度的不确定度 解 1 作用量 2 由可得 不能单纯以物理对象是否十分 微小 来判定该系统属于经典或量子系统 而必须依据其作用量是否与h相当来判定 2 不确定关系在估算物理量中的应用 例 用不确定关系 估算氢原子中可能有的最低能量 解 不计原子核运动时 氢原子的能量就是原子中电子的能量 取 因 将上式代入能量表达式 求极值 例 利用不确定关系估算谱线的自然宽度 取 t 10 8s 解 能级宽度 原子中电子的能级有一个宽度电子寿命 电子在每一个能级上停留的时间谱线的自然宽度 电子在能级间跃迁时的频率宽度 18 3 波函数 一波函数的引入 1 用波函数描述微观粒子运动规律观念的提出 2 波函数引入的思路 从波动性角度描述微观粒子运动 自由粒子运动规律以平面波描述 束缚粒子运动规律通过动力学方程给出 与经典波动对应 讨论引入波函数概念是微观粒子波粒二象性的必然结果波函数引入的思路同时给出了波动量子力学数学体系的建立思路 3 波函数的统计解释例 分析电子的双缝衍射实验 并说明玻恩统计解释的观点 波函数模之平方代表粒子取得某一物理量值的几率量子力学中波函数不代表任何实在形式的物质波 4 几率波的数学表述 讨论波函数可乘以任意常数而不影响其几率相对强弱的分布波函数应该满足归一化条件 自由粒子平面波函数例外 数学表述 归一化波函数可以写为 几率密度 三量子力学中波函数的基本特征 1 波函数必须是复数波函数形式 思考题 2 波函数可以相差一个相位因子 例 设 1 2为体系的两个可能状态 作如下三种线性叠加 B和C 3 量子力学中波函数应该满足标准条件 波函数的标准条件是 单值 连续 有限 4 量子力学中波函数应当满足态叠加原理 态叠加原理如果 1 2分别是粒子存在的一个可能状态 那么 它们的线性叠加 1 2 也是粒子的一个可能状态 当粒子处于 1和 2的线性叠加态时 微观粒子同时处于 1和 2态各粒子出现的几率为 例 设一维空间运动粒子的波函数可以表述为 其中 A为任意常数 E b为确定常数求 归一化波函数 几率密度 解 由归一化条件 归一化常数 归一化波函数 几率密度 最大几率密度点 17 4 非相对论薛定谔方程 一建立薛定谔方程的限制条件 1 动力学微分方程的解必须是线性的2 微分方程中的系数不应包含状态参量 二非相对论的薛定谔方程 1 一维自由粒子非相对论的薛定谔方程 一维自由粒子非相对论的波函数为 非相对论的薛定谔方程 2 非相对论的薛定谔方程的一般形式及讨论 将自由粒子薛定谔方程中能量推广为粒子的总能量 就可得到一般粒子的薛定谔方程 引入算符 则薛定谔方程可以写为 一般形式下的薛定谔方程 讨论薛定谔方程反映量子微观粒子体系的运动规律如果量子微观粒子体系的势函数不含时间变量t 对应的薛定谔方程可以写为定态薛定谔方程 其中 三定态薛定谔方程的应用举例 1 一维无限深势阱问题 例 求解一维无限深方势阱问题 解 束缚态 量子粒子在保守力场下被限制在一定空间范围内的状态 称为束缚态 泛定方程的通解为 代入边界条件 于是归一化波函数为 本征能量 讨论一维无限深势阱的波函数实际上为驻波解一维无限深势阱中的微观粒子并不在势阱中各点均匀出现 一维无限深势阱中微观粒子的能量只能取分离值 且与n相关 称这些分离能量值为能量的本征值微观粒子的最低能量称为它的基态能量 一维无限深势阱中粒子的基态能量不为零 称为零点能 例 设质量为m的粒子处在宽度为a的一维无限深方势阱中求 1 粒子在0 x a 4区间中出现的几率 并对n 1和n 的情况算出概率值 2 在哪些量子态上 a 4处概率最大 解 1 粒子在0 x a 4区间中出现的几率 已知粒子定态波函数 概率密度 粒子出现在0 x a 4区间中出现的几率 n 1时 n 时 2 在哪些量子态上 a 4处概率最大 k 0 1 2 时 几率取得极大 此时 n 2 6 10 2 一维方形势垒与隧道效应问题 2 一维线形谐振子问题 A 泛定方程及化简 势函数 S eq 令 S eq 1 定解问题 B 定解问题 2 定解问题求解 A 渐近解 B 本证值问题 波函数 归一常数 本证值 本证能量 2 讨论 A 零点能问题B 在其它领域中的应用 例 一维方形势垒与隧道效应问题 势能曲线写为 解 1 定解问题 2 定解问题求解 A 在情况下 令 将上面各式乘以时间因子 考虑边界条件 有 考虑到几率密度 入射波的几率密度 透射波的几率密度 反射波的几率密度 定义透射系数 反射系数 B 当E 0时 k2为虚数 令k3为实数 前面的计算仍成立 经计算 得 其中 讨论 于是 k1 k3具有相同数量级 时 于是 透射系数随势垒宽度的增加而减小 ii 任意势垒的透射系数 iii 常见的隧道效应现象及应用 a 全反射的透射光b 导线接头处的电流c STM隧道扫描显微镜 任意形状的势垒 18 5量子力学对氢原子的描述 一氢原子的定态薛定谔方程与求解 1 氢原子的定态薛定谔方程 在球坐标系下 薛定谔方程为 分离变量运算 可得到如下三个方程 其中 ml为待定系数 2 氢原子的定态薛定谔方程的解 1 径向波函数与能量量子化 径向本征函数 其中 a0是玻尔第一轨道半径 是缔合拉盖尔多项式 能量本征值 其中 讨论 A 关于能量本征值 量子力学得到的氢原子能量本征值与玻尔理论给出的相同 径向波函数表明 对同一个n 有n个电子的不同运动状态简并态 对物理量 如果不同微观粒子运动状态对应相同的 值 称这些运动状态是物理量 的简并态简并度 m个不同微观粒子运动状态对应相同的 值 称物理量 是m度简并的主能量量子数n 主量子数 能量量子数 B 量子数与物理模型 相同量子数n的所有轨道 n个 组成同一电子壳层 相同n 不同l的每一个轨道称为一个电子亚壳层 2 角向波函数与角动量量子化 将已得量子数取值代入分离变量式的第一和第二式并求解 可以得到如下结论 m为空间量子数 或称磁量子数 讨论 量子力学中角动量的数学表达式与玻尔理论得到的不同 角动量量子数的取值范围也不相同角动量量子数分别取1 2 3 4 5 6 7 时 分别称微观粒子处于s p d f g h i 等电子状态角动量为矢量 满足平行四边形合成法则 3 角动量的空间量子化 解分离变量式中的第一式 容易得到以下结论 讨论 角动量z方向的量子化角动量z方向 磁场方向称为z方向空间量子化现象 3 斯特恩 O stern 革拉赫W Gerlach 实验 1 stern Gerlach实验 i 实验装置 ii 实验现象 2 实验现象解释与自旋量子数 i 量子力学中的角动量合成法则 角动量l1与角动量l2合成的总角动量记为J 则 例 设l1 1 l2 3 计算合成的角动量值 解 首先计算合成角动量量子数j的取值范围 于是 合成角动量值为 ii stern Gerlach实验现象解释与自旋量子数 设处于l量子态上的电子有自旋角动量S 则其总角动量J为 对基态银原子 已知l 0 于是 依据氢原子理论 角动量在磁场中会发生空间取向量子化 且 磁量子数ml的取值范围 应用于基态银原子 有共有2s 1种可能取值 因实验发现共有2条银原子斑纹 即 讨论 电子自旋角动量 电子自旋角动量的z分量 二原子中电子运动状态描述 18 6Pauli不相容原理与元素周期表 一能量最低原理 原子中电子总是首先填充在能量最低的轨道上稳定态的原子体系 其总能量最低 二原子实与能级交错现象 1 原子实 原子实 原子核与内层电子组成的系统 2 轨道贯穿与能级交错 i 价电子轨道贯穿理论 ii 外层电子排布的能级交错现象 能级交错现象 能级交错现象只发生在外层电子排序未满情况 三Pauli不相容原理与壳层电子数 1 玻色子与费米子 玻色子 s 2k 1 2的粒子费米子 s k的粒子 2 Pauli不相容原理 不可能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态 3 壳层电子数 描述电子状态的量子数n l ml msn 1 2 ml l l 1 0 ll n 0